SOLUTION DE SCHWARZSCHILD
1. Postulats et principes
1.1. Postulat d'équivalence
1.2. Principe de Mach
2.1. Critère de Schild
2.1.1. Effet Einstein
3.2. Limite newtonienne
4. Tenseur d'énergie-impulsion
5. Equation d'Einstein des champs
6.1. Métrique de Schwarzschild
6.2. Rayon de Schwarzschild
7. Vérifications expérimentales
7.1. Précession du périhélie de Mercure
7.3. Effet Shapiro
7.4. Trous Noirs
La "métrique de Schwarzschild" (1916) est une solution de l'équation d'Einstein dans le cas d'un champ gravitationnel isotrope. Elle fournit les trois preuves principales de la Relativité Générale: le décalage des horloges, la déviation de la lumière par le Soleil et l'avance du périhélie de Mercure. Ces trois preuves sont très importantes car l'équation d'Einstein n'était pas démontrée expérimentalement à l'époque.
Pour introduire cette métrique imaginons une source (par exemple le Soleil) qui produit un champ de gravitation à l'aide de sa masse M. Nous cherchons, pour comparer par rapport à l'expérience, les solutions de l'équation d'Einstein (en d'autres termes : la métrique) en dehors de la source (du Soleil donc...) de masse M.
En d'autres termes, cela revient à avoir dans la région de l'espace qui nous intéresse (en considérant qu'il n'y que l'astre en question et rien d'autre autour n'y même l'énergie/masse propre au champ gravitationnel) la propriété suivante :
(50.221)
Donc l'équation d'Einstein des champs :
(50.222)
devient alors :
(50.223)
Mais nous avions montré plus haut que cette dernière relation
peut aussi s'écrire l'aide de la définition du scalaire de 
:
(50.224)
et comme il est peu vraisemblable que la parenthèse soit nulle il reste :
(50.225)
Nous devons donc trouver la métrique qui satisfait cette relation. Comme il y en à plusieurs intéressons-nous à un cas particulièrement élégant avec comme l'aime les physiciens... plein de symétries.
L'idée est donc de trouver une métrique si possible indépendante du temps (donc le champ gravitationnel aussi) et... à symétrie sphérique (l'astre étant lui-même de cette forme), prenant en compte la masse de l'astre central (c'est l'objectif majeur!) et telle qu'assez loin de la source (...) ou lorsque la masse est nulle nous retrouvions la métrique classique connue vue plus haut :
(50.226)
Mais ceci n'est pas totalement exact.
Effectivement, nous travaillons dans l'espace-temps. Or, nous avons vu que l'équation de la métrique curviligne est dans un espace temps plat par :
(50.227)
en passant en coordonnées sphériques nous avons alors :
(50.228)
Et c'est sur cette équation de la métrique que nous devons retomber lorsque nous sommes éloignés de la source ou que la masse de celle-ci est extrêmement faible (la métrique de Schwarzschild doit donc être asymptotiquement plate).
Donc mettons nous à la tâche. D'abord nous partons de ce que nous savons (vaut mieux!). C'est-à-dire que :
(50.229)
et en coordonnées sphérique avec le temps nous
avons pour composantes 
.
En tout rigueur, nous notons:
(50.230)
les "coordonnées de Schwarzschild".
Donc il vient un total de 16 termes dont outre les diagonales au nombre (4 termes) les autres s'additionnent (6 termes) soit finalement 10 termes qui sont les suivantes:
(50.231)
où A, B, C, ...sont des coefficients à déterminer.
Avant de s'attaquer à ce travail, nous savons que selon une de nos contraintes de départ, lorsque la masse est faible ou que nous sommes éloignés de la source, nous devons retomber sur :
(50.232)
dès lors intuitivement nous pouvons déjà écrire :
(50.233)
ce qui admettons-le... est un net progrès...!
Si comme nous nous le sommes imposés au début l'équation de la
métrique est indépendante du temps. Nous pouvons par symétrie du
temps (hypothèse...) faire le changement de variable suivante 
sans
que cela change quoi que ce soit dans notre 
.
Or, nous nous rendons tout de suit compte que cela ne sera pas
le cas. Immédiatement, pour que cela soit satisfait il faut :
(50.234)
ce qui nous amène (c'est déjà mieux!) à :
(50.235)
Maintenant si le système est bien sphérique. L'équation de la
métrique doit être invariante par la transformation 
(le
contraire se saurait depuis longtemps si ce n'était pas le cas
expérimentalement) et/ou également par la transformation 
.
Donc pour que cela soit juste, nous voyons immédiatement que dans la relation précédente, nous devons imposer :
(50.236)
Donc finalement nous n'avons plus que :
(50.237)
où A, B, C, D seront bien évidemment indépendant du temps (le contraire contredirait notre contrainte initiale) mais peuvent par symétrie de la sphère être dépendant de r tel que :
(50.238)
Maintenant, imaginons-nous sur la sphère (rigoureusement c'est une hyper-sphère mais cela aide quand même...) à une distance r fixe du centre de la source du champ à un instant donné t fixé. Nous n'avons alors plus que :
(50.239)
puisque dt est nul (temps fixé) et dr aussi (distance r fixée).
Nous avons par ailleurs enlevé le signe - car nous avons anticipé le fait qu'il va s'éliminer à la troisième égalité qui va suivre et nous le remettrons ensuite.
Maintenant, imaginons-nous proche du pôle nord de la sphère 
nous
n'avons alors plus qu'en première approximation:
(50.240)
et à l'équateur 
:
(50.241)
Par symétrie du champ, un déplacement angulaire infinitésimal en chacun des ces deux zones particulières doit pourtant être égal. Dès lors, nous ne pouvons que poser :
(50.242)
Dès lors, l'équation de la métrique se réduit à :
(50.243)
Montrons maintenant que nous pouvons choisir un système de coordonnées
pour lequel 
.
Introduisons pour cela une distance définie par :
(50.244)
d'où :
(50.245)
Il vient dès lors :
(50.246)
d'où :
(50.247)
Ce qui se simplifie encore en :
(50.248)
Mettons le tout au carré et divisons à gauche et à droite par :
(50.249)
d'où :
(50.250)
Dès lors, l'équation de la métrique s'écrit :
(50.251)
C'est donc comme si :
(50.252)
Donc :
(50.253)
Soit :
(50.254)
et le tenseur métrique contravariant correspondant (dont nous allons avoir besoin plus loin):
(50.255)
tel que (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) :
(50.256)
Maintenant, pour déterminer les coefficients restants (soit A et B) nous allons nous aider de la relation que doit satisfaire la métrique :
(50.257)
Soit sous forme développée (cf. chapitre de Calcul Tensoriel):
(50.258)
avec bien évidemment (cf. chapitre de Calcul Tensoriel):
(50.259)
C'est dire que l'on a du travail sur la planche... Bon d'abord puisque la métrique est simple les seules dérivées non nulles sont :
(50.260)
Nous en déduisons simplement les 9 éléments de la connexion (nous pouvons détailler sur demande...) non nuls :
(50.261)
Maintenant que nous avons ces termes de la connexion il nous faut calculer leur dérivée conformément aux deux premiers termes de :
(50.262)
il y a alors 10 termes non nuls qui sont :
(50.263)
Nous avons finalement pour chaque composante du tenseur de Ricci :
(50.264)
Soit les seuls éléments non nuls sont :
(50.265)
Soit sous forme plus conventionnelle (conforme à la littérature) nous pouvons simplifier un peu et par ailleurs garder que les trois premières équations :
(50.266)
Si nous additionnons les deux premières équations il nous reste :
(50.267)
ce qui équivaut à :
(50.268)
Nous avons donc :
(50.269)
qui devient :
(50.270)
Le lecteur pour vérifier qu'une solution de l'équation différentielle est :
(50.271)
où S est une constant réelle non nulle. En conséquence, la métrique pour une solution statique, symétriquement sphérique et dans le vide (...), s'écrit :
(50.272)
Il nous reste à déterminer un coefficient. Mais comme :
(50.273)
il vient :
(50.274)
Donc :
(50.275)
Donc finalement :
(50.276)
Notons que l'espace-temps représenté par cette métrique est asymptotiquement
plat, ou, en d'autres termes lorsque 
,
la métrique s'approche de celle de Minkowski, et la variété de
l'espace-temps ressemble à celle de l'espace de Minkowski.
Pour calculer les constantes K et S, nous utilisons
l'approximation du champ faible. En d'autres termes, nous nous
plaçons loin du centre, là où le champ de gravitation est faible.
Dans ce cas, la composante 
de
la métrique peut être calculée.
Effectivement, nous avions étudié plus haut la limite newtonienne et avions obtenu la relation suivante :
(50.277)
avec (cf. chapitre d'Astronomie) 
.
Donc in extenso nous pouvons poser sans trop de craintes :
(50.278)
soit :
et 
(50.279)
Finalement nous avons pour la "métrique de Schwarzschild" :
(50.280)
soit en unités naturelles :
(50.281)
Une singularité toute (physiquement) apparente apparaît lorsque :
(50.282)
ou en d'autres termes, lorsque la coordonnée du rayon r vaut :
(50.283)
Ce rayon, que nous avions déjà déterminé lors de notre étude la mécanique classique, est appelé "rayon de Schwarzschild".
Le rayon de Schwarzschild est défini comme le rayon critique prévu par la géométrie de Schwarzschild, en deçà duquel rien ne peut s'échapper : si une étoile ou tout autre objet atteint un rayon égal ou inférieur à son rayon de Schwarzschild (qui dépend de sa masse, cf. ci-dessous), alors elle devient un Trou Noir, et tout objet s'approchant à une distance de celui-ci inférieure au rayon de Schwarzschild ne pourra s'en échapper. Le terme est utilisé en physique et en astronomie pour donner un ordre de grandeur de la taille caractéristique à laquelle des effets de relativité générale deviennent nécessaires pour la description d'objets d'une masse donnée. Les seuls objets qui ne sont pas des trous noirs et dont la taille est du même ordre que leur rayon de Schwarzschild sont les étoiles à neutrons (ou pulsars), ainsi, curieusement, que l'univers observable en son entier.
R1. La singularité dans la métrique lorsqu'on atteint le rayon de Schwarzschild est apparente car il ne s'agit que d'un effet du système de coordonnées utilisées.
R2. Un théorème remarquable affirme que la métrique de Schwarzschild est l'unique solution aux équations d'Einstein dans le vide possédant la symétrie sphérique. Comme la métrique de Schwarzschild est également statique, ceci montre qu'en fait dans le vide toute solution sphérique est automatiquement statique. Une des conséquences intéressantes de ce théorème est que n'importe quelle étoile pulsante qui reste à symétrie sphérique ne peut pas générer d'ondes gravitationnelles (puisque la région de l'espace-temps extérieure à l'étoile doit rester statique).
Maintenant que nous avons la métrique de Schwarzschild revenons sur le critère de Schild que nous avions vu lors de notre étude classique de l'effet Einstein.
Si nous récrivons la métrique de Schwarzschild pour un corps immobile nous avons la métrique qui se simplifie en :
(50.284)
En faisant intervenir le potentiel gravitationnel (cf. chapitre d'Astronomie) :
(50.285)
la métrique s'écrit :
(50.286)
d'où en introduisant le temps propre :
(50.287)
d'où :
(50.288)
soit :
(50.289)
Le développement au deuxième ordre en série de MacLaurin (cf. chapitre de Suite Et Séries) de la racine négative donne :
(50.290)
Ainsi, nous avons :
(50.291)
Donc cela démontre que la courbure (la gravitation) engendre une dilatation du temps d'autant plus importante (dans le sens qu'elle s'écoule plus vite) que le champ de gravité est intense (la masse M est grande) ou que nous sommes près du corps sous du champ (rayon r petit).
Or, pour la Terre, le terme:
est relativement faible. Mais pour un Trou Noir ou une étoile à Neutrons, ce n'est plus vraiment le cas et la dilatation devient importante et les effets accessibles à la mesure.
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