ÉQUATION D'ONDE RELATIVISTE D'UNE CORDE TRANSVERSALE
1. Equation d'onde non relativiste d'une corde transversale
Nous allons maintenant déterminer l'action d'une corde relativiste. Nous pouvons, pour poser les bases de notre étude, nous rappeler qu'une particule ponctuelle trace une ligne dans l'espace-temps (chaque point de la ligne étant repéré par une coordonnée temporelle et trois spatiales). Dès lors, par extension, une corde qui est un élément bidimensionnel (si nous la considérons sans épaisseur) trace une surface dans l'espace-temps.
Ainsi, au même titre que la ligne que trace une particule dans l'espace-temps est appelée une "ligne d'Univers" (cf. chapitre de Relativité Restreinte), la surface tracée par une corde sera appelée par analogie une "surface d'Univers".
Une corde fermée dans l'espace-temps de Minkowski trace, par exemple, un tube, alors qu'une corde ouverte tracera une bande :
(52.10)
Sur la figure ci-dessus, à deux dimensions spatiales et une temporelle, la corde est immobile dans notre espace courant. Elle se meut que dans l'espace-temps (car le temps s'écoule sur l'axe vertical) mais pas dans l'espace dans l'exemple-ci-dessus (il faudrait une composante spatiale supplémentaire pour voir un tel mouvement).
R1. Attention! rappellez-vous bien que le schéma ci-dessous est dans trois dimensions alors que l'espace-temps a lui quatre dimensions.
R2. Rappelez-vous également que le vecteur temps de la base orthogonale est toujours perpendiculaire à toutes les autres composantes spatiales (cette remarque sera utile lors de notre démonstration de l'action de Nambu-Goto).
Lors de notre démonstration de l'équation du mouvement dans le chapitre de Relativité Générale, nous avons reparamétré la ligne d'Univers de la particule à l'aide d'un paramètre qui était le temps propre de la particule t. Effectivement il suffit de se rappeler des équations paramétriques qui représentent des courbes. Par exemple avec Maple:
> with(plots):
>
spacecurve([cos(t),sin(t),t],t=0..4*Pi,axes=boxed);
(52.11)
et la même procédure est valable pour une ligne en quatre dimensions (espace+temps).
Nous étions ainsi arrivés à construire l'expression de l'action S de celle-ci avant d'y appliquer le principe variationnel.
Nous allons faire de même pour une corde relativiste à la différence que nous allons reparamétrer les surfaces engendrées par les cordes cette fois-ci. Les contraintes que nous nous imposerons sont que les paramètres choisis devront aussi (en faisant référence au cas de la particule) être des invariants relativistes.
Comme nous l'avons donc vu en
relativité générale, une ligne d'Univers peut
être reparamétrée naturellement en utilisant
seulement un paramètre
(abscisse curviligne). Une surface dans l'espace
est cependant un objet bidimensionnel, ainsi nous supposerons
qu'il requiert par extension
deux paramètres 
(un
de plus)
pour être décrit complètement.
Effectivement, nous devinons, qu'un des deux paramètres sera le temps propre (pour faire évoluer la surface dans le temps), le second paramètre permettra de donner une "épaisseur" à ce qui ne serait qu'une ligne d'Univers s'il n'existait pas. Il suffirait dans un espace à trois dimensions que ce deuxième paramètre ait les dimensions d'une longueur pour générer une surface mais dans l'espace-temps à quatre dimensions il faut que second paramètre ait les unités d'une surface.
Etant donné une surface
paramétrée, nous pouvons dessiner sur celle-ci les
isolignes des paramètres 
(les lignes ou les deux paramètres sont constants sur toute
la surface). Ces isolignes couvrent la surface comme une grille
(voir figure un peu plus bas).
L'équation paramétrique d'un volume requiert dans l'espace trois paramètres comme nous l'avons vu dans le chapitre de Géométrie Analytique. Ainsi, si une surface paramétrée peut dans l'espace euclidien être représentée par un vecteur du type :
(52.12)
lors d'une reparamétrisation et en faisant usage de la notation tensorielle de l'espace-temps de Minkowski tel que vu dans le chapitre de Relativité Générale, nous aurons (en nous restreignent pour l'instant aux cas particulier de deux dimensions spatiales et une temporelle) :
(52.13)
Ainsi, la surface est l'image
des paramètres 
.
Alternativement, nous pouvons voir les composantes 
comme les coordonnées de temps et d'espace de la surface,
au moins localement!
Nous voulons maintenant calculer la surface d'un élément de n'importe quel-type d'espace au même type que nous l'avions fait pour l'abscisse curviligne de n'importe quelle ligne d'Univers dans le chapitre de Relativité Générale. Se pose alors la question de la forme de l'élément différentiel de surface ??? Faut-il prendre la multiplication du différentiel des deux paramètres choisis précédemment pour un carré, un rectangle, un cercle ou autre ?
Au fait, nous allons reporter notre choix sur un parallélogramme ! Ce choix peut sembler complètement arbitraire pour l'instant mais comme nous allons le voir quelques lignes plus loin, ce choix coïncide pour des raisons mathématiques à ce que nous appelons la "métrique induite" de la surface elle-même (résultat assez remarquable!).
Ainsi, notons 
et 
les côtés du parallélogramme. Ils sont l'image
par 
des couples 
et respectivement 
:
(52.14)
Ainsi, nous pouvons écrire :
(52.15)
et donc :
(52.16)
Maintenant calculons la surface dA (nous ne prendrons pas la lettre S pour éviter la confusion avec l'action dans ce chapitre) du parallélogramme (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :
(52.17)
en utilisant le produit scalaire, cela peut se récrire :
(52.18)
en utilisant, les relations établies précédemment cela peut s'écrire :
(52.19)
cette dernière relation est forme générale d'un élément de surface d'une nappe paramétrée. La surface totale étant évidemment donnée par :
(52.20)
Au même titre que dans
le cadre du principe de moindre action nous avons cherché
l'optimum du chemin optimum pour une particule parcourant une ligne
d'Univers, pour une corde, nous aurons à optimiser la surface
A en minimisant la fonction 
.
Cette dernière forme est cependant un peu lourde et ne faire ressortir de particulier ou de choses similaires à quelque forme déjà connue dans un autre domaine de la physique. Nous allons voir qu'en creusant un peu il est possible d'obtenir quelque chose de pas mal du tout.
Considérons maintenant
un vecteur 
et
sa longueur (norme) au carré donnée par son produit
scalaire :
(52.21)
Attention à l'avenir de ne pas "voir" le s comme étant au carré dans le ds (comme c'est le cas en relativité restreinte et générale) mais rappelez-vous bien qu'il s'agit du ds en entier qui est mis au carré (la notation peut amener à confusion...).
Le vecteur peut être exprimé sous forme de termes de dérivées
partielles de 
,
tel que nous obtenions sa différentielle totale exacte
(cf.
chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral)
:
(52.22)
Ainsi, la longueur au carré
de
peut s'exprimer sous la forme tensorielle :
(52.23)
ce que nous noterons par convention à l'avenir :
(52.24)
La quantité 
est appelée la "métrique induite
de la surface paramétrée" (car contient un
produit scalaire ce qui en toute généralité fait appel à une métrique...
d'où le terme "induite") et il s'agit donc d'une matrice de dimensions 
.
Il est évident que le
choix de cette dénomination
provient de la ressemblance avec la métrique habituelle
telle que nous l'avons définie lors de notre étude
du calcul tensoriel et de son utilisation en relativité restreinte
et générale.
La matrice 
à donc par construction et définition la forme :
(52.25)
Revenons maintenant à notre expression de la surface engendrée par la corde :
(52.26)
et calculons rapidement le
déterminant (cf. chapitre d'Algèbre
Linéaire)
de la matrice
:
(52.27)
et donc quoi ? Eh ben voilà :
(52.28)
Ainsi, le choix du parallélogramme comme surface élémentaire s'explique mieux ici!
Maintenant, nous allons adopter les écritures traditionnelles de la théorie des cordes relativement à l'expression de la surface. Ainsi, au même titre que les coordonnées d'espace-temps sont décrites en relativité restreinte par le quadrivecteur temps-espace:
(52.29)
nous décrirons les surfaces d'Univers par (nous passons maintenant à l'écriture faisant usage des 4 dimensions de l'espace-temps):
(52.30)
Cette notation nous évitera
à l'avenir d'avoir à confondre, si la théorie
nous y amène, les coordonnes d'espace-temps 
traditionnelles avec la fonction image de la surface d'Univers 
et ce d'autant plus que les physiciens étant un peu flemmard
abrègent parfois cette dernière ... d'où
le choix de la majuscule.
Il est donc beaucoup plus convenable et sage de changer de notation...
A partir de maintenant, nous
appellerons "coordonnées de corde" la surface d'Univers décrite
par 
.
Ce petit changement de notation ne change évidemment pas
l'interprétation de la fonction image. Etant donnée
un couple 
associant
élément de temps propre dans l'ensemble et élément
de surface des pré-images, ce point est projeté sur
un élément de surface de l'espace-temps de la corde
de coordonnées:
(52.31)
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