Quantité de mouvement relativiste
1. Principes et postulats
1.1. Postulat d'invariance
1.2. Principe cosmologique
1.3. Principe de relativité restreinte
2. Transformations de Lorentz
2.1. Facteur de Michelson-Morley
2.2. Quadrivecteur déplacement
2.2.1. Invariance de l'équation d'onde
2.2.2. Interprétation hypergéométrique
2.3. Quadrivecteur vitesse
2.4. Quadrivecteur courant
2.5. Quadrivecteur accélération
2.6. Addition relativiste des vitesses
2.7. Variation relativiste des longueurs
2.8. Variation relativiste du temps
2.9. Variation relativiste de la masse
2.9.1. Équivalence masse-énergie
2.9.2. Lagrangien relativiste
2.10. Quantité de mouvement relativiste
2.10.1. Quadrivecteur énergie-impulsion
2.10.2. Relation d'Einstein
2.10.3. Force relativiste
2.11. Electrodynamique relativiste
2.11.1. Transformation du tenseur du champ
3.1. Quadrivecteurs
L'énergie totale E
et la quantité de mouvement 
d'une
particule peuvent donc prendre n'importe quelle valeur positive
(si la vitesse tend vers la valeur limite c,
la masse s'adapte pour que le produit ne
soit pas borné).
Dans l'expression de E
, nous pouvons remplacer
la vitesse 
par
une fonction de 
:
(49.203)
introduit dans :
(49.204)
nous avons :
(49.205)
d'où (nous reviendrons sur cette relation de la plus haute importance lors de notre démonstration de la relation d'Einstein) :
(49.206)
Nous n'avons pas gardé la partie négative de l'égalité précédente car elle n'a aucun sens en physique classique. Cependant, lorsque nous étudierons la physique quantique relativiste, il s'avérera indispensable de la préserver sinon quoi nous arriverons à des absurdités.
Cependant, nous pouvons bien évidemment écrire cette dernière relation aussi sous la forme :
(49.207)
ou encore (beurk!) :
(49.208)
En d'autres termes, l'énergie totale d'une particule en mouvement est égale à son énergie de masse additionnée par son énergie cinétique (rien de fondamentalement nouveau).
Cette relation présente deux cas limite où nous pouvons réduire la formule :
C1. Pour une particule au
repos (p=0), nous pouvons réduire l'expression à
(en omettant l'énergie négative...pour l'instant).
C2. Nous pouvons appliquer l'équation à une particule
sans masse de manière à éliminer le premier
terme ce qui nous donne alors 
.Un
photon, par exemple, à une masse nulle au repos mais
il n'est jamais au repos... Par définition, c'est un
quantum d'énergie,
son énergie cinétique n'est donc jamais nulle et
il a donc un masse correspondant à son énergie cinétique.
Ainsi, une particule de masse nulle au repos se déplace à
la vitesse de la lumière, quel que soit le référentiel
choisi! A l'inverse, une particule ayant une masse au repos non-nulle
ne pourra jamais atteindre la vitesse de la lumière dans
aucun référentiel.
R1. Comme nous le
démontrerons plus loin (voir la "relation d'Einstein"), à
partir de la définition de la loi de Planck, nous pourrons
écrire 
R2. La masse du photon peut difficilement être non nulle! Effectivement, la théorie quantique serait alors dans le cas contraire fausse. Or, elle n'a jamais été mise à défaut à ce jour (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire). On aurait également un léger changement sur la loi des forces électrostatiques et gravitationnel selon le potentiel de Yukawa (cf. chapitre de Physique Quantique Des Champs) et cela se remarquerait.
Cherchons maintenant les relations entre p et p' ainsi qu'entre E et E', pour qu'il soit possible à O' d'écrire :
(49.209)
Nous commençons alors à nous débarrasser de la racine carrée:
(49.210)
Si O écrit :
(49.211)
O' doit pouvoir écrire :
(49.212)
Nous avons donc :
(49.213)
Si nous comparons :
,
,
et
(49.214)
nous obtenons des expressions exactement semblables à celles utilisées pour les transformations de Lorentz des composantes spatiales et temporelles. Nous pouvons alors écrire, par similitude, que les transformations pour la quantité de mouvement et l'énergie sont dès lors données par :
(49.215)
À nouveau, si nous prenons :
(49.216)
toujours avec
.
Nous avons dès lors en exprimant
toutes les relations précédentes de transformation dans les mêmes
unités en se souvent que 
:
(49.217)
Nous pouvons alors définir un matrice telle que:
(49.218)
où nous retrouvons
la "matrice de Lorentz" ou "tenseur symétrique de Lorentz"
.
Le vecteur :
est quant à lui, appelé le "quadrivecteur d'énergie-impulsion". Son utilité est que sa valeur est conservée, lors d'une réaction nucléaire. Si nous additionnons ces vecteurs sur toutes les particules (sans oublier les photons) avant et après la réaction, nous trouve les mêmes sommes pour les 4 composantes.
R1. La transformation inverse étant effectuée bien évidemment avec la matrice inverse que nous avons déjà exposée plus haut.
R2. Nous utilisons en optique
relativises le quadrivecteur 
,
où 
est la pulsation de l'onde et 
le vecteur d'onde (cf. chapitre de Mécanique
Ondulatoire ou Optique Ondulatoire). Ce quadrivecteur est
l'équivalent
pour une onde électromagnétique du quadrivecteur 
pour une particule, multiplié par la constant de Planck 
.
En effet, la dualité onde-corpusccule (cf.
chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) attribue à une
onde une énergie
:
(49.220)
et une quantité de mouvement dont la norme est :
(49.221)
RELATION D'EINSTEIN
Suivant le principe de relativité, nous souhaitons que la relation entre la quantité de mouvement et l'énergie d'une onde électromagnétique s'écrive de la même manière pour deux observateurs d'inertie en translation l'un par rapport à l'autre:
Si O écrit :
(49.222)
alors O' doit pouvoir écrire :
(49.223)
Reprenons la première relation
ci-dessus et mettons-la au carré sans oublier que le photon à une
masse nulle 
.
Alors :
(49.224)
et
comme :
(49.225)
Étant donnée connue la relation de Planck (définie en thermodynamique) :
nous sommes amenés à écrire la fameuse "relation d'Einstein" que nous retrouverons très souvent en physique quantique ainsi qu'en thermodynamique :
(49.226)
FORCE RELATIVISTE
Suivant le principe de la relativité, nous voulons que la relation entre la force et la quantité de mouvement s'écrive de la même manière par deux observateurs d'inertie en translation l'un par rapport à l'autre:
Ainsi, si O écrit :
(49.227)
O' doit pouvoir écrire :
(49.228)
La relation entre 
est
assez compliquée dans le cas général. Nous nous limiterons ici au
cas particulier où un corps est momentanément immobile dans O'
et où donc l'observateur O'
ne tiendra compte que de la force 
qu'il
applique. Il l'appellera par ailleurs "force
propre",
car il n'a pas à se préoccuper d'autres forces (comme une force
centrifuge, par exemple).
Il faut substituer p' et t' par p et t dans :
(49.229)
Puisque :
(49.230)
nous aurons :
(49.231)
Nous avons par ailleurs vu que :
(49.232)
Il reste donc :
(49.233)
La composante de la force est donc invariable dans la direction du déplacement.
Pour les directions y, z perpendiculaires au déplacement:
et
(49.234)
En résumé:
(49.235)
Cependant, pour passer d'un référentiel à un autre, il vaut mieux utiliser le "quadrivecteur force" défini comme la dérivée du quadrivecteur impulsion par rapport au temps propre :
(49.236)
Effectivement, rappelons que :
(49.237)
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