QUADRIVECTEUR ACCÉLÉRATION
1. Principes et postulats
1.1. Postulat d'invariance
1.2. Principe cosmologique
1.3. Principe de relativité restreinte
2. Transformations de Lorentz
2.1. Facteur de Michelson-Morley
2.2. Quadrivecteur déplacement
2.2.1. Invariance de l'équation d'onde
2.2.2. Interprétation hypergéométrique
2.3. Quadrivecteur vitesse
2.4. Quadrivecteur courant
2.5. Quadrivecteur accélération
2.6. Addition relativiste des vitesses
2.7. Variation relativiste des longueurs
2.8. Variation relativiste du temps
2.9. Variation relativiste de la masse
2.9.1. Équivalence masse-énergie
2.9.2. Lagrangien relativiste
2.10. Quantité de mouvement relativiste
2.10.1. Quadrivecteur énergie-impulsion
2.10.2. Relation d'Einstein
2.10.3. Force relativiste
2.11. Electrodynamique relativiste
2.11.1. Transformation du tenseur du champ
3.1. Quadrivecteurs
Ayant obtenu précédemment une quadrivecteur vitesse transformable à l'aide de la matrice de Lorentz cherchons aussi l'équivalent pour l'accélération. Le quadrivecteur accélération s'exprime naturellement comme la dérivée par rapport au temps propre de la quadrivitesse tel que:
(49.86)
Il faudra d'abord que le lecteur admette (nous le démontrons cependant un peu plus loin) que :
(49.87)
Dès lors, nous avons :
(49.88)
Si nous introduisons l'accélération
ordinaire 
nous voyons que :
(49.89)
alors :
(49.90)
En utilisant la relation (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :
(49.91)
nous trouvons que le quadrivecteur accélération peut être écrit :
(49.92)
Le vecteur :
(49.93)
est appelé "quadrivecteur accélération" et se transforme donc aussi à l'aide de la matrice de Lorentz.
Nous voyons que si 
et 
cette dernière relation se simplifie en :
(49.94)
Nous retrouvons donc l'accélération classique.
En utilisant
la métrique de Minkowski (voir sa définition plus
loin), notée 
calculons la norme du quadrivecteur accélération :
(49.95)
il s'agit dans ce cas implicitement de la somme du carré
des composantes du calcul entre la parenthèse.Et comme :
(49.96)
nous rassemblons cela :
(49.97)
Maintenant, nous développons la somme 
de la grosse parenthèse qui devient dès lors :
(49.98)
Nous simplifions :
(49.99)
d'où :
(49.100)
Or, nous avons la relation :
(49.101)
et la propriété du produit vectoriel :
(49.102)
Ce qui nous donne finalement :
(49.103)
Imaginons maintenant un objet avec un mouvement
relatif uniformément accéléré 
(accélération constante) dans notre propre référentiel.
Si nous supposons notre référentiel fixe, nous avons
.
Dès lors :
(49.104)
In extenso, si le mouvement accéléré ne se fait que le long d'une seule composante :
(49.105)
Or, nous avons aussi :
(49.106)
Donc finalement, nous pouvons écrire :
(49.107)
Ce qui après intégration donne :
(49.108)
Nous voyons que la vitesse u n'atteint jamais c alors que la force est toujours la même!
Nous avons donc :
(49.109)
ce qui nous donne :
(49.110)
Après réarrangement, nous écrivons cela :
(49.111)
Nous sommes bien loin de la relation du mouvement uniformément accéléré que nous avions en mécanique classique. Cependant, pour t proche de zéro, nous retrouvons la relation de la mécanique classique en prenant le développement de Taylor au deuxième ordre de la racine (cf. chapitre Suites Et Séries) :
(49.112)
Cependant, ceci ne nous donne pas les relations de transformations de composantes de l'accélération sous une forme simple. Voyons donc comment les obtenir.
Rappelons d'abord que nous avions obtenu pour la vitesse :
(49.113)
Il vient en les différentiant :
(49.114)
et donc :
(49.115)
Rappelons maintenant que nous avions démontré que :
(49.116)
en différenciant il vient :
(49.117)
d'où finalement :
(49.118)
et pour les composantes y, z :
(49.119)
et donc :
(49.120)
Donc finalement :
(49.121)
Rappelons que ces relations s'appliquent lorsque les mouvements des référentiels sont de translation uniforme!
Addition relativiste des vitesses
Comme la vitesse de la lumière est une vitesse supposée indépassable nous venons maintenant à nous demander quelle sera alors finalement la vitesse d'un objet lancé à une vitesse proche de celle de la lumière (par exemple...) à partir d'un référentiel se déplaçant lui aussi à une vitesse proche de la lumière (pourquoi pas non plus...).
Il nous faut
alors trouver une relation qui donne la vitesse réelle V
à partir de la vitesse de lancement 
et
de la vitesse de référentiel 
.
Nous savons que pour l'objet lancé :
(49.122)
Comme celui qui est intéressé ne connaît pas la vitesse réelle V, il se doit d'utiliser les transformations de Lorentz. Ainsi, nous avons vu plus haut que :
(49.123)
et nous avons également :
(49.124)
d'où :
(49.125)
Nous
savons que 
d'où
finalement la "loi de compositions des
vitesses relativistes"
:
(49.126)
qui est donc la vitesse d'un corps en mouvement dans la référentiel en mouvement par rapport au référentiel au repos (ou autrement dit : vu par le référentiel en mouvement).
Et réciproquement vu de l'autre référentiel en mouvement nous avons en faisant les mêmes développements (avec inversion des signes et des vitesses bien sûr):
(49.127)
qui est donc la vitesse d'un corps en mouvement dans la référentiel en repos par rapport au référentiel en mouvement (ou autrement dit : vu par le référentiel en mouvement).
VARIATION relativiste des longUeurs
Considérons maintenant que longueur d'un objet est donnée par la distance entre ses deux extrémités A et B. Considérons cet objet AB immobile dans le référentiel O' et orienté selon l'axe O' x'.
(49.128)
Sa longueur est donc la distance entre ses deux extrémités :
(49.129)
Pour l'observateur O, l'objet est en mouvement. Les positions de A et B devraient donc être mesurées simultanément :
(49.130)
Il vient donc en utilisant la relation démontrée au début de ce chapitre:
(49.131)
la différence suivante:
(49.132)
d'où le résultat remarquable :
(49.133)
Ainsi, la longueur d'une règle observée dans un référentiel mobile par rapport au référentiel propre de la règle est inférieure à sa longueur propre. Ce phénomène porte le nom de "contraction des longueurs".
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