LOI DE PLANCK
1. Systèmes thermodynamiques
1.1. Variables d'état
1.2. Lois d'état
1.3. Transformation thermodynamique
2. Principes de la thermodynamique
2.1. Principe zéro (principe de l'équilibre thermique)
2.2. Principe premier (principe de conservation de l'énergie)
2.3. Principe deuxième (principe d'évolution)
2.4. Principe troisième (principe de Nernst)
3. Capacités calorifiques
4.1. Travail des forces mécaniques
4.2. Enthalpie
4.4. Coefficients thermoélastiques
5.1. Entropie
6.1. Énergie libre
6.2. Énthalpie libre
7. Équation de continuité
7.1. Loi de Fourier
7.2. Equation de diffusion de la chaleur
8.1. Loi de Stefan-Boltzmann
8.2.1. Première loi de Wien
8.2.2. Deuxième loi de Wien
Nous considérons maintenant le corps noir comme un système isolé à l'équilibre thermique, dans lequel le rayonnement est à l'état stationnaire et réfléchi totalement par les parois. Les photons peuvent être dès lors considérés comme des particules n'interagissant pas entre elles dans un puits de potentiel à parois rectiligne
Ainsi, identiquement à ce que nous avons vu dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire, la résolution du problème est celui d'un puits de potentiel à parois rectilignes pour laquelle nous avions obtenu pour fonction d'onde :
(33.258)
à propos de laquelle il faut appliquer les conditions aux limites.
Les conditions que nous avions imposées lors de notre étude de ce cas en physique quantique ondulatoire étaient trop restrictives (c'est la raison pour laquelle elles sont appelées "conditions aux limites strictes"). Effectivement, les atomes de la paroi absorbent et émettent le rayonnement quel que soit la manière dont le rayonnement est incident. Mais l'équilibre impose au moins qu'elles soient que les conditions aux limites soient périodiques de par la définition même de l'équilibre. C'est la raison pour laquelle nous imposons ce que nous appelons les "conditions au limites périodiques" :
- pour 
et 
,
nous avons : 
- la fonction d'onde 
doit
présenter un nombre entier de demi-longueur d'onde sur la
longueur 
- dans le corps noir, 
donc 
- si aux extrémités
(
et 
)
nous avons 
l'argument du sinus à la même valeur 
(à un facteur multiplicatif réel près) en
0 et en 
.
Donc nous devons avoir :
(33.259)
et comme 
,
après quelques simplifications élémentaires,
nous avons :
(33.260)
L'énergie totale de la particule présente donc une suite discrète de valeurs, les seules permises. La valeur de L est quant à elle déterminée à l'aide du modèle de Bohr ou de Sommerfeld en fonction des cas.
Puisque les fonctions d'onde
correspondantes dans le puits sont 
, nous avons donc:
(33.261)
Ainsi, l'énergie totale peut s'écrire :
(33.262)
Ainsi, étant donné que la fonction d'onde est une probabilité conditionnelle, nous avons sous forme de phaseur :
(33.263)
et les énergies discrètes associées sont alors :
(33.264)
Le vecteur 
étant donc défini par :
(33.265)
sont plus grandes; pour des dimensions macroscopiques, ces écarts
sont alors totalement inappréciables. Ce constat nous permettra
un peu plus loin de faire une petite approximation. Explication : Pour un électron
(
)
enfermé dans une boîte cubique de côté
, l'écart entre deux niveaux consécutif est :
(33.266)
donc environ 
...
Les vecteurs 
qui nous intéressent (puisqu'ils représentent respectivement
chacun un micro-état possibles), plongé dans l'espace
des phases des nombre d'onde, ont leur extrémité situées
en l'un des noeuds d'un réseau tridimensionnel constitué
de mailles élémentaires dont les arêtes sont
parallèles aux axes et qui mesurent respectivement 
.
Nous voulons évaluer le nombre de vecteurs pour lesquels
cette extrémité tombe dans l'intervalle entre
les deux sphères centrées à l'origine
et de rayons de norme K et K + dK.
Le volume de la coquille sphérique comprise entre les deux
sphères est donc trivialement donnée par :
(33.267)
Le nombre de mailles élémentaires
(de micro-états) incluses dans cette région de l'espace
des 
est, à peu de chose près, égal au nombre de
fois que son volume contient celui de la maille élémentaire,
qui vaut :
(33.268)
Nous obtenons ainsi le nombre
de micro-états dans le volume 
(donc
la densité de micro-états) :
(33.269)
Or, il ne faut pas oublier les relations suivantes (cf. chapitres de Mécanique Ondulatoire, Physique Quantique Corpusculaire et Relativité Restreinte) :
(33.270)
Donc :
(33.271)
Il vient :
(33.272)
Dans un corps noir à
l'équilibre thermodynamique, les photons forment un gaz
dont les constituants n'interagissent pas entre eux chimiquement.
Ce type
de situation est typiquement décrit par la distribution
de Bose-Einstein que nous avons vu en mécanique statistique.
Ainsi, puisque 
,
nous avons dans le cas d'un spectre discret d'états :
(33.273)
et dans un cas que nous considérons comme continu :
(33.274)
Dans le corps noir, nous avons pour énergie interne :
(33.275)
La radiation d'un corps noir est donc donnée par la "loi de Planck":
(33.276)
et puisque :
et 
(33.277)
donc :
(33.278)
Or, comme 
,
il convient de prendre la valeur absolue tel que :
(33.279)
Enfin, nous obtenons encore une autre forme de la loi de Planck qui exprime la densité de flux d'énergie pour une longueur d'onde précise est donnée :
(33.280)
Si 
(donc
dans le domaine des grandes longueurs d'ondes), le développement
de Taylor de 
pour x petit donne donc :
(33.281)
Ce qui nous donne :
(33.282)
et la loi de Planck devient donc la "loi de Rayleigh-Jeans":
(33.283)
Que nous retrouvons aussi parfois sous la forme :
(33.284)
A l'inverse, 
nous avons :
Ce qui nous donne :
(33.285)
et la loi de Planck devient donc :
qui n'est rien d'autre que la "première loi de Wien".
Nous pouvons également
redémontrer la loi de Stefan (nous l'avons déjà
fait en thermodynamique mais avec une autre démarche) mais
en plus démontrer la provenance de la constante de Stefan-Boltzmann
.
Rappelons que d'abord que le flux énergétique (cf. chapitre d'Optique Géométrique) est entre autres donné par :
(33.287)
Comme la luminance dépend de la fréquence et donc de la température du corps émetteur, nous pouvons ajouter :
(33.288)
L'énergie rayonnée
à travers une surface élémentaire 
donnée est donc dès lors :
(33.289)
Si le volume d'émission est considéré comme
un volume élémentaire assimilé à un
cylindre d'hauteur cdt et de sommet ayant pour surface
(cf. chapitre d'Optique Géométrique)
la densité d'énergie est alors donnée par
:
(33.290)
Compte tenu de l'isotropie du corps noir à l'équilibre, nous avons :
(33.291)
L'analyse dimensionnelle nous donne :
(33.292)
Enfin, il est utile de considérer la puissance totale émise par unité de surface (donc l'émittance) :
(33.293)
Si nous intégrons sur la demi-surface d'une sphère (par rapport au point de surface de l'émetteur) :
(33.294)
Effectivement pour une sphère (cf. chapitre de Trigonométrie) :
(33.295)
Comme la luminance est indépendante
de 
(isotropie du rayonnement du corps noir), l'intégration est
élémentaire, et nous trouvons :
(33.296)
L'émittance totale est alors donnée par :
(33.297)
En posant 
,
nous pouvons simplifier l'intégrande de sorte que :
(33.298)
Donc :
(33.299)
Franchement..., il était difficile de le deviner...
Déterminons pour quelle longueur fréquence, nous avons le maximum de densité d'énergie. En d'autres termes cela revient à chercher où la dérivée :
(33.300)
s'annule. Donc :
(33.301)
Divisons par 
:
(33.302)
La dernière relation admet une seule racine positive que nous pouvons déterminer avec Maple (evalf(solve(exp(-x)-1+1/3*x=0,x));) :
(33.303)
Ce qui nous donne la "deuxième loi de Wien" ou "loi de déplacement de Wien" :
où a est appelée "constante de Wien".
Insistons sur le fait que la loi de Planck n'est valable que dans les cas où le rayonnement est à l'équilibre thermique. Cette restriction est important dans la pratique, car la phénomènes d'émission ou d'absorption de rayonnement par la matière se produisent le plus souvent dans des conditions hors de l'équilibre : dans le cas par exemple de l'éclairage par une lampe électrique ou du chauffage électrique par rayonnement infrarouge, il y a transformation irréversible (et donc hors d'équilibre) d'énergie électrique en énergie de rayonnement; de même, le rayonnement solaire est produit par les réactions nucléaires qui ont lieur à l'intérieur du soleil et qui consument peu à peu sa substance; au niveau microscopique également, l'émission d'un photon par un atome excité est très souvent un retour irréversible de l'atome à son état fondamental (émission spontanée hors d'équilibre). Dans le cas du corps noir, au contraire, le rayonnement est confiné à l'intérieur d'une enceint fermée (nous laissons éventuellement une fraction négligeable de ce rayonnement s'échapper à l'extérieur pour y être soumise aux mesures) et nous pouvons ainsi parvenir à l'équilibre thermique avec les parois.
La loi de Planck que nous avons démontrée précédemment est parfaitement vérifiée par l'expérience dans tout le domaine des températures accessibles à ce jour :
(33.305)
Nous remarquons qu'à la lecture du graphique ci-dessus, qu'un coprs chauffé entre 5'000 et 6'000 [K] a un pic d'émission au milieu du spectre visible. Dans le domaine de la colorimétrie, nous associons une température à un couleur en cherchant la température du corps noir pour laquelle le pic de radiation à son maximum dans la longueur d'onde de la couleur donnée.
Il est à noter que beaucoup de sources lumineuses émettent un flux lumineux qui ne suit pas la loi du corps noir (un filament d'ampoule, par exemple) et que la loi de Wien ne s'applique pas à eux. En revanche, il reste avéré qu'ils émettent à une longueur d'onde d'autant plus courte qu'ils sont chauds.
Il faut également garder à l'esprit que le flux lumineux provenant d'un objet n'est pas forcément de nature thermique ; autrement dit sa couleur ne renseigne pas toujours sur sa température. Par exemple, la couleur du ciel provient de lumière solaire bleue diffusée par l'air et non d'une hypothétique température de 15'000 [K]. De même un arbre est vert, non pas parce qu'il est à 8'000 [K], mais parce qu'il réfléchit la lumière verte qui compose la lumière du jour.
