QUADRIVECTEUR DÉPLACEMENT
1. Principes et postulats
1.1. Postulat d'invariance
1.2. Principe cosmologique
1.3. Principe de relativité restreinte
2. Transformations de Lorentz
2.1. Facteur de Michelson-Morley
2.2. Quadrivecteur déplacement
2.2.1. Invariance de l'équation d'onde
2.2.2. Interprétation hypergéométrique
2.3. Quadrivecteur vitesse
2.4. Quadrivecteur courant
2.5. Quadrivecteur accélération
2.6. Addition relativiste des vitesses
2.7. Variation relativiste des longueurs
2.8. Variation relativiste du temps
2.9. Variation relativiste de la masse
2.9.1. Équivalence masse-énergie
2.9.2. Lagrangien relativiste
2.10. Quantité de mouvement relativiste
2.10.1. Quadrivecteur énergie-impulsion
2.10.2. Relation d'Einstein
2.10.3. Force relativiste
2.11. Electrodynamique relativiste
2.11.1. Transformation du tenseur du champ
3.1. Quadrivecteurs
Nous en tirons les relations de "transformation de Lorentz" pour passer des valeurs mesurées par O' et celles mesurées par O et inversement :
(49.37)
qui ont par ailleurs comme propriété d'être covariantes (se traduisent comme par des relations ayant même structure lors d'un changement de référentiel Galiléen).
Nous pouvons aussi écrire les dernières relations sous la forme (le lecteur remarquera que les unités de tous les termes à gauche de l'égalité sont toutes identiques- il s'agit à chaque fois d'une distance!) :
(49.38)
Nous pouvons alors mettre les transformations de Lorentz des coordonnées et du temps sous la forme matricielle (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) traditionnelle suivante qui définit la "matrice de Lorentz" ou de "matrice de Lorentz-Poincaré":
(49.39)
et réciproquement :
(49.40)
ce qui donne :
(49.41)
sous forme indicielle cela est plus fréquemment noté :
(49.42)
ce qui sous forme tensorielle s'écrit :
ou 
(49.43)
Il s'agit de la forme traditionnelle chez les physiciens de l'expression de changement de référentiel localement inertiel par une transformation de Lorentz.
voir
parfois 
ou
encore 
.Le vecteur :
(49.44)
est appelé le "quadrivecteur d'espace-temps" ou encore "quadrivecteur déplacement".
Remarquons que puisque :
(49.45)
la transformation
par la matrice
conserve donc la norme. En termes, géométriques il s'agit donc
d'une isométrie.
INVARIANCE DE L'ÉQUATION D'ONDE
Maintenant que nous avons déterminé les transformations de Lorentz, nous pouvons contrôler si l'équation d'onde est invariante relativement à ces dernières (rappelons que nous avons démontré plus haut qu'elle n'était pas invariante à une transformation Galiléenne).
Partant de la transformation de Lorentz écrite en clair :
(49.46)
nous calculons les dérivées partielles par rapport à x et t (l'expression après la deuxième égalité ayant été démontrée plus haut dans ce chapitre):
(49.47)
Ces relations peuvent aussi s'écrire :
(49.48)
Au carré :
(49.49)
Dans les équations de Maxwell, ou plutôt dans l'équation de propagation du champ électrique ou magnétique dans le vide, nous avons montré (cf. chapitre d'Électrodynamique) que l'opérateur suivant apparaissait :
(49.50)
En substituant les expressions différentielles précédentes :
(49.51)
Nous avons donc bien :
(49.52)
qui montre qu'une transformation de Lorentz laisse invariant cet opérateur (Jackpot!). Nous avons donc obtenu ce que nous cherchions!
interprétation hypergéometrique
Revenons maintenant à nos transformations de Lorentz. Rappelons que nous nous sommes restreints au cas particulier où les axes d'espaces étaient parallèles (ce qui nous avait amené à définir le terme "transformations de Lorentz pures"). Cette configuration spéciale a une propriété géométrique intéressante dont parfois dont de nombreux ouvrages font usage.
Voyons de quoi il s'agit :
Nous avons vu dans le cadre
des transformations de Lorentz des longueurs que nous avions une
transformation spéciale (boost) que selon l'axe Ox,
ayant pour les autres composantes 
.
Ce qui nous permet tout à fait de réduire la matrice
de transformation que nous
avions à une matrice 
plutôt que 
comme nous l'avions obtenu plus haut :
(49.53)
Les propriétés A, B, C, D de ses composantes sont telles que :
(49.54)
La première relation peut être mise en relation avec une des relations remarquables de la trigonométrie hyperbolique (cf. chapitre de Trigonométrie) tel que :
et
(49.55)
la deuxième qu'il
existe 
tel que :
et
(49.56)
(de même pour 
qui est strictement positif) cela nous imposera à la fin
des calculs d'avoir 
.
Dès lors, comme 
et
la seule manière pour que C (ainsi que B) puisse
être négatif c'est de mettre un "-".La troisième donne alors la relation d'addition remarquable :
(49.57)
et donc 
que nous noterons plus simplement 
.
Ce qui valide les relations :
(49.58)
Finalement les transformations de Lorentz spéciales de vitesse v suivant l'axe X peuvent aussi s'écrire :
(49.59)
ce qui nous amène à écrire :
et 
(49.60)
La quantité 
(sans dimensions) est appelée "rapidité"
par ceux qui l'utilisent en physique des hautes énergies.
Nous nous arrêterons ici en ce qui concerne l'étude
géométrique de la relativité restreinte trouvant
que cela à de moins en moins d'intérêt de procéder
ainsi (bien que ce soit fort sympathique).
QUADRIVECTEUR VITESSE
Nous pouvons de même déterminer les transformations de Lorentz des vitesses. Considérons une particule en mouvement dans le référentiel inertiel O' tel qu'au temps t', ses coordonnées sont x', y', z'.
(49.61)
Dès lors, les composantes de la vitesse v' sont :
(49.62)
Quelles sont alors les composantes dans la vitesse dans O (rappelons que O s'éloigne à vitesse v) ?
A nouveau, nous écrivons :
(49.63)
Nous pouvons différentier les équations de transformation des composantes que nous avons obtenus avant et ainsi pouvons écrire :
(49.64)
Dès lors, nous avons :
(49.65)
et de même :
(49.66)
et :
(49.67)
Et comme la vitesse constante
du référentiel O' est donné par 
,
nous avons alors :
(49.68)
et inversement :
(49.69)
Dans la limite de la mécanique
classique, où la vitesse de la lumière était
supposée comme instantanée et donc 
,
nous avons :
(49.70)
qui sont les transformations de Galilée telles que nous les avons vues en mécanique classique.
Comme nous pouvons le voir, les transformations des vitesses ne suivent pas trop la forme de la matrice de Lorentz que nous avions déterminé plus haut pour les coordonnées. Les physiciens, n'aimant pas ce qui est inhomogène, ont cherché à avoir les mêmes transformations pour les deux.
Ainsi, reprenons les relations de transformation des vitesses et récrivons les tels que ci-dessous :
(49.71)
Ces relations peuvent s'écrire différemment si nous calculons :
(49.72)
Soit en simplifiant un peu :
(49.73)
Posons :
(49.74)
et :
(49.75)
et :
(49.76)
Avec cette notation, la relation :
(49.77)
s'écrit :
(49.78)
En procédant de même pour chacune des composantes, nous aurons au total :
(49.79)
et nous avons atteint ici
notre objectif d'homogénéisation qui nous permet d'écrire
si nous posons 
:
(49.80)
ce qui sous forme tensorielle s'écrit :
ou 
(49.81)
Le vecteur :
(49.82)
est quant à lui appelé le "quadrivecteur vitesse".
QUADRIVECTEUR COURANT
Nous avons défini naturellement lors de notre introduction du tenseur du champ électromagnétique (cf. chapitre d'Électrodynamique) le quadrivecteur courant :
(49.83)
que nous pouvons écrire :
(49.84)
Dès lors, en considérant
comme la densité de charge dans le référentiel
propre se déplaçant à la vitesse v par
rapport au référentiel O'. Du fait de la contraction
des longueurs dans la direction de la vitesse, le volume occupé
par une charge donnée sera multipliée par le facteur
de sorte que :
(49.85)
qui n'est d'autre que le "quadrivecteur courant" où nous retrouvons le quadrivecteur vitesse déterminé précédemment.
page suivante : 2.5. Quadrivecteur accélération
