LAGRANGIEN D'UNE CORDE
1. Equation d'onde non relativiste d'une corde transversale
Rappelons que nous avons:
(52.74)
et qu'avec ce choix, nous avons donc:
(52.75)
Maintenant, utilisons ce que nous avons vu dans le chapitre de Géométrie Différentielle avec le trièdre de Frenet:
(52.76)
où 
est
donc la tangente à la surface d'Univers à un instant t au
voisinage d'un point donné. Nous avions par ailleurs montré dans
ce même chapitre que par définition:
(52.77)
Or, nous pouvons écrire:
(52.78)
où il ne faut pas oublier que
est
prix à un temps t fixé. Comme les lignes de la surface d'Univers
de constante t décrivent la corde, alors est
tangent à la corde.
Et comme:
(52.79)
Alors 
est
colinéaire à et
donc aussi tangent à la corde (information que nous n'avions pas
quelques lignes plus haut!). Ces petites constations étant faites,
revenons à:
(52.80)
cela devient déjà un peu plus intéressant!
Considérons maintenant le schéma suivant:
(52.81)
où 
est
un vecteur quelconque et 
un
vecteur unitaire (sans dimensions) et 
,
la projection orthogonale de sur .
Nous avons alors (cf. chapitre de Calcul
Vectoriel):
(52.82)
Or, si nous recherchons le vecteur il
faudra multiplier le tout par :
(52.83)
enfin, si nous recherchons l'expression du vecteur 
il
vient immédiatement:
(52.84)
Dès lors, par analogie, nous pouvons écrire:
(52.85)
où est
donc perpendiculaire à et
a comme unités celle d'une vitesse. Par construction, est
donc la vitesse transversale à la corde à un instant t donné puisque est
tangent à celle-ci. Nous noterons alors:
(52.86)
Mettons maintenant, pour des besoins ultérieurs, la norme au carré de cette dernière relation (attention on fait le traitement des composantes des vecteurs directement en généralisant à la notation vectorielle!):
(52.87)
et si nous revenons maintenant à:
(52.88)
La lagrangien associé est alors directement (ne pas confondre avec la densité lagrangienne!):
(52.89)
puisque:
(52.90)
Le lagrangien de la relation antéprécédente est considéré par les spécialistes de la théorie de cordes comme la généralisation naturelle du lagrangien de la particule libre obtenu dans le chapitre de Relativité Restreinte:
(52.91)
