Cours sur la théorie des cordes



THÉORIE DES CORDES

1. Equation d'onde non relativiste d'une corde transversale

2. Equation d'onde relativiste d'une corde transversale

2.1. Equation de Nambu-Goto

3. Lagrangien d'une corde

Il faut bien considérer dans le présent chapitre que la théorie des cordes (et in extenso des supercordes) est actuellement spéculative et n'a pas pu être vérifiée (confirmée) ni falsifiée par l'expérience comme le veut la démarche scientifique. Il convient donc de prendre avec prudence les développements qui vont suivre et d'être le plus critique possible !

Il s'agit par ailleurs d'une théorie (nous ne pouvons pas parler de modèle actuellement) d'unification des forces qui n'est pas nouvelle puisqu'elle a bientôt plus de trente ans et qui tente de combler les défauts du modèle standard des particules et aussi de réunir la relativité générale et physique quantique (ce qui n'est pas sans mal puisque cette dernière est dépendante du fond contrairement à la relativité générale). Elle est une des nombreuses théories qui existe en physique moderne et qui tente cette unification (il en existe une dizaine d'autres plus ou moins connues).

Remarque: Si ce sujet est traité dans la section de cosmologie et non d'atomistique c'est uniquement pour une raison pédagogique. Effectivement, le formalisme de base de la théorie des cordes est beaucoup plus proche de la mécanique relativiste (relativité restreinte et générale) que de celle de la physique quantique ondulatoire ou de la physique quantique des champs. Il nous a semblé donc plus adapté, à ce jour (!), de proposer une continuité dans le formalisme mathématique et son interprétation plutôt qu'une continuité thématique avec une approche relativement différente au formalisme habituel de la physique quantique.

L'avantage indéniable de la théorie des cordes, outre le fait que mathématiquement elle soit assez indigeste mais n'est pas vraiment pire que la relativité générale, est qu'elle permet d'éviter dans un certain ordre... de nombreuses singularités dans les calculs des autres théories modernes qui considèrent les objets comme des points (donc de volume et longueur nuls...).

Cette théorie tout en étant esthétique et remarquable dans le sens qu'elle utilise pour ses fondements des bases de calculs qui ont plus de 200 ans mais a pour défaut selon nous de s'imposer par analogies successives, comme nous le verrons, avec les théories relativistes et quantiques actuelles. Même si cela n'est par dramatique en soit, la théorie peut sembler perdre un peu son autonomie propre même si au fait il n'en est rien. Il ne faut alors donc pas être surpris en mal lors du parcours des développements qui vont suivre...

La principale particularité de la théorie des cordes est que son ambition ne s'arrête pas à cette réconciliation, mais qu'elle prétend réussir à unifier les quatre interactions élémentaires connues, on parle de théorie du tout, tout en reposant sur deux hypothèses :

H1. Les briques fondamentales de l'Univers ne seraient pas des particules ponctuelles mais des sortes de cordelettes vibrantes possédant une tension à la manière d'un élastique. Ce que nous percevons comme des particules de caractéristiques (masse, etc.) distinctes ne seraient que des cordes vibrant différemment. Avec cette hypothèse, les théories des cordes admettent une échelle minimale et permettent d'éviter facilement l'apparition de certaines quantités infinies qui sont inévitables dans les théories quantiques de champs habituelles.

H2. L'Univers contiendrait plus de trois dimensions spatiales. Certaines d'entre elles, repliées sur elles-mêmes, passant inaperçues à nos échelles (par une procédure appelée "réduction dimensionnelle").

Malgré de premiers résultats partiels très prometteurs ainsi qu'une richesse mathématique remarquable la théorie des cordes reste toutefois incomplète. D'une part, une multitude de solutions aux équations de la théorie des cordes existe, ce qui pose un problème de sélection de notre Univers et, d'autre part, même si beaucoup de modèles voisins ont pu être obtenus, aucun d'entre eux ne permet de rendre compte précisément du modèle standard de la physique des particules...

Ceci ayant été dit... commençons notre initiation :

ÉQUATION D'ONDE NON RELATIVISTE D'UNE CORDE TRANSVERALE

L'objectif ici va être dans un premier temps de déterminer l'équation d'onde non relativiste d'une corde excitée transversalement à l'aide des calculs que nous avions effectué en mécanique ondulatoire. Une fois ce travail effectué, nous passerons à l'étude des cordes relativistes et nous verrons que leur équation d'onde, au même titre que la version non relativiste, peuvent s'assimiler à l'équation de conservation du courant que nous avions démontré en électrodynamique.

Nous commençons en rappelant la forme de l'action que nous avions obtenue dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire pour une corde non-relativiste :

equation   (52.1)

avec donc :

equation   (52.2)

Maintenant, de manière identique à ce que nous avons fait dans le chapitre de Mécanique Analytique (ainsi que dans celui de Physique Quantique Des Champs), nous allons définir une notation par une analogie aux moments canoniques de la corde :

equation   (52.3)

avec equation. Il s'agit simplement des dérivées de la densité lagrangienne en fonction respectivement du premier et second argument. De manière plus explicite, nous avons alors directement en faisant le calcul (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire):

equation   (52.4)

Ainsi, si nous récrivons le variationnel d'action obtenu dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire avec cette notation canonique, nous obtenons :

equation   (52.5)

Faisant usage des mêmes méthodes que dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire, notre variationnel s'exprime après simplification à nouveau sous la forme de trois termes :

equation   (52.6)

Les conditions pour trouver l'extremum (selon le principe de moindre action) restent les mêmes que celles vues dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire. Ainsi, pour le troisième terme, nous avons bien l'équation d'onde d'une corde excitée de manière transversale donnée avec la forme canonique par :

equation   (52.7)

Remarque: Il convient bien évidemment de remarquer que cette forme d'écriture va considérablement nous faciliter la tâche (et faire des économies de craies...).

Il faut bien observer (car c'est remarquable!) aussi que comme dans le chapitre Mécanique Analytique, le moment canonique equation tel que défini plus haut, coïncide parfaitement (le hasard fait bien les choses...) avec la densité de quantité de moment que nous avions obtenue dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire. Effectivement:

equation   (52.8)

Ainsi, par analogie avec la mécanique analytique (où rappelons-le, la dérivée du lagrangien par rapport à la vitesse donne la quantité de mouvement), equation joue bien le rôle de la vitesse et ainsi la dérivée de la densité lagrangienne par celui-ci donne la densité de quantité de mouvement equation !!!

Rappelons aussi un autre point qui a été vu dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire, l'extremum de l'action (equation) nous impose les conditions de Neumann, ce qui nous amène à écrire equation.

De plus, il convient aussi de rappeler pour ce qui va suivre, que pour les conditions de Dirichlet nous avions aussi equation.

Remarque: Dans le cadre de la théorie des cordes relativistes à plus de 3 dimensions, il est possible de généraliser le concept de conditions aux limites en considérant les contraintes dans l'espace comme des hypersurfaces nommée Dp-branes à p dimensions. Les conditions aux limites de Dirichlet usuelles correspondent alors à la situation où les bouts d'une corde sont contraintes par une 0-brane. La condition de Neumann pour une corde libre dans p dimensions correspond à une corde contrainte sur une Dp-brane.

equation
  (52.9)


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