ACTION DE NAMBU-GOTO
1. Equation d'onde non relativiste d'une corde transversale
Dans le cas d'une surface
d'univers les paramètres sont donc par convention 
et 
,
où comme en relativité restreinte et général le temps propre
peut être compris dans l'intervalle:
(52.32)
et le deuxième paramètre par contre ne peut être que positif puisqu'il s'agit d'une surface:
(52.33)
et les coordonnées de cette surface qui correspondent à l'espace des paramètres sont donc:
(52.34)
Où encore une fois pour rappel, le paramètre est
considéré comme la variable décrivant
l'écoulement du temps (il en faut bien une!), et
la variable décrivant l'extension dans l'espace d'une corde
(i.e. la condition 
correspond
à la longueur finie de cette corde).
Les paramètres 
décrivent ainsi une surface de l'espace des pré-images
:
(52.35)
Les extrémités
de la corde ont une valeur constante.
Cependant, comme le temps s'écoule et que les extrémités
de la corde sur la surface d'Univers se meuvent il faut noter une
condition essentielle de la surface d'Univers concernant les deux
bouts d'une corde ouverte :
(52.36)
car elle correspond à la composante 
du quadrivecteur d'espace-temps qui n'est d'autre, en unités
naturelles, que t (le temps propre). Dès lors, le
temps s'écoule et n'est jamais constant d'où le
fait d'imposer cette dérivée comme différente
de zéro.Et en utilisant les conventions habituelles en physique pour la notation des dérivées par rapport au temps ou composante spatiale, nous convenons d'adopter aussi maintenant les écritures suivantes :
(52.37)
où puisque:
(52.38)
alors:
(52.39)
La surface s'écrit donc:
(52.40)
Cependant, il y a un problème ici ! Effectivement, regardons si le radicante (terme sous la racine) a une réalité physique tangible...
Pour cela, il faut d'abord considérer la partie gauche de la figure ci-dessous qui représente la surface (nappe) décrite par une corde ouverte :
(52.41)
En chaque point P
de cette nappe (supposée dérivable en tout point)
il existe une infinité de tangentes, toutes dans le même
plan, que nous noterons pour l'exemple 
et qui forment donc une surface tangente au point P.
Maintenant, comme l'espace
dans lequel la nappe de la corde est plongée
dans une base orthonormale spatiale et temporelle, les vecteurs
tangents
peuvent alors aussi à leur tour être décomposés
dans une base orthogonale spatiale et temporelle
locale bidimensionnelle
au point P tel que les vecteurs de cette base soient deux
vecteurs:
(52.42)
tous les autres vecteurs tangents s'exprimant comme combinaison linéaire de ceux-ci.
Cependant un problème subsiste dans notre décomposition (...) : les unités des vecteurs de la base orthogonale locale au point P ont des unités qui diffèrent. Pour cela, rajoutons un facteur de dimensionnement à la composante spatiale (cela est arbitraire car la conclusion sera identique quelque soit la composante sur laquelle vous mettez le facteur de dimensionnement) :
(52.43)
ce facteur de dimensionnement peut aussi être utilisé pour obtenir tous les vecteurs tangents tel que :
(52.44)
Effectivement, si 
,
alors pour 
nous obtenons le vecteur 
et pour 
le vecteur 
.
Et pour toutes les valeurs intermédiaires, nous obtenons
tous les vecteurs tangents comme indiqué sur la partie
gauche de la figure précédente.
Maintenons, rappelons que nous avons vu dans le chapitre de Relativité Restreinte qu'il existait selon l'abscisse curviligne:
(52.45)
des lignes d'Univers
de type lumière (
), espace
(
) ou
temps (
)
si nous considérions les quadrivecteurs 
.
Il doit en être de même par analogie pour les vecteurs tangents à la surface et donc données par:
(52.46)
Ainsi :
(52.47)
ce qui correspond à
une équation du deuxième degré en 
,
doit pour avoir des valeurs négatives (surface d'Univers
de type temps) ou positives (surface d'Univers de type espace)
avoir au moins deux racines (voir partie droite de la
figure précédente).
Cela nous ramène à la condition que le discriminant
soit strictement positif (cf. chapitre
de Calcul Algèbrique)
:
(52.48)
Soit :
(52.49)
sous forme condensée cela nous ramène à écrire :
(52.50)
La surface doit donc alors s'écrire en fin de compte :
(52.51)
si nous voulons que le radicante ait un sens physique.
Rappelons maintenant que l'action S d'une particule ponctuelle est proportionnelle à sa ligne d'Univers. Ainsi par analogie, l'action S d'une corde sera proportionnelle à la surface d'Univers :
(52.52)
ce qui donne :
(52.53)
Ce qui nous amène très fréquemment dans la littérature à trouver l'action d'une corde sous la forme suivante :
(52.54)
Relation à comparer avec le lagrangien d'une particule libre (cf. chapitre de Mécanique Analytique) et la densité lagrangienne d'un champ (cf. chapitre de Physique Quantique Des Champs) :
et 
(52.55)
La fonctionnelle S
a pour unités celles d'une surface. Cela parce que les
ont une unité de longueur et dans la racine chacun est à
la puissance quatrième et que les unités 
s'annulent entre l'intérieure de la racine et les différentielles
en dehors.
Maintenant, par définition
même de l'action, les unités que nous devons obtenir
doivent correspondre à celle d'une énergie multiplié
par le temps, des joules J ou en utilisant le système
international, des 
.
Pour l'instant, nous avons :
(52.56)
Pour obtenir pour l'action
les unités que nous voulons, il nous faut alors multiplier
l'expression de la surface A par une quantité ayant
pour unités des 
.
Pour choisir ces quantités, nous allons nous inspirer de
notre étude la mécanique ondulatoire. Quand nous avions
travaillé avec des cordes (non relativistes) nous avions
vu que les propriétés à prendre en comptent
étaient la tension et la vitesse de l'onde de propagation
de la corde. Nous allons donc faire l'essai de prendre le rapport
tension/vitesse suivant :
(52.57)
où apparaît donc la "tension de la corde au repos" et la vitesse de la lumière.
Ainsi, "l'action de Nambu-Goto" s'écrit maintenant :
(52.58)
Maintenant, au même titre que nous avions défini plus haut la métrique induite d'une surface purement spatiale,
Dès lors :
(52.59)
ce que nous pouvons aussi écrire sous forme matricielle :
(52.60)
en utilisant le déterminant de cette matrice :
(52.61)
nous pouvons alors récrire l'action d'une corde relativiste sous la forme finale condensée suivante :
(52.62)
qui n'est d'autre que "l'action de Nambu-Goto condensée" d'une corde relativiste.
Nous allons maintenant obtenir l'équation du mouvement en faisant varier l'action. Nous allons pour cela nous inspirer exactement des méthodes vues lors de la détermination au début de chapitre de l'équation d'onde non-relativiste d'une corde.
Ainsi, nous récrivons
l'action de Nambu-Goto en définissant une densité
lagrangienne 
tel que :
(52.63)
où
est donc définie par :
(52.64)
Nous allons maintenant appliquer le principe variationnel sur l'action afin d'en tirer l'équation de mouvement d'une corde. Le développement et l'approximation sont parfaitement similaires à celles vue en mécanique ondulatoire pour la corde non relativiste. Rappelons que nous avions obtenu comme densité lagrangienne et comme expression de l'action :
et 
(52.65)
et que l'application du principe variationnel nous avait donné :
(52.66)
Or, ce que nous n'avions pas vu en mécanique ondulatoire, c'est que cette dernière relation pouvait facilement s'écrire aussi à partir de la densité lagrangienne :
(52.67)
Dès lors, pour la corde relativiste, nous avons une forme identique en appliquant des développements en tout points similaires (et ce même si la densité lagrangienne à une forme différente) :
(52.68)
et comme nous l'avons faite au début de ce chapitre pour les cordes non relativistes, nous allons introduire les moments canoniques (densités d'impulsion/quantité de mouvement si vous préférez) de la corde en optant pour la notation :
(52.69)
où dans les détails, nous obtenons très facilement (c'est une simple dérivée mais si vous le souhaitez en nous contactant, nous pouvons vous le détailler) les moments longitudinaux et transverses :
(52.70)
en faisant usage de cette notation, nous pouvons alors écrire :
(52.71)
Faisant usage des mêmes méthodes que celles vue dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire, notre variationnel s'exprime après simplification à nouveau sous la forme de trois termes :
(52.72)
Les conditions pour trouver l'extremum (selon le principe de moindre action) restent les mêmes qu'en mécanique ondulatoire. Ainsi, pour le troisième terme, nous avons bien l'équation d'onde d'une corde excitée de manière transversale donnée avec la forme canonique donnée par :
(52.73)
Il s'agit de l'équation du mouvement (ou onde) d'une corde ouverte ou même fermé (car finalement dans les développements précédents à aucun moments nous n'avions contraints les termes à êtres ouverts ou fermés).
Cette équation est horriblement difficile à résoudre mais le choix d'une paramétrisation adéquate peut néanmoins simplifier la tâche
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