ÉLÉCTRODYNAMIQUE RELATIVISTE
1. Principes et postulats
1.1. Postulat d'invariance
1.2. Principe cosmologique
1.3. Principe de relativité restreinte
2. Transformations de Lorentz
2.1. Facteur de Michelson-Morley
2.2. Quadrivecteur déplacement
2.2.1. Invariance de l'équation d'onde
2.2.2. Interprétation hypergéométrique
2.3. Quadrivecteur vitesse
2.4. Quadrivecteur courant
2.5. Quadrivecteur accélération
2.6. Addition relativiste des vitesses
2.7. Variation relativiste des longueurs
2.8. Variation relativiste du temps
2.9. Variation relativiste de la masse
2.9.1. Équivalence masse-énergie
2.9.2. Lagrangien relativiste
2.10. Quantité de mouvement relativiste
2.10.1. Quadrivecteur énergie-impulsion
2.10.2. Relation d'Einstein
2.10.3. Force relativiste
2.11. Electrodynamique relativiste
2.11.1. Transformation du tenseur du champ
3.1. Quadrivecteurs
Avec un spectromètre de masse, nous établissons que le rapport m/q de la masse m d'une particule par sa charge électrique q varie de la même manière que la masse m lorsque la vitesse v de la particule varie :
(49.238)
Ainsi, il vient que :
(49.239)
La charge d'une particule est donc indépendante de sa vitesse comme nous l'avons démontré dans la section d'électromagnétisme (cf. chapitre d'Électrodynamique) lors de la détermination de l'équation de conservation de la charge.
Considérons maintenant deux charges q et Q immobiles dans le référentiel O' en translation à vitesse v par rapport à O :
(49.240)
Nous allons nous restreindre
au cas où la vitesse 
est parallèle à l'axe X :
(49.241)
La charge Q est placée en O' et elle est donc immobile pour O' . L'observateur O' conclut qu'une force électrostatique :
(49.242)
agit donc sur la charge témoin
q placée en 
.
(49.243)
L'observateur O
voit également un champ électrostatique 
en
,
mais il voit aussi que Q est en mouvement selon l'axe X.
Il en déduit donc l'existence d'un champ magnétique 
en
orienté
dans le plan YZ :
(49.244)
Il mesure donc la force (cf. chapitre de Magnétostatique) de Lorentz (supposée connue) :
(49.245)
Mais :
(49.246)
Donc :
(49.247)
Nous avons vu maintenant:
(49.248)
La comparaison des expressions ci-dessus donne les transformations relativistes du champ électrique :
(49.249)
Comme pour la transformation de Lorentz des composantes spatiales et temporelles, nous avons obtenu les transformations inverses en échangeant les champs et en considérant que O' voit O reculer (nous remplaçons donc v par -v).
Pour obtenir les transformations du champ magnétique nous procédons comme ci-dessous:
(49.250)
Après quelques petites manipulations d'algèbre très élémentaire, nous obtenons :
(49.251)
Nous faisons identiquement:
(49.252)
Après encore une fois quelques petites manipulations d'algèbre très élémentaire, nous obtenons :
(49.253)
et ainsi de suite. Nous obtenons finalement :
(49.254)
Etudions maintenant le comportant du champ électromagnétique d'une charge en mouvement :
Soient deux référentiels parallèles O et O', en translation à vitesse constante v selon l'axe XX' :
(49.255)
où une charge immobile Q est placée en O'.
Il
est clair alors que l'observateur O mesure 
partout
et qu'au point P du plan X 'Y ', en 
il
mesure le champ électrostatique :
(49.256)
Si l'observateur O
est informé des valeurs de 
et
de 
,
il peut les introduire dans les transformées relativistes donnant
le champ électrique 
qu'il
observe:
(49.257)
Pour écrire une expression
du champ 
au point P, l'observateur O doit déterminer, à un
instant t de son temps local, les composantes du vecteur
qui
sépare le point P de la charge Q (en sommant les
vecteurs positions de ces deux derniers points matériels).
Les coordonnées du point P et de la charge Q qu'il voit dans le plan XYZ sont données par les transformations de Lorentz habituelles :
et
(49.258)
Il en déduit donc facilement, par sommation les distances x,y.
Une autre méthode, plus simple, est que étant donné que la composante x est une longueur, elle subit donc les transformations de Lorentz et :
(49.259)
Car rappelons-le:
et
(49.260)
La transformée relativiste du champ électrique donne alors:
(49.261)
et :
(49.262)
Écrit sous forme vectorielle :
(49.263)
Il nous faut encore déterminer exprimer r' en fonction de r :
(49.264)
car (théorème de Pythagore) :
(49.265)
L'écriture se simplifie si
nous utilisons l'angle formé par le vecteur champ électrique et
l'axe X. Nous notons alors 
dans
O' et 
dans
O les angles données par :
et
(49.266)
avec 
à
cause de la dilatation des longueurs selon l'axe X.
Nous élimine y avec :
(49.267)
Ainsi, le champ électrique
que
voit O est donné par :
(49.268)
Le facteur contenant 
montre
que le champ électrique 
d'une
charge en mouvement n'a plus la symétrie sphérique. Il dépend de
la direction du vecteur 
.
A distance égales, le champ
électrique est plus intense dans la direction verticale à celle
du déplacement (
)
que dans la direction du déplacement de la charge (
).
Si v=0, nous retrouvons par ailleurs l'expression classique et connue:
(49.269)
Pour trouver maintenant l'expression
du champ magnétique ,
nous introduisons :
et
et
(49.270)
dans:
(49.271)
Nous obtenons dès lors:
(49.272)
qui sont les composantes de :
(49.273)
Pour connaître 
en
fonction de 
,
nous substituons l'expression obtenue pour 
(49.274)
Dans le cas où la vitesse est faible, le terme relativiste tend
vers 1 et le champ 
d'une charge Q se déplaçant à la vitesse v devient:
(49.275)
car comme nous l'avons dans
le chapitre d'Électrodynamique : 
R1. En chaque endroit, les
lignes du champ sont
contenues dans un plan perpendiculaire à la direction de déplacement
de la charge Q
(produit vectoriel oblige)
R2. Si la charge en mouvement est vue comme un dQ attaché au point O', nous pouvons interpréter son déplacement à vitesse v comme un courant I en un point du référentiel O où se trouve O'. Ainsi :
(49.276)
Cette dernière relation est connue sous le nom de la "loi de Biot et Savart" et nous la retrouverons au début de la section traitant de l'électromagnétisme. Cet état de fait, valide encore le modèle relativiste.
Il est intéressant de se rappeler qu'une particule chargée en mouvement sera vue dans le référentiel de la particule comme n'émettant aucun champ électromagnétique (il y aura juste un champ électrostatique). Ce qui n'est pas le cas pour un référentiel au repos. Il y a donc ici une sorte de contradiction contre intuitive flagrante.
Mais cela pose alors un autre problème, dans un référentiel en mouvement accéléré, une particule chargée émet normalement un rayonnement d'accélération, ce rayonnement en mécanique quantique doit s'accompagner forcément de l'émission d'un quanta, qui lui existe ou n'existe pas (un moyen terme n'existe pas). L'existence même des photons seraient donc purement relative. Et pourtant c'est le cas! Certaines particules n'ont qu'une existence relative. La réponse compliquée, c'est donc de savoir ce que sont devenus les photons.
Mais là, nous touchons à la limite de ce que nous maîtrisons parfaitement dans la physique de la fin du 20ème siècle car nous parlons de référentiels accélérés (ce qui implique d'être en relativité générale et non restreinte) et de théorie quantique des champs. Le cadre rigoureux pour traiter ça (qui engloberait une gravitation quantique) n'existe pas encore. Mais un premier pas a été franchis avec le développement de la théorie quantique des champs en espace courbe.
TRANSFORMATION DU TENSEUR DE CHAMP
Nous avons vu et démontré dans le chapitre d'Électrodynamique que l'ensemble du champ électromagnétique se résumait au tenseur du même nom. Il serait alors bon de regarder comment se transforme ce tenseur et s'il le fait correctement relativement aux résultats obtenus plus hauts.
Considérons la transformation (où le tenseur du champ électromagnétique est en unités naturelles!!!) :
(49.277)
Avec :
(49.278)
Prenons, par exemple, la vitesse parallèle à l'axe x, alors nous avons démontré plus haut que :
(49.279)
Soit, donc :
(49.280)
Nous calculons les transformées (ce rappeler que le tenseur du champ électromagnétique est antisymétrique!) :
(49.281)
Nous en déduisons donc, pour le champ électrique (ce qui correspond parfait à ce que nous avions obtenu plus haut) :
(49.282)
Nous faisons un second calcul pour la composante perpendiculaire :
(49.283)
d'où :
(49.284)
ce qui correspond à
nouveau parfaitement à ce que nous avions obtenu plus haut
(en unités naturelles, ne pas oublier que nous avons alors
)
!
La vérification se fait de même pour le champ magnétique :
(49.285)
et :
(49.286)
ce qui donne :
(49.287)
etc.
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