ÉQUATIONS DU MOUVEMENT
1. Postulats et principes
1.1. Postulat d'équivalence
1.2. Principe de Mach
2.1. Critère de Schild
2.1.1. Effet Einstein
3.2. Limite newtonienne
4. Tenseur d'énergie-impulsion
5. Equation d'Einstein des champs
6.1. Métrique de Schwarzschild
6.2. Rayon de Schwarzschild
7. Vérifications expérimentales
7.1. Précession du périhélie de Mercure
7.3. Effet Shapiro
7.4. Trous Noirs
Nous allons démontrer ici que l'équation du mouvement d'une particule libre est constant le long de sa ligne d'Univers en nous limitant d'abord dans un espace plat (de type Minkowski). Après quoi, nous généraliserons ce résultat à tout type d'espace en utilisant un développement simple, pour montrer de manière évidente que l'équation de mouvement est indépendante de la masse et suit la courbure de l'espace!!! Enfin, nous présenterons une deuxième démonstration dans tout type d'espace en utilisant le principe variationnel.
Commençons donc par démontrer l'équation du mouvement d'une particule libre dans un espace plat.
Lors de notre étude
de la relativité restreinte, nous avons démontré
le lagrangien relativiste d'une particule libre donné par
(attention! la notation m est celle de la masse au
repos
de la particule conformément
à ce que nous avons montré dans le chapitre de Relativité
Restreinte!!!) :
(50.49)
et pour cela nous étions partis de l'action (hypothétique) :
(50.50)
et nous étions arrivés à écrire :
(50.51)
Maintenant, montrons quelque chose d'intéressant. Rappelons que pour l'espace-temps de Minkowski nous avons obtenu :
(50.52)
en nous restreignant à une seule dimension spatiale, nous obtenons comme relation :
(50.53)
et alors... eh bien voilà au fait, si nous posons :
(50.54)
nous avons finalement :
(50.55)
nous retrouvons donc la même action à partir d'une forme plus générale (pure) de l'action qui est:
(50.56)
résultat que nous avions aussi démontré dans le chapitre d'Électrodynamique!! Nous pouvons même faire mieux en termes d'élégance...! Si nous observons bien les développements des lignes précédentes, nous observons qu'au fait la relation:
(50.57)
est le cas particulier à une dimension de la relation:
(50.58)
avec comme défini plus haut:
(50.59)
et donc:
(50.60)
Effectivement, si nous prenons le cas à une dimension dans un espace plat de Minkowski:
(50.61)
Ainsi, nous avons le facteur de Fitzgerald-Lorentz qui est donné en toute généralité par:
(50.62)
comme généralisation de la Relativité Restreinte!
Ceci étant fait, revenons à nos moutons... Dans un espace sans champ de potentiel, nous avons démontré dans le chapitre de Mécanique Analytique que le lagrangien se réduit à la simple expression de l'énergie cinétique tel que:
(50.63)
si nous souhaitons généraliser cette relation pour qu'elle soit valable dans n'import que type d'espace (courbe ou plat), il nous faut introduire les coordonnées curvilignes telles que nous les avons étudiées en calcul tensoriel (cf. chapitre de Calcul Tensoriel).
Dans un premier temps, cela donne:
(50.64)
où rappelons-le ds est l'abscisse curviligne de la trajectoire.
Et nous avons démontré en calcul tensoriel que:
(50.65)
Cette dernière relation s'écrit dans le contexte de la mécanique relativiste sous manière plus standard :
(50.66)
t est
un paramètre qui correspond en mécanique au temps
propre de la particule et qui dans la littérature spécialisée
est souvent notée
.
Avant de nous intéresser
aux espaces courbes décrits par la métrique 
(ce que nous ferons lors de notre démonstration du lagrangien
libre généralisé), restreignons nous à
l'espace euclidien avec la métrique (ce sera un bon
exercice pour bien comprendre) donnée par la matrice de Minkowski
(cf. chapitre de Relativité Restreinte):
(50.67)
que nous noterons 
pour la différencier des autres (car plus souvent utilisée).
Nous avons finalement dans l'espace l'euclidien :
(50.68)
maintenant, appliquons le principe variationnel :
(50.69)
La variation de ds
peut être trouvée plus simplement par la variation
de 
:
(50.70)
nous trouvons :
(50.71)
Le facteur "2" provient du
fait que par symétrie de l'espace euclidien, les variations
de 
et 
sont égales.
ne sera plus identique lorsque nous traiterons des espaces courbes.En simplifiant un peu, nous obtenons :
(50.72)
Ce qui est équivalent à écrire :
(50.73)
Nous pouvons maintenant revenir à l'action :
(50.74)
Nous récrivons l'intégrale précédente (ce sera plus simple à traiter) :
(50.75)
Effectivement, vérifions que cette forme est bien équivalente :
(50.76)
Donc revenons à notre intégrale :
(50.77)
Nous avons donc deux intégrales qu'il va être un peu plus simple à analyser. La première intégrale :
(50.78)
donne simplement une expression
évaluée aux extrémités temporelles 
.
Dès lors, comme la valeur de 
est parfaitement connues aux extrémités temporelles,
le variationnel 
est nulle aux deux bornes et cette intégrale est nulle.
Il nous reste alors plus que l'intégrale :
(50.79)
Donc pour que le principe variationnel soit respecté, il faut que nous ayons :
(50.80)
Or, nous pouvons récrire une partie de cette expression. Effectivement, nous avons :
(50.81)
Rappelons par ailleurs que nous avons démontré plus haut que :
(50.82)
et que nous avons :
(50.83)
Donc :
(50.84)
Maintenant, rappelons que lors de notre étude de la relativité restreinte nous avons démontré le cheminement qui nous amenait à définir le quadrivecteur d'énergie impulsion :
(50.85)
Donc finalement, ce qui annule le variationnel de l'intégrale d'action peut s'écrire :
(50.86)
Nous retrouvons donc l'équation de conservation de la quantité de mouvement (conservation de l'impulsion) que nous appelons dans le cadre de la relativité générale "équation du mouvement". Cette forme de l'équation de mouvement semble dépendante de la masse mais en fouillant un peu, nous verrons qu'il n'en est rien.
En multipliant cette relation
par 
nous pouvons aussi écrire :
(50.87)
et de même pour un autre observateur :
(50.88)
En d'autres termes, l'impulsion de la particule reste constante sur toute sa ligne d'Univers.
Mais nous pouvons aussi écrire :
(50.89)
donc :
(50.90)
Une forme plus importante encore de l'équation de mouvement peut-être obtenue. Effectivement :
(50.91)
alors :
(50.92)
cette relation est donc la forme "sans masse" de l'équation de mouvement dans un espace euclidien ou autrement dit, dans un espace-temps de type Minkowski. Autrement dit, il existe donc un système de coordonnées en chute libre dans lequel le mouvement de la particule est celle d'un déplacement uniforme dans l'espace-temps.
Il sera très intéressant de la comparer avec l'équation de mouvement dans un espace courbe que nous verrons plus loin (appelée "équation des géodésiques").
Nous pouvons maintenant montrer que l'équation du mouvement, au même titre que l'équation des géodésiques que nous verrons de suite après, est invariante par transformation de Lorentz :
(50.93)
Maintenant, voyons une forme plus générale de l'équation du mouvement pour tout type d'espace. L'objectif ici, est de mettre en évidence, et ce en quelques lignes de calculs, que le mouvement suivie par une particule libre est indépendant de sa masse (vous pouvez déjà anticiper sur l'interprétation de la trajectoire d'un photon dans un espace courbe...!).
Nous avons démontré en calcul tensoriel (et précédemment) que:
(50.94)
ce qui donne pour le lagrangien
généralisé d'une particule libre avec 
(nous
retrouvons bien l'expression générale de l'énergie cinétique) :
(50.95)
où t est le temps propre de la particule, c'est un invariant !
Rappel : Le temps propre est une sorte d'horloge imaginaire qui voyage sur la particule et quelque soient les observateurs qui regardent l'horloge, ils seront mathématiquement d'accord sur la valeur de l'intervalle de temps entre deux "TIC" de l'horloge.
Ce qui nous permet d'écrire (attention il faut bien se rappeler des différentes relations que nous avions déterminées lors de notre étude du formalisme lagrangien dans le chapitre traitant des la Mécanique Analytique):
(50.96)
Effectivement,
soit 
un
vecteur de coordonnées 
et
soit :
(50.97)
Les 
ne
sont pas symétriques a priori, mais nous pouvons écrire :
(50.98)
Nous posons ensuite :
(50.99)
Donc :
(50.100)
et les 
sont
symétriques.
La forme quadratique q peut donc toujours s'écrire avec une matrice symétrique, il y a même bijection. La conclusion étant qu'un tenseur métrique doit être symétrique si l'on veut le caractériser par la forme quadratique qu'il définit.
L'interlude mathématique étant terminé, continuons notre développement physique. Par conséquence de la dernière relation l'expression de l'Hamiltonien devient bien évidemment:
(50.101)
puisque nous considérons être dans un espace sans champ de potentiel. Le carré de la vitesse étant dès lors constant sur toute la trajectoire, nous avons:
(50.102)
Etablissons maintenant les équations du mouvement de tout corps. Nous avons :
et 
(50.103)
et comme :
(50.104)
alors :
(50.105)
d'où :
(50.106)
en mettant en commun :
(50.107)
que nous pouvons écrire identiquement
pour les 
en
procédant de façon identique à ci-dessus.
La relation précédente donne donc la trajectoire d'un corps en mouvement, dans un espace sans champ de potentiel, en fonction de ses coordonnées curvilignes et de la métrique de l'espace considéré.
Ce qui est particulièrement intéressant dans ce résultat, c'est que la masse m (à nouveau) s'élimine identiquement dans cette équation du mouvement :
(50.108)
Remarquez, que nous aurions pu utiliser aussi un autre paramètre invariant que le temps propre tel que l'abscisse curviligne ds. Dès lors l'équation précédente s'écrirait :
(50.109)
Nous pouvons encore simplifier cette relation mais nous garderons cette simplification pour la deuxième démonstration de l'équation du mouvement dans un espace quelconque (en faisant usage du principe variationnel cette fois) juste après.
Il est très (très) intéressant d'observer que si nous restreignons la métrique à un espace euclidien :
(50.110)
avec :
(50.111)
Nous obtenons alors la simplification :
(50.112)
Nous retrouvons donc la première équation du mouvement obtenue pour un espace plat! Le résultat est remarquable !
Conclusion : Aux mêmes conditions initiales de position et de vitesse curvilignes dans un espace (plat ou courbe) sans champ de potentiel (c'est ce que nous pourrions penser du moins selon nos hypothèse initiales...), correspond la même trajectoire quelle que soit la masse m de la particule (même pour les photons - la lumière - dont la masse est nulle!!).
Nous pouvons maintenant étudier le principe de moindre action dans le but de rechercher le plus court chemin (aussi bien au niveau spatial que temporel) entre deux points dans un espace de géométrie donnée avant de s'attaquer au cas beaucoup plus complexe du lagrangien qui prend en compte le tenseur des champs...
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