ÉQUATION DES GÉODÉSIQUES
1. Postulats et principes
1.1. Postulat d'équivalence
1.2. Principe de Mach
2.1. Critère de Schild
2.1.1. Effet Einstein
3.2. Limite newtonienne
4. Tenseur d'énergie-impulsion
5. Equation d'Einstein des champs
6.1. Métrique de Schwarzschild
6.2. Rayon de Schwarzschild
7. Vérifications expérimentales
7.1. Précession du périhélie de Mercure
7.3. Effet Shapiro
7.4. Trous Noirs
Intéressons-nous maintenant à obtenir le même résultat mais en faisant usage cette fois-ci du principe variationnel. Nous retomberons sur la même équation que précédemment pour tout type d'espace à la différence que cette fois-ci, nous prendrons la peine de la simplifier pour arriver à "l'équation des géodésiques".
En partant de (voir développements précédents) :
(50.113)
avec une paramétrisation telle que
et
sont
fonction d'un paramètre temporel ou spatial.
Pour une surface donnée sous forme paramétrique, nous cherchons donc à minimiser la longueur d'un arc ds en appliquant donc le principe variationnel (non dépendant du temps car les photons ne peuvent avoir un chemin plus rapide au sens temporel du terme entre deux points mais uniquement un chemin plus court - au sens métrique du terme):
(50.114)
en unités naturelles.
Or:
(50.115)
En développant, et comme les indices ont le même domaine de variation:
(50.116)
d'où:
(50.117)
En travaillant sur la seconde intégrale, nous posons:
et
(50.118)
Donc par l'intégration par partie (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):
(50.119)
il vient:
(50.120)
Soit finalement:
(50.121)
Le terme non intégré ci-dessous est
négligeable à cause de la présence du facteur 
:
(50.122)
Donc nous avons:
(50.123)
Nous effectuons un changement d'indice:
(50.124)
ce qui nous permet de factoriser
:
(50.125)
Comme 
et
sont
différents de zéro, c'est l'intégrant qui doit être nul:
(50.126)
En développant le second terme:
(50.127)
Qui s'écrit encore:
(50.128)
et qui se simplifie en:
(50.129)
Nous obtenons (à nouveau!!!)
le système d'équations qui définissent les "géodésiques",
c'est-à-dire les droites de 
.
Ces dernières constituent donc les extrémales de l'intégrale qui
mesure la longueur d'un arc de courbe joignant deux points donnés
dans 
.
Cette dernière équation, est celle qui nous intéresse dans le cas du lagrangien libre. Effectivement, si nous prenons le cas extrême de la lumière (ou des photons si vous préférez), cette dernière ne va pas chercher le chemin le plus rapide (le plus vite) au niveau temporel. Ce serait totalement en contradiction avec le postulat d'invariance de voir la lumière accélérer en fonction du chemin!!! Dans ce contexte, cela signifie que sur la trame spatio-temporelle, la seule chose qui à un sens est le plus court chemin spatial et non le plus court chemin temporel! C'est la raison pour laquelle cette dernière équation est appelée "équation des géodésiques" ou encore "équation d'Euler-Lagrange généralisée".
Cependant, nous pouvons écrire cette
dernière équation de façon plus condensée en introduisant les symboles
de Christoffel si la métrique est un tenseur symétrique tel que
.
Effectivement:
(50.130)
et comme le symbole de Christoffel de première espèce est (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) est défini par :
(50.131)
Alors l'équation d'Euler-Lagrange s'écrit:
(50.132)
La multiplication contractée
(cf. chapitre de Calcul Tensoriel)
de la relation précédente
dans la base canonique par 
nous donne :
(50.133)
dans la littérature un changement d'indice est souvent effectué afin d'avoir au final (c'est toujours la même expression étant donné que les indices ont le même domaine de variation!) :
(50.134)
avec 
étant donc le symbole de Christoffel de deuxième
espèce
(cf. chapitre de Calcul Tensoriel)
donné par :
(50.135)
et est appelé dans le cadre de la relativité générale la "connexion affine" ou encore "coefficients de connexion" et qui permet de trouver le système de coordonnées (via la résolution d'un système d'équation différentielles) en chute libre dans lequel l'équation de la particule est celle d'un déplacement uniforme dans l'espace temps en fonction d'un système de référence (les deux systèmes étant donc reliés par la connexion affine!).
Cette relation, de la plus haute importance, nous permet de déterminer comment un corps en mouvement va naturellement se déplacer dans un espace courbe et peut-être... ce indépendamment de sa masse !!! Elle nous donne donc la métrique dans laquelle nous devons poser un référentiel pour qu'il soit inertiel par rapport au corps considéré.
L'équation des géodésiques antéprécédente est aussi l'équation différentielle du second ordre que doit donc satisfaire la représentation paramétrique d'une ligne sur une surface où s est la longueur le long de la ligne afin que sa longueur totale soit extrêmale.
Selon le principe d'équivalence, nous somme donc en droit d'interpréter cette relation comme l'équation du mouvement dans un champ de gravitation quelconque, et donc d'interpréter le deuxième terme supplémentaire de l'équation comme l'opposé d'un terme de force gravitationnelle par unité de masse, c'est-à-dire comme l'opposé d'un champ gravitationnel.
(50.136)
ou encore en utilisant la quadrivitesse :
(50.137)
Encore une fois, si nous nous restreignons à un espace-temps plat, nous voyons trivialement que nous retombons sur la première équation du mouvement que nous avions obtenu :
(50.138)
car les composantes de la métrique de Minkowski étant constantes les coefficients de Christoffel sont tous nuls.
Les solutions de cette dernière équation sont des lignes droites ordinaires données par:
(50.139)
Bien évidemment, dans un espace-temps courbe général, les géodésiques ne pourront pas être globalement représentées par des lignes droites. Cependant avec une approximation au deuxième ordre en développement de Taylor nous arrivons à nous ramener à des droites (ce qui revient à ramaner l'espace courbe à un espace plat).
L'important dans tout cela, c'est que l'équation des géodésiques permet de constater que la courbure de l'espace détermine les trajectoires des corps qui s'y meuvent quelque soit leur masse, qu'ils soient en mouvement uniforme ou non (observez la dérivée seconde dans l'équation des géodésiques!). Il ne nous reste plus alors qu'à effectuer la fin du travail et de mettre en relation la courbure de l'espace-temps avec l'énergie qui s'y trouve !
LIMITE NEWTONIENNE
Nous avons montré plus haut (argument de Shild) que pour étudier la gravitation (en particulier l'effet Einstein), la géométrie courbe est nécessaire. Nous avions promis de montrer aussi qu'elle était suffisante. Il est temps maintenant de la faire !
Définition: La "limite newtonienne" est une situation physique où les trois conditions ci-dessous sont satisfaites :
C1. Les particules se déplacent lentement par rapport à la vitesse de la lumière. Ce qui s'exprime comme le fait que les composantes spatiales de leur quadrivecteur est très inférieure à la composante temporelle (t étant le temps propre) :
(50.140)
C2. Le champ de gravitation est statique. En d'autres termes, toute dérivée temporelle de la métrique est nulle.
C3. Le champ gravitationnel est faible, c'est-à-dire qu'il peut être vu comme une faible perturbation d'un espace plat :
avec 
(50.141)
et où 
est constant (seul 
dépend des coordonnées).
Considérons l'équation des géodésiques obtenue précédemment :
(50.142)
La première condition nous amène à la simplifier sous la forme :
(50.143)
Les deux autres conditions nous offrent plusieurs simplifications dans l'expression du symbole de Christoffel de deuxième espèce :
(50.144)
L'équation des géodésiques devient alors :
(50.145)
la composante temporelle
(
)
vaut alors :
(50.146)
car (rappel de la métrique
de Minkowski) 
pour 
et pour 
nous avons (métrique statique) 
.
En d'autres termes, 
est constant. Quant aux composantes spatiales, nous avons que 
est la matrice identité 3x3 (la partie spatiale!), ce qui
donne :
(50.147)
Notons maintenant le temps
propre 
comme il est de tradition de le faire :
(50.148)
En divisant par 
et en rétablissant 
,
nous obtenons :
(50.149)
A partir d'ici nous posons (car nos illustres prédécesseurs ont tâtonné avant nous):
(50.150)
tel que (relation qui nous sera très utile lors de l'étude de la métrique de Schwarzschild plus loin) :
(50.151)
où 
est le potentiel gravitationnel, nous retrouvons l'expression de
l'accélération gravitationnelle (équation de
Newton-Poisson) de la mécanique newtonienne (cf.
chapitre de Mécanique Classique) :
(50.152)
avec 
.
Ce développement, simple mais néanmoins remarquable par son interprétation, prouve que la géométrie courbe est suffisante pour décrire la gravitation !!
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