Espace-temps de Minkowski
1. Principes et postulats
1.1. Postulat d'invariance
1.2. Principe cosmologique
1.3. Principe de relativité restreinte
2. Transformations de Lorentz
2.1. Facteur de Michelson-Morley
2.2. Quadrivecteur déplacement
2.2.1. Invariance de l'équation d'onde
2.2.2. Interprétation hypergéométrique
2.3. Quadrivecteur vitesse
2.4. Quadrivecteur courant
2.5. Quadrivecteur accélération
2.6. Addition relativiste des vitesses
2.7. Variation relativiste des longueurs
2.8. Variation relativiste du temps
2.9. Variation relativiste de la masse
2.9.1. Équivalence masse-énergie
2.9.2. Lagrangien relativiste
2.10. Quantité de mouvement relativiste
2.10.1. Quadrivecteur énergie-impulsion
2.10.2. Relation d'Einstein
2.10.3. Force relativiste
2.11. Electrodynamique relativiste
2.11.1. Transformation du tenseur du champ
3.1. Quadrivecteurs
Nous avons démontré plus haut que:
(49.288)
Écrivons cela sous la forme :
(49.289)
Multiplions les deux membres
par 
:
(49.290)
ce qui nous donne :
(49.291)
Si 
,
l'équation s'annule :
(49.292)
Ce résultat traduit, que les dimensions d'espace et de temps sont comme arrêtées dans le référentiel relativiste, car la vitesse relative de l'objet est égale à celle de la lumière!
Imaginons maintenant qu'un
faisceau lumineux soit émis à l'instant 
et se propage depuis l'origine du référentiel. Nous
savons que dans l'espace-temps (application du théorème
de Pythagore dans l'espace euclidien à trois dimensions) la distance
parcoure par le photon lumineux est :
(49.293)
En changeant t de membre et en portant le tout au carré pour supprimer la racine, nous obtenons :
(49.294)
Considérons maintenant deux
événements de coordonnées 
et
et
pour éviter la confusion changeons de lettre 
.
Nous pouvons dès lors écrire l'intervalle spatio-temporel tel quel
:
(49.295)
En passant à la limite, nous obtenons la forme quadratique :
(49.296)
qui
à la même forme et même valeur quelque soit le référentiel considéré.
L'intervalle infinitésimal d'espace-temps 
entre deux événements infiniment voisions est donc un invariant
relativiste que nous appelons souvent "abscisse
curviligne d'espace-temps", c'est l'intervalle d'espace-temps
où, comme le dit simplement Einstein, le "carré de la distance"....
Le fait que cette grandeur puisse être positive, négative (!)
ou nulle est liée au caractère absolu de la vitesse de la lumière
(nous y reviendrons juste après).
Nous pouvons aussi maintenant nous intéresser au caractère relativiste de cette métrique. Si elle est invariante, c'est qu'elle doit aussi l'être par les transformations de Lorentz. Nous disons alors que "la métrique est invariante par transformation de Lorentz". Une telle transformation peut être trouvée en s'inspirant de celle utilisée pour le tenseur du champ électromagnétique (voir plus haut). Le lecteur vérifiera sans peine en s'inspirant de l'exemple détaillé du champ électromagnétique que pour le tenseur métrique, nous avons la relation :
(49.297)
L'abscisse curviligne
peut s'exprimer aussi par la norme du quadrivecteur déplacement
que nous avions défini plus comme étant 
.
Effectivement, la
norme (cf. chapitre de Calcul Tensoriel)
s'écrit en descendant
les indices à l'aide de la "métrique
de Minkowski" 
ou "métrique pseudo-riemannienne" :
(49.298)
avec par définition (nous reviendrons là-dessus dans les détails au début de notre étude de la relativité générale) la "matrice de Minkowski":
(49.299)
Si nous mettons les deux relations suivantes en correspondance :
et
(49.300)
nous avons alors
lorsque que les deux événements sont reliés à la vitesse de la lumière.
De plus, si nous posons 
nous
pouvons alors écrire :
(49.301)
Ceci n'est rien d'autre
que l'équation d'un cône (cf.
chapitre de Géométrique
Analytique) d'axe d'ordonnée 
...
le fameux "cône d'Univers" (sur
lequel nous consacrons une étude plus loin). Tout événement est
donc par extension dans ce cône et l'évolution de tout système
peut donc y être décrit (par
sa position spatiale et temporelle), par ce que nous appelons
sa "ligne d'Univers".
La ligne d'Univers d'une
particule est donc la séquence d'événements qu'elle occupe durant
sa vie.
quadrivecteurs
Nous venons de définir ce qu'était la métrique de Minkowski, nous pouvons maintenant définir correctement le concept de quadrivecteur que nous avons déjà abordé sans toutefois toujours savoir ce que l'on faisait.
Définition: Dans
un espace à quatre dimensions de type Minkowski, quatre
grandeurs 
(peu
importe l'ordre des termes pour cette définition ou
que les indices soient des chiffres ou des lettres correspondant
aux quatre composantes spatio-temporelles) forment un quadrivecteur
covariant si elles se transforment suivant la transformation
de Lorentz :
(49.302)
La pseudo-norme d'un quadrivecteur
dans un espace de Minkowski à métrique 
est alors :
(49.303)
où nous voyons que le quadrivecteur multiplié contravariant multiplié par la métrique redonne le quadrivecteur covariant.
La quantité suivante étant invariante par changement de référentiel Galiléen comme nous l'avons vu presque tout au début de ce chapitre :
(49.304)
Cette propriété d'invariance par changement de référentiel Galiléen des quadrivecteurs est leur propriété principale. Ainsi deux observateurs en mouvement relatif uniforme l'un par rapport à l'autre doivent pour comparer les résultats d'une même mesure utiliser la norme des quadrivecteurs. De même, les lois qu'ils cherchent à déterminer pour être les plus générales possibles doivent utiliser ces quantités invariantes!
Nous pouvons par ailleurs aussi écrire la norme sous la forme :
(49.305)
et les quadrivecteurs sous la forme :
(49.306)
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