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vérifications expérimentales

Nous allons maintenant passer en revue les quatre vérifications expérimentales classiques du 20ème siècle de la théorie de la relativité générale qui sont :

1. La précession du périhélie qui au niveau des résultats numériques nous posait problème avec les outils de la mécanique classique (cf. chapitre d'Astronomie).

2. La déflexion des ondes électromagnétiques (lumière) passant proche d'un corps stellaire massif qui au niveau des résultats numériques nous posait aussi problème avec les outils de la mécanique classique (cf. chapitre d'Astronomie).

3. La démonstration du critère de Schild (déjà fait dans les paragraphes précédents) comme seul moyen d'expliquer rigoureusement le redshift gravitationnel et l'hypothèse de ralentissement du temps dans un champ gravitationnel.

4. Le retard des signaux électromagnétiques se propageant près de corps massif. Retard désigné sous le nom "d'effet Shapiro" dont les applications numériques sont utilisées pour le fonctionnement du G.P.S et que nous verrons plus loin.

précession du PÉRIHÉLIE DE MERCURE

Traitons donc maintenant un des plus fameux exemples de la relativité générale : la précession du périhélie de Mercure. Nous avions déjà traité dans le chapitre d'Astronomie ce cas mais nous avions mentionné que le résultat théorique numérique ne correspondait pas à l'expérience. Nous allons voir en l'équivalent d'une dizaine de pages A4 de développements détaillés comment la relativité générale permet de réconcilier théorie et expérience.

Pour étudier cas, nous allons utiliser le formalisme lagrangien vu dans le chapitre de Mécanique Analytique.

D'abord, rappelons que nous avons obtenu pour la métrique de Schwarzschild :

  (50.292)

D'où en divisant par :

  (50.293)

et pour abréger les notations, nous poser  tel que :

  (50.294)

Maintenant rappelons que (cf. chapitre de Mécanique Analytique) en unités naturelles :

  (50.295)

Donc (c'est très grossier mais cela fonctionne... c'est aussi ça parfois la physique...) :

  (50.296)

Enfin cela signifie que le lagrangien est :

  (50.297)

Les équations de Lagrange nous donnent pour la  :

  (50.298)

avec donc :

  (50.299)

d'où :

  (50.300)

et :

  (50.301)

d'où finalement pour la coordonnée  :

  (50.302)

Faisons de même pour  :

  (50.303)

et il vient immédiatement :

  (50.304)

Faisons de même pour t :

  (50.305)

et il vient ici aussi immédiatement :

  (50.306)

Dès lors :

  (50.307)

Maintenant nous allons supposer que le mouvement de Mercure est dans le plan équatorial tel que . Dès lors, la relation :

  (50.308)

se simplifie en :

  (50.309)

d'où :

  (50.310)

Nous avons aussi dès lors l'expression de la ligne d'univers qui se simplifie en :

  (50.311)

Remplaçons alors  dans l'élément de ligne d'Univers :

  (50.312)

Considérons aussi r comme fonction  alors :

  (50.313)

d'où :

  (50.314)

Ainsi, nous pouvons récrire la ligne d'univers sous la forme :

  (50.315)

Faisons un changement de variable en posant :

  (50.316)

d'où :

  (50.317)

Ce qui donne pour notre ligne d'univers :

  (50.318)

ou :

  (50.319)

en différenciant :

  (50.320)

ou écrit autrement :

  (50.321)

ce qui se simplifie et factorise en :

  (50.322)

La première solution possible est bien évidemment :

  (50.323)

d'où comme r=1/u :

  (50.324)

Le mouvement circulaire est donc aussi une solution du problème de Kepler en relativité générale dans un champ de Schwarzschild.

L'autre solution sera :

  (50.325)

Soit écrit autrement :

  (50.326)

elle correspond à l'orbite du problème de Kepler.

Faisons la comparaison en considérant en mécanique de Newton le mouvement d'une particule de masse m dans un potentiel U. Le lagrangien (cf. chapitre de Mécanique Analytique) est alors :

  (50.327)

En coordonnées polaires nous avons déjà vu dans différents chapitre (de Calcul Vectoriel et d'Astronomie) que la vitesse s'écrit alors :

  (50.328)

En utilisant l'équation d'Euler-Lagrange nous avons l'équation du mouvement :

  (50.329)

ce qui donne :

 et   (50.330)

d'où :

  (50.331)

et comme nous l'avons vu dans le chapitre d'Astronomie :

  (50.332)

est la constante des aires. Introduisons :

  (50.333)

d'où :

  (50.334)

et donc :

  (50.335)

Ainsi :

  (50.336)

L'équation :

  (50.337)

devient alors :

  (50.338)

Or :

  (50.339)

d'où :

  (50.340)

soit :

  (50.341)

ou :

  (50.342)

Il s'agit simplement de la "formule de Binet non relativiste" qui donne donc la relation entre u=1/r et  pour une force centrale. Dans le cas d'un potentiel newtonien :

  (50.343)

d'où :

  (50.344)

avec pour rappel :

  (50.345)

Or, rappelons la forme de celle que nous avions obtenue avec la relativité générale :

  (50.346)

Ainsi, nous voyons que le terme analogue en relativité est :

  (50.347)

et que la relativité générale ajouter le terme . Or, comme en relativité générale :

  (50.348)

Alors :

  (50.349)

Or, dans le cas de l'approximation des champs faibles :

  (50.350)

d'où :

  (50.351)

donc finalement :

  (50.352)

Ceci dit, il est vraiment intéressant de remarquer que l'équation pour la relativité générale :

  (50.353)

peut être interprétée comme l'équation de Binet pour la mécanique classique :

  (50.354)

avec le potentiel :

  (50.355)

avec .

Revenons maintenant à notre équation :

  (50.356)

Nous aimerions savoir si le deuxième terme à gauche de l'égalité est négligeable ou non par rapport au premier terme de gauche de l'égalité et ce afin de pouvoir appliquer la théorie des perturbations.

Nous allons d'abord poser à l'aide de l'approximation des champs faibles faite plus haut :

  (50.357)

Maintenant calculons le rapport :

  (50.358)

Rappelons qu'en coordonnées polaires :

  (50.359)

en approximation nous pouvons grossièrement poser que :

  (50.360)

Dès lors pour Mercure... :

  (50.361)

Ainsi nous voyons de suite que nous pourrons appliquer les théories variationnelles sur le terme . Ainsi, posons :

  (50.362)

L'équation :

  (50.363)

prend alors la forme :

  (50.364)

Pour résoudre cette équation différentielle, nous allons utiliser l'approche de la théorie des perturbations (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). Nous allons donc nous intéresser à une solution de la forme de Taylor en deuxième ordre seulement en  :

  (50.365)

où  sont bien évidemment dépendants de  et devront être déterminés! Pour cela, nous savons qu'il faut remplacer l'expression précédente dans l'équation différentielle telle que :

  (50.366)

Ce qui donne :

  (50.367)

et se simplifie en :

  (50.368)

où rappelons que :

  (50.369)

est l'équation classique obtenue plus haut :

  (50.370)

considérons la solution du type :

  (50.371)

où D est une constante arbitraire. Or, comme nous l'avons vu dans le chapitre d'Astronomie dans le cas de la précession du périhélie :

  (50.372)

est au fait une ellipse. Ce qui signifie que toute solution de la forme :

  (50.373)

est aussi une ellipse!

Pour l'équation en  :

  (50.374)

qui se simplifie en :

  (50.375)

Puisque (cf. chapitre de Trigonométrie) :

  (50.376)

Il vient :

  (50.377)

Pour déterminer , décomposons la relation précédente en trois termes :

  (50.378)

Ce qui nous donne immédiatement :

  (50.379)

Finalement :

  (50.380)

La solution cherchée est finalement :

  (50.381)

C'est donc avec :

  (50.382)

qu'il faut calculer le déplacement du périhélie (on y arrive...).

Nous voyons relativement vite en observant la relation précédente que le seul terme dont l'amplitude n'est pas constante est .

Rappelons alors que (cf. chapitre de Trigonométrie) :

  (50.383)

Ce qui peut grossièrement s'écrire aussi en première approximation :

  (50.384)

d'où :

  (50.385)

Nous savons que l'orbite d'ordre zéro est :

  (50.386)

L'effet du dernier terme :

  (50.387)

est donc d'introduire une petite variation périodique dans la distance radiale. Ce terme n'affecte pas le déplacement du périhélie. C'est le terme  dans :

  (50.388)

qui introduit une non-périodicité qui peut être non négligeable dans le cas où  est grand.

Le périhélie (point le plus proche du Soleil) se présente donc quand r est minimum soit  maximum. Or, u est maximum quand le terme qui nous intéresse est maximum, c'est-à-dire :

  (50.389)

Nous avons approximativement :

  (50.390)

Pour deux périhélies successifs, nous avons un intervalle :

  (50.391)

au lieu de . Ainsi, le déplacement pour une révolution est :

  (50.392)

où K est donc la constante des aires et M la masse de l'astre central et puisque :

  (50.393)

Bref, nous avons au final:

  (50.394)

Relation à comparer avec celle que nous avons obtenue dans le chapitre d'Astronomie avec un traitement newtonien classique:

  (50.395)

Nous retrouvons donc à la perfection le facteur 6 qui manquait dans les traitement classique!

Pour Mercure une application numérique donne :

  (50.396)

et l'expérience donne .

Pour terminer sur ce sujet, signalons une deuxième écriture fréquente dans la littérature concernant le résultat obtenu. Effectivement, nous avons démontré dans le chapitre d'Astronomie que le paramètre focal était donné par:

  (50.397)

Il reste donc:

  (50.398)

et nous avons démontré aussi dans le chapitre de Géométrique Analytique que:

  (50.399)

Il vient donc au final la forme la plus classique:

  (50.400)