cône d'univers
1. Principes et postulats
1.1. Postulat d'invariance
1.2. Principe cosmologique
1.3. Principe de relativité restreinte
2. Transformations de Lorentz
2.1. Facteur de Michelson-Morley
2.2. Quadrivecteur déplacement
2.2.1. Invariance de l'équation d'onde
2.2.2. Interprétation hypergéométrique
2.3. Quadrivecteur vitesse
2.4. Quadrivecteur courant
2.5. Quadrivecteur accélération
2.6. Addition relativiste des vitesses
2.7. Variation relativiste des longueurs
2.8. Variation relativiste du temps
2.9. Variation relativiste de la masse
2.9.1. Équivalence masse-énergie
2.9.2. Lagrangien relativiste
2.10. Quantité de mouvement relativiste
2.10.1. Quadrivecteur énergie-impulsion
2.10.2. Relation d'Einstein
2.10.3. Force relativiste
2.11. Electrodynamique relativiste
2.11.1. Transformation du tenseur du champ
3.1. Quadrivecteurs
La topologie du cône de lumière trouve son origine dans les relations d'antériorité et postériorité des événements relativistes, ce qui permet de faire la distinction entre un événement dans le passé d'un autre ou dans le futur de celui-ci.
Les cônes de lumière ont pour objectif principal dans les
ouvrages de vulgarisation de la physique théorique de schématiser
l'histoire d'impulsions lumineuses émises
en un point de l'espace où peuvent régner certaines
conditions. Les points sont représentés dans l'espace par une série
d'instantanés à divers instants 
,etc.
(voir figure ci-dessous), le front d'onde sphérique de la lumière
grossissant dans l'espace. Dans l'espace-temps, le même événement
(en bas sur la figure) est représenté par un "cône
de lumière",
dont le sommet est le point d'émission.
Sur une feuille de papier,
nous devons supprimer l'une des dimensions spatiales. Les axes
spatiaux
sont dessinés dans le plan horizontal et l'axe temporel dirigé vers
le haut. Les sections du cône aux instants correspondant
aux instantanés de la représentation spatiale : les fronts d'ondes à deux
dimensions sont des cercles dont le rayon est celui du front d'onde
sphérique à l'instant considéré. Le cône de lumière montre un seul
diagramme de l'histoire continue du front d'onde d'un signal lumineux.
(49.307)
Plus rigoureusement, les "instantanés" dont il a été fait mention plus haut sont appelés des "événements ponctuels" et ceux-ci apparaissent instantanés (approximation reposée sur l'optique géométrique) à tout observateur capable de les voir. Une collision entre deux particules ponctuelles fournit un exemple d'événement ponctuel. Il est tout à fait possible qu'un événement instantané non ponctuel apparaisse instantané à un certain observateur mais, à cause de la vitesse de propagation finie de la lumière, non instantané à un autre observateur.
Définitions:
D1. Nous disons par définition que deux événements ponctuels occupent le même point d'espace-temps s'ils apparaissent simultanés à tout observateur capable des les voir.
D2. L'ensemble M de tous les points de l'espace-temps est appelé "l'espace-temps".
D3. La frontière définie par le cône d'Univers est appelée "horizon cosmologique"
Rappelons que si aucune force n'agit sur une particule ponctuelle, nous la qualifions "d'inertielle" ou de "libre". Nous disons également qu'elle est en "mouvement inertiel".
Étant
donné le point p, N(p)
est une structure géométrique absolue, indépendante de l'observateur.
Sa composante future sera notée 
;
sa composante passée 
et elle sera représentée par le cône suivant :
(49.308)
Effectivement, rappelons que l'équation de Minkowski est invariante puisque :
(49.309)
Rapporté à trois paramètres (nous enlevons une dimension spatiale) nous avons, si les événements ponctuels sont reliés à la vitesse de la lumière (voir plus haut) :
(49.310)
Ce que nous pouvons aussi écrire sous la forme :
(49.311)
à comparer avec l'équation d'un cône (cf. chapitre de Géométrie Analytique) :
(49.312)
lorsque nous posons c=1 (ce qui est fréquent en physique théorique comme nous en avons déjà fait mention de nombreuses fois).
Donc l'équation de Minkowski peut donc bien être représentée par un cône.
La ligne d'univers de tout observateur qui occupe instantanément p et dont la ligne d'univers passe donc par p lui-même, est contenue à l'intérieur de N(p) définit par un point unique sur sa sphère céleste (celle qui est donc décrite par le vecteur d'information - qu'est le photon - dans toutes les directions de l'espace). Cela veut dire qu'il peut y avoir, in extenso, autant de rayons nuls (foyers des cônes) passant par p que de points sur une sphère.
L'exemple suivant paraîtra plus évident :
(49.313)
Comme
illustré sur la figure ci-dessus, un événement lumineux au point
O de l'espace-temps produit un faisceau de photons, tous
dans le cône nul du futur O, 
(ces photons ont été émis par des atomes dans des états de mouvement
variés, dont les lignes d'univers l et l' passent
par O, mais sont entièrement contenues à l'intérieur de 
).
La ligne d'univers n peut seulement être décrite par une particule se mouvant à la vitesse
de la lumière car elle définit la frontière du cône (nous disons
alors que la ligne d'Univers est "du genre lumière").
Soit
la
ligne d'univers d'un personnage P immobile (d'où la verticalité
de sa ligne d'Univers sur la figure ci-dessus) et n celle
d'un rayon lumineux ayant pour origine O.
Tous deux résident dans l'espace
à quatre dimensions et ils se coupent selon un point unique P.
Les points O
et P se situent sur un rayon nul (d'un future cône), n,
de 
.
En P, le personnage P voit un flash soudain
dans la direction définie par n, pour lui la direction de
l'événement lumineux (décrite uniquement par sa vitesse donc, ainsi
une ligne d'univers d'une particule inertielle peut être décrite
uniquement par le temps et sa vitesse).
Un
atome dont la ligne d'Univers coupe n au point Q,
absorbe un photon de l'événement lumineux O
et réémet peu de temps après un faisceau de photons. Ceux-ci forment
alors à leur tour des rayons nuls dans 
,
mais seuls ceux de direction n
atteindront le personnage P
et seront vus par lui au point P.
Si P se trouve à l'intérieur de N(O), le cône nul de O, nous dirons que sa ligne d'Univers est de "genre temps". Dans ce cas, O et P sont situés sur la ligne d'Univers d'un observateur ou d'une particule massive. Il existe bien évidemment deux types de déplacements de genre temps :
1. Si P est dans le futur de O (selon un observateur dont la ligne d'univers passe par O et P), nous dirons que P "pointe vers le futur"
2. Dans le cas contraire, nous dirons bien entendu qu'il "pointe vers le passé".
Si P se situe sur N(O), nous dirons alors qu'il est "nul" et P n'est ni nul ni de genre temps, alors P se situe à l'extérieur de N(O). Nous disons alors que qu'il est de "genre espace" :
(49.314)
Cela se traduit mathématiquement par en se rappelant (voir plus haute) que:
(49.315)
D1. 
: la ligne d'univers est donc de "type lumière" et
c'est elle qui décrit la surface du cône par définition
(selon ce que nous avons démontré précédemment
et quelque soit le choix de la métrique) soit que:
(49.316)
ce qui est le cas d'un photo de lumière (d'où le nom...).
D2. 
: nous disons alors que la ligne d'univers est de "type
espace" soit que:
(49.317)
Deux événements qui ont lieu simultanément mais à des lieux différents sont donc de type espace.
D3. 
:
nous disons alors que l'intervalle ou la ligne d'univers sont de "type
temps" soit que:
(49.318)
(49.319)
D4. Une "ligne causale" est une ligne de genre lumière ou temps qui est toujours orientée vers le futur.
Revenons à nos équations après ce petit interlude... les équations conduisent donc à faire plusieurs observations. Ainsi, dans l'Univers euclidien à quatre dimensions de Minkowski, les trajectoires des objets dans l'espace-temps sont toujours des droites. Effectivement, l'exemple trivial consiste à considérer que l'objet reste au repos, seul le temps continue alors à s'écouler. Nous avons dès lors:
(49.320)
en posant 
,
cela nous nous donne :
(49.321)
donc :
(49.322)
et aussi :
(49.323)
La primitive étant (constante d'intégration nulle):
(49.324)
qui est bien une droite et représente donc la ligne d'Univers de l'objet considéré dans le cône d'Univers. Nous pouvons aussi observer aussi que dans ce cas, l'évolution du phénomène est purement temporelle quand l'intervalle est positif (ce qui appuie ce que nous avions dit tout à l'heure).
R1. Si la vitesse de la lumière est infinie nous retrouvons le cas particulier de l'univers newtonien, où un phénomène peut instantanément se produire en dehors de tout lien de causalité (nous disons alors que l'effet à lieu avant la cause). Le temps y est absolu et il n'existe pas d'horizon cosmologique car le cône à une ouverture maximale (angle droit).
R2. Si nous posons que la vitesse de lumière est égale à l'unité, comme nous l'avons fait, l'axe des ordonnées du cône est dit "axe purement temporel".
R3. Il faut comprendre par soi-même que l'Univers a son propre cône d'Univers (cône... si l'espace est de type Minkowskien bien sûr...).
Enfin, indiquons que la théorie de la relativité restreinte, au même titre que celle de la relativité générale, n'impose pas un nombre de dimensions spatiles données pour rester consistante: ce qui est dommage pour les physiciens théoriciens qui souhaiteraient une théorie qui s'impose à elle-même une nombre fini de dimensions pour rester consistante (ce que par contre la théorie des cordes fait avec 25 dimensions... et celle des supercordes avec 11).
