Variation relativiste de la masse



RELATIVITÉ RESTREINTE

1. Principes et postulats

1.1. Postulat d'invariance

1.2. Principe cosmologique

1.3. Principe de relativité restreinte

2. Transformations de Lorentz

2.1. Facteur de Michelson-Morley

2.2. Quadrivecteur déplacement

2.2.1. Invariance de l'équation d'onde

2.2.2. Interprétation hypergéométrique

2.3. Quadrivecteur vitesse

2.4. Quadrivecteur courant

2.5. Quadrivecteur accélération

2.6. Addition relativiste des vitesses

2.7. Variation relativiste des longueurs

2.8. Variation relativiste du temps

2.9. Variation relativiste de la masse

2.9.1. Équivalence masse-énergie

2.9.2. Lagrangien relativiste

2.10. Quantité de mouvement relativiste

2.10.1. Quadrivecteur énergie-impulsion

2.10.2. Relation d'Einstein

2.10.3. Force relativiste

2.11. Electrodynamique relativiste

2.11.1. Transformation du tenseur du champ

3. Espace-temps de Minkowski

3.1. Quadrivecteurs

3.2. Cônes d'Univers

Bon d'abord attention le titre est abusif par tradition! Nous verrons plus loin pourquoi.

En attendant, imaginons une collision frontale entre deux objets identiques (1), (2) ayant dans le référentiel equation des vitesses égales mais opposées. Nous supposerons que cette collision est élastique, c'est-à-dire que l'énergie cinétique et la quantité de mouvement sont conservées. Avant le choc, les composantes des vitesses des objets (1) et (2) sont :

equation   (49.164)

comme indiqué ci-dessous :

equation
  (49.165)

Après le choc nous avons :

equation   (49.166)

Maintenant, plaçons nous dans un référentiel R qui se déplace par rapport à equation avec la vitesse equation suivant Ox, les composantes des vitesses sont avant choc :

equation   (49.167)

et après le choc :

equation

equation
  (49.168)

Nous avons donc trivialement :

equation   (49.169)

mais en appliquant la loi de composition des vitesses démontrée plus haut :

equation   (49.170)

pour les composantes de l'axe horizontal nous avons :

equation   (49.171)

et pour le mouvement vertical, nous avons vu plus haut que :

equation   (49.172)

Ainsi il vient :

equation   (49.173)

En passant de equation à R, la composant suivant y de la quantité de mouvement total doit rester nulle (comme c'était le cas dans R initialement). Or :

equation   (49.174)

Pour sortir de cette impasse, il faut admettre que les masses respectivement equation des objets (1) et (2) ne peuvent être identiques dans R. Alors cela nous amène à imposer :

equation   (49.175)

entraîne :

equation   (49.176)

Dans R, les normes des vitesses des deux objets sont :

equation   (49.177)

La dernière relation peut s'écrire :

equation   (49.178)

de sorte que :

equation   (49.179)

où nous avons posé :

equation   (49.180)

Nous trouvons ainsi :

equation   (49.181)

Nous poserons maintenant :

equation   (49.182)

où equation est évidemment la masse au repos de l'un ou l'autre des objets identiques (1) et (2).

Le raisonnement que nous venons de faire sur un exemple simple, montre que l'inertie (et non la masse!) d'un objet semble dépendre de sa vitesse v dans un référentiel donné. Au fait, pour être plus exact, c'est le facteur de Michelson-Morley qui varie et non pas la masse en elle même car celle-ci est un invariant relativiste!

D'une façon générale, equation étant la "masse au repos" :

equation   (49.183)

Ainsi, le facteur de Michelson-Morley tend vers l'infini lorsque la vitesse tend vers la vitesse c de la lumière dans le vide. C'est une raison supplémentaire pour affirmer que c est la limite supérieur assignée à la vitesse de tout objet matériel, ce qui est conforme à la fois à l'expérience et aux conséquences déjà formulées de la transformation de Lorentz.

Équivalence masse-énergie

Sous l'action d'une force F, la vitesse d'une masse m augmente ou diminue sur chaque portion de la trajectoire. Le travail de la composante equation peut s'interpréter alors en énergie cinétique equation.. 

Dans la théorie relativiste, la masse varie avec la vitesse, donc:

equation   (49.184)

L'intégration par partie (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

equation   (49.185)

nous donne :

  equation   (49.186)

Le gain d'énergie cinétique d'une particule peut donc être considéré comme gain de sa masse. Puisque equation est la masse au repos, la quantité equation est appelée "énergie au repos" de la particule.

Nous avons donc :

equation   (49.187)

où equation représente l'énergie de mouvement. 

La somme :

equation  (49.188)

représente donc l'énergie totale E de la particule en absence de champ de potentiel. Ce qui nous amène à écrire :

 equation   (49.189)

LAGRANGIEN RELATIVISTE

Les développements suivants vont nous permettre dans l'étude de l'électrodynamique (si ce chapitre n'a pas encore été lu), de déterminer l'expression du tenseur du champ électromagnétique ainsi qu'en physique quantique relativiste de déterminer l'équation de Klein-Gordon avec champ magnétique. Il faut donc bien lire ce qui va suivre.

En relativité, nous voulons donc que les équations du mouvement aient la même forme dans tous les référentiels inertiels. Pour cela, il faut que l'action S (cf. chapitre de Mécanique Analytique) soit donc invariante par rapport aux transformations de Lorentz. Guidés par ce principe, essayons d'obtenir l'action d'une particule libre. Supposons que l'action soit dans le référentiel equation :

equation   (49.190)

Remarques:

R1. Le choix du signe moins deviendra évident lors de notre étude de l'électrodynamique.

R2. La notation equation au lieu de L pour le lagrangien permet simplement de mettre en évidence qu'il s'agit d'un cas d'étude ou le système est libre. Cette distinction de notation sera utile lors de notre étude de la relativité générale et de la détermination du tenseur du champ électromagnétique.

R3. Nous somme pas censés savoir à quel type de masse nous avons affaire (masse au repos ou inertielle) d'où le fait que dans l'ignorance nous travaillerons avec la masse inertielle m quitte à corriger cette hypothèse plus loin.

Et rappelons que :

equation   (49.191)

Dans le référentiel O, nous avons alors "l'action invariant de Lorentz":

equation   (49.192)

Donc selon notre hypothèse initiale, nous avons pour le lagrangien relativiste (en l'absence de champ de potentiel donc... puisque le système est "libre") :

equation   (49.193)

Dans l'approximation non-relativiste equation, nous avons selon le développement de MacLaurin :

equation   (49.194)

Nous retrouvons donc le lagrangien habituel d'un système libre en mouvement mais plus une constante equation qui n'affecte cependant pas les équations du mouvement que nous obtenons en mécanique classique mais qui nous sera absolument nécessaire en électrodynamique.

Rappelons maintenant que le moment généralisé (cf. chapitre de Mécanique Analytique) est défini par :

equation   (49.195)

Nous allons voir maintenant que cette définition n'est pas fortuite. Effectivement :

equation   (49.196)

L'hamiltonien (cf. chapitre de Mécanique Analytique) vaut :

equation   (49.197)

ce qui donne  :

equation   (49.198)

L'hamiltonien est dans ce cas égal à l'énergie totale de la particule. Son expression nous amène à finalement à changer un peu notre hypothèse initiale et finalement à écrire equation au lieu de m dans l'expression de l'action S.

Ainsi nous avons finalement :

equation   (49.199)

et :

equation   (49.200)

Dans l'approximation non relativiste equation, equation devient avec un développement de MacLaurin (cf. chapitre sur les Suites Et Séries):

equation   (49.201)

Nous reconnaissons l'énergie cinétique usuelle, plus une constante : l'énergie au repos. Ce qui correspond bien aux calculs que nous avions fait avant où nous avons obtenu :

equation   (49.202)


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