variation relativiste du temps
1. Principes et postulats
1.1. Postulat d'invariance
1.2. Principe cosmologique
1.3. Principe de relativité restreinte
2. Transformations de Lorentz
2.1. Facteur de Michelson-Morley
2.2. Quadrivecteur déplacement
2.2.1. Invariance de l'équation d'onde
2.2.2. Interprétation hypergéométrique
2.3. Quadrivecteur vitesse
2.4. Quadrivecteur courant
2.5. Quadrivecteur accélération
2.6. Addition relativiste des vitesses
2.7. Variation relativiste des longueurs
2.8. Variation relativiste du temps
2.9. Variation relativiste de la masse
2.9.1. Équivalence masse-énergie
2.9.2. Lagrangien relativiste
2.10. Quantité de mouvement relativiste
2.10.1. Quadrivecteur énergie-impulsion
2.10.2. Relation d'Einstein
2.10.3. Force relativiste
2.11. Electrodynamique relativiste
2.11.1. Transformation du tenseur du champ
3.1. Quadrivecteurs
Un événement est un phénomène qui se produit en un endroit donné et à un instant donné. L'origine du temps étant difficile à préciser, nous préfèrerons souvent définir la notion d'intervalle de temps comme le temps qui s'écoule entre deux événements comme il est fréquemment d'usage.
Considérons maintenant deux événements A et B consécutifs qui se produisent au même endroit x' (!) dans le référentiel en translation uniforme:
(49.134)
Pour l'observateur O', l'intervalle de temps est simplement :
(49.135)
Pour mesurer cet intervalle, l'observateur O dans le référentiel fixe, doit aussi imposer que x' est commun aux deuxévénements. Alors en utilisant la relation démontrée au début de ce chapitre:
(49.136)
nous obtenons:
(49.137)
d'où le résultat remarquable ci-dessous :
(49.138)
ce qui ce note sous forme condensée traditionnelle:
(49.139)
Donc l'observateur O mesure un intervalle de temps d'autant plus grand que le référentiel dans lequel se déroule le phénomène se déplace rapidement. Le temps dans le référentiel mobile semble comme dilaté par rapport à celui en vigueur dans le référentiel fixe.
Voyons un exemple d'application sympathique et simplifié (cependant) à l'extrême:
En 1971, une vérification expérimentale directe de la dilatation du temps fut effectuée. Deux avions à bord desquels avaient été placées une horloge atomique au césium pendant leurs vols commerciaux réguliers (l'un vers l'Est, l'autre vers l'Ouest) comparèrent leur horloge à une troisième horloge atomique restée au sol. Cette expérimentation devenue célèbre par le temps est appelée "expérience de Hafele-Keating".
L'avion volant vers l'Est perdit 59 [ns] alors que l'avion volant vers l'Ouest gagna 279 [ns] (la Terre tourne sur elle-même en un jour, d'Ouest en Est). Il fut donc mesuré une différence totale de:
(49.140)
entre les deux horloges est cette différence est nettement supérieure à celle qu'implique la relativité générale.
Analysons l'expérience en considérant que tous les référentiels sont inertiels (ce qui élimine donc la relativité générale).
Remarque: En toute rigueur l'effet de la relativité générale (ralentissement des horloges en fonction de l'altitude conformément à l'effet Einstein vu dans le chapitre de Relativité Générale) n'est absolument pas négligeable puisqu'il est d'une amplitude équivalente à celle de la relativité restreinte.
Considérons pour l'étude trois repères inertiels, un situé au
pôle Nord, un sur Terre (ailleurs qu'au pôle nord dans l'idée!)
et un dans un avion. Les intervalles de temps 
et 
respectivement
(que nous noterons de manière abrégée 
pour
la suite), sont reliés entre eux par la relation démontrée précédemment:
(49.141)
où nous avons donc:
(49.142)
Les repères sur Terre et dans l'avion ont donc des vitesses relatives 
et 
par
rapport au pôle nord. Le temps en avion et sur Terre sont donc
reliées par:
(49.143)
Nous allons récrire cette relation:
(49.144)
Nous allons accepter l'approximation suivante:
(49.145)
où nous avons supposé au dénominateur que:
(49.146)
Pour les racines dont la valeur est de toute façon proche de 1 (puisque c est beaucoup plus grand que les vitesses relatives considérées), nous pouvons faire un développement de Taylor au deuxième ordre lorsque x tend vers zéro:
(49.147)
Nous pouvons alors écrire:
(49.148)
Grâce à ces approximations successives nous pouvons facilement écrire la différence entre les deux horloges qui est alors de:
(49.149)
Selon les hypothèses initiales, la vitesse de croisière des deux avions par rapport au sol est constante et sera notée v. La vitesse de chaque avion (non relativiste selon les approximations précédentes!) est alors:
(49.150)
suivant que l'avion va vers l'Est et:
(49.151)
suivant que l'avion va respectivement vers l'Ouest. Alors:
(49.152)
Nous allons considérer que (c'est assez grossier...):
(49.153)
Donc il reste:
(49.154)
Nous voyons bien évidemment avec qu'avec les approximations effectuées, nous perdons l'asymétrie de la dilatation du temps entre l'Est et l'Ouest. Celui que cela dérange peut appliquer alors directement les valeurs numériques à la relation antéprécédente.
Le résultat précédent des approximations successives permet déjà de voir de manière formelle et rapide que le signe sera en accord avec le résultat expérimental.
Pour une application pratique, nous prendrons la vitesse constante des avions commerciaux de l'époque qui valait:
(49.155)
et le voyage total des avions dura 41 heures selon mesure au sol soit:
(49.156)
et la vitesse d'une point de la surface Terrestre va à la vitesse:
(49.157)
où le rayon de la Terre étant de 6'371 kilomètres (cela suppose que les avions sont sur le rayon de l'équateur!). Nous avons donc en application numérique:
(49.158)
ce qui mène à un résultat très proche de la mesure qui fut effectuée.
Et en utilisant directement la version non approximée:
(49.159)
où nous avons pris cette fois-ci la vitesse de rotation de la terre à la latitude conforme à l'expérience faite en 1971:
(49.160)
Donc nous voyons que le résultat n'est dès lors plus très conforme à l'expérience! Effectivement, il faut maintenant prendre en compte dans ce cas non approximé l'accélération du temps du à la gravité. Nous allons devoir utiliser la relation de l'effet Einstein démontrée dans le chapitre de Relativité Générale:
(49.161)
qui exprime donc que le temps au sol s'écoule moins rapidement que le temps à l'altitude h.
D'après le compte rendu de l'expérience, les avions ont volé à 10'000 [m] d'altitude. Ce qui donne (l'accélération g n'est pas la même au sol qu'à l'altitude pour rappel!) une accélération du temps:
(49.162)
Or, nous voyons que les deux avions étant tout deux à la même hauteur nous avons toujours:
(49.163)
Donc soit il y a d'autres effets, de l'ordre de la Relativité Générale, qui devraient être pris en compte pour expliquer les 66 [ns] de différence par rapport à l'expérience, soit il s'agit d'un problème de précision des appareils de l'époque.
Au fait, nous verrons une étude détaillée de cette expérience dans le chapitre de Relativité Générale et nous verrons que les valeurs théoriques sont en très très bon accord avec les résultats expérimentaux.
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