équation d'einstein des champs
1. Postulats et principes
1.1. Postulat d'équivalence
1.2. Principe de Mach
2.1. Critère de Schild
2.1.1. Effet Einstein
3.2. Limite newtonienne
4. Tenseur d'énergie-impulsion
5. Equation d'Einstein des champs
6.1. Métrique de Schwarzschild
6.2. Rayon de Schwarzschild
7. Vérifications expérimentales
7.1. Précession du périhélie de Mercure
7.3. Effet Shapiro
7.4. Trous Noirs
Il est temps maintenant de nous attaquer au plus beau, à l'une des équations les plus fameuses de notre époque et qui fait briller les yeux de beaucoup de jeunes étudiants : l'équation d'Einstein des champs. Celle qui explique pourquoi la matière (l'énergie) courbe l'espace.
Rappelons quelques résultats que nous avons obtenus jusqu'ici. Premièrement, nous avons réussi à démontrer avec brio que toute particule (supposée libre mais cela est laissé à l'interprétation... dans un espace courbe...) suit l'équation du mouvement des géodésiques :
(50.192)
Dans le chapitre de Calcul Tensoriel, nous avons démontré (non sans peine) que ce que nous appelons le "tenseur d'Einstein" (qui est une constante dans un espace Riemannien donné) est donné par :
(50.193)
Puisque la dérivée covariante du tenseur d'Einstein est nulle et que nous avons démontré que la dérivée covariante de T.E.I. l'est aussi, il est tentant de poser :
(50.194)
où 
est
un constant de normalisation et devant satisfaire la relation pour
qu'elle soit homogène au niveau des unités. Ainsi, il vient :
(50.195)
Pour trouver l'expression de la constante, nous allons nous placer
en limite newtonienne et exiger que la relation précédente reproduise
l'équation de Poisson pour le potentiel gravitationnel 
(cf.
chapitre de Mécanique Classique) :
(50.196)
Nous avons montré plus haut que dans la limite newtonienne (approximation du champ faible) :
(50.197)
et dans notre définition du T.E.I., pour une distribution de matière au repos seule la composante suivante est non nulle :
(50.198)
Il vient dès que l'équation de Poisson peut s'écrire :
(50.199)
Maintenant revenons sur la relation :
(50.200)
En contractant les deux membres de la relation précédente, il vient :
(50.201)
Or, le scalaire de Ricci (cf. chapitre
de Calcul Tensoriel) est
donné par 
.
Il vient donc :
(50.202)
Or dans la métrique lorentzienne (-,+,+,+) il est immédiat que:
(50.203)
Donc :
(50.204)
En utilisant cette dernière relation, l'équation :
(50.205)
qui peut s'écrire aussi :
(50.206)
peut finalement s'écrire :
(50.207)
Intéressons-nous à la composante 
telle
que la relation précédente s'écrive :
(50.208)
Explicitons selon le tenseur de Ricci (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) selon sa définition :
(50.209)
Il vient alors :
(50.210)
Or, le tenseur de Riemann-Christoffel sous forme développée dans ce cas particulier est donnée par (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) :
(50.211)
A l'approximation du champ faible lentement variable dans le
temps, les symboles de Christoffel sont d'ordre O et leurs
produits sont d'ordre 
et
les dérivées temporelles sont négligeables devant les dérivées
spatiales. Il reste donc seulement les termes d'ordre O tel
que :
(50.212)
Or, nous avons vu dans le chapitre de Calcul Tensoriel que :
(50.213)
Dès lors :
(50.214)
Or dans l'approximation du champ faible la variation de la métrique par rapport au temps étant négligeable par rapport à la variation spatiale (l'approximation est un peu tirée par les cheveux il faut dire...) :
(50.215)
Par conséquent, la relation :
(50.216)
devient :
(50.217)
et nous constatons immédiatement qu'il s'agit de l'équation de Poisson si et seulement si :
(50.218)
constante qui est parfois appelée "constante d'Einstein".
L'équation d'Einstein des champs est donc sous forme définitive :
(50.219)
ou de manière plus conventionnelle :
(50.220)
La partie de gauche représente la courbure de l'espace-temps telle qu'elle est déterminée par la métrique et l'expression de droite représente une modélisation du contenu masse/énergie de l'espace-temps. Cette équation peut alors être interprétée comme un ensemble d'équations décrivant comment la courbure de l'espace-temps est reliée au contenu masse/énergie de l'univers. Ces équations, ainsi que l'équation de la géodésique, forment le coeur de la formulation mathématique de la relativité générale.
L'équation d'Einstein est donc une équation dynamique qui décrit comment la matière et l'énergie modifie la géométrie de l'espace-temps. Cette courbure de la géométrie autour d'une source de matière est alors interprétée comme le champ gravitationnel de cette source. Le mouvement des objets dans ce champ étant décrit très précisément par l'équation de sa géodésique.
Par ailleurs, nous venons aussi de voir que l'équation d'Einstein se réduit aux lois de la gravité de Newton en utilisant l'approximation des champs faible et des mouvements lents.
Puisque le tenseur d'énergie-impulsion comporte 16 composantes
dont au fait 10 sont réellement uniques (indépendantes) puisque
le tenseur est symétrique, nous pouvons voir l'équation d'Einstein
des champs comme dix équations différentielles du second ordre
sur tenseur de champ métrique 
.
Ces équations différentielles sont en général cauchemardesques à résoudre, les scalaires et tenseurs de Ricci sont des contractions du tenseur de Riemann, qui incluent les dérivées et les produits des symboles de Christoffel, qui eux mêmes sont construits sur le tenseur métrique inverse et sur les dérivées de celui-ci. Pour corser le tout, il est possible de construire des tenseurs d'énergie-impulsion qui peuvent invoquer la métrique aussi. Il est donc très difficile de résoudre les équations d'Einstein des champs dans le cas général et nous devons donc souvent nous appuyer sur des hypothèses simplificatrices.
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