Cours de relativité générale



RELATIVITÉ GÉNÉRALE

1. Postulats et principes

1.1. Postulat d'équivalence

1.2. Principe de Mach

2. Métriques

2.1. Critère de Schild

2.1.1. Effet Einstein

3. Equations du mouvement

3.1. Equation des géodésiques

3.2. Limite newtonienne

4. Tenseur d'énergie-impulsion

5. Equation d'Einstein des champs

6. Solution de Schwarzschild

6.1. Métrique de Schwarzschild

6.2. Rayon de Schwarzschild

7. Vérifications expérimentales

7.1. Précession du périhélie de Mercure

7.2. Déflexion de la lumière

7.3. Effet Shapiro

7.4. Trous Noirs

Comme nous l'avons vu, la relativité restreinte est une réussite remarquable sur le point de vue théorique aussi bien que sur le point de vue pratique en formant un continuum d'espace-temps où les grandeurs d'espace et de temps se voient donner la même dimension physique (celle d'une distance métrique pour rappel!). Cependant, celle-ci s'applique aux repères euclidiens seulement et aux référentiels inertiels/galiléens (à vitesse constante pour rappel... ). Il convient donc de généraliser l'ensemble de la mécanique d'abord en exprimant ses principes et ses résultats fondamentaux sous une forme généralisée indépendante du type de systèmes de coordonnées choisi (in extenso : du type d'espace) en faisant usage du calcul tensoriel et de prendre en compte les systèmes non inertiels.

Il convient de prendre en compte aussi que le fait que la relativité restreinte ne s'applique qu'aux référentiels galiléens est restrictif car toute masse crée un champ gravitationnel dont la portée est infinie. Pour pouvoir trouver un vrai référentiel galiléen il est donc nécessaire de se situer infiniment loin de toute masse. La mécanique relativiste bâtie à partir de la relativité restreinte ne constitue donc qu'une approximation des lois de la nature, dans le cas où les champs gravitationnels ou les accélérations sont suffisamment faibles. Cette limitation d'application n'est plus adaptée à l'astrophysique relativiste donc l'activité s'est intensifiée à la fin du 20ème siècle.

C'est ici qu'encore une fois qu'intervient Albert Einstein et nombreux de ses confrères à travers le temps!

POSTULATs et principes

Effectivement, Einstein croyait à une physique ne devant privilégier aucun référentiel puisque telle était à ses yeux la réalité de l'Univers (nous en avons déjà fait mention). Mais comment se soustraire alors au phénomène d'accélération. L'idée géniale fut d'énoncer le "postulat d'équivalence" suivant (qui encore aujourd'hui au début du 21ème siècle n'est toujours pas mis en défaut par les expériences récentes) en plus du postulat d'invariance et du principe cosmologique que nous avons énoncé dans le chapitre de Relativité Restreinte :

POSTULAT D'éQUIVALENCE

Dans un premier temps, Albert Einstein va améliore le postulat d'équivalence dont les versions les plus anciennes sont due à Galilée et Newton :

Postulat : L'accélération (uniforme!) d'une masse (hors champ gravitationnel) due à l'application d'une force mécanique et l'accélération de cette même masse soumis à un champ gravitationnel (uniforme!) sont supposées parfaitement équivalentes. Ainsi, les résultats des analyses mathématiques dans un cas, peut s'appliquer dans l'autre (déjà là c'est fort mais cohérent... l'idée est très très bonne encore fallait-il l'avoir...!)

Autrement dit, le champ de gravité possède une propriété fondamentale qui le distingue de tous les autres champs connus dans la nature : le mouvement de chute libre des corps est universel, indépendant de la masse et de la composition des corps.

Corollaire : La masse au repos d'un corps doit alors être la même lorsqu'elle est mesurée dans le référentiel dans un champ gravitationnel ou hors champ gravitationnel (nous parlons alors de masse inertielle et de masse pesante comme nous l'avons vu au tout début de notre étude de la mécanique classique).

Remarque: Il faut bien prendre garde et vérifier que le corollaire du postulat d'équivalence soit vrai sinon toute la relativité générale s'écroulerait (en ce début de 21ème siècle des expériences sont toujours en cours pour essayer de mettre à défaut cette équivalence)!

In extenso, tout champ de gravitation statique et uniforme est équivalent à un référentiel accéléré dans le vide. Nous pouvons physiquement considérer que tout champ de gravitation comme statique et uniforme dans une région assez petite de l'espace et pendant un lapse de temps assez court pour éviter les effets de marée. Nous sommes donc amenés à poser le "principe d'équivalence faible" (PEF) : En tout événement de l'espace-temps dans un champ de gravitation arbitraire, nous pouvons choisir un référentiel dit "localement inertiel" tel que dans un voisinage de l'événement en question le mouvement libre de tous les corps (qui sont donc aussi dans le champ de gravité) soit rectiligne et uniforme.

Si nous mettons expérimentalement en défaut PEF, alors nous mettons en défaut le principe d'équivalence lui-même... ce qui n'a jamais pu être fait en laboratoire à ce jour!

Remarque: Le concept de localité est très important car il n'existe pas naturellement de champ de gravité uniforme. Par exemple, sur Terre, deux corps ponctuels distants d'une certaine longueur lâchés d'une certaine hauteur tomberont au sol avec une distance plus courte que la distance qui les séparaient au moment où ils ont été lâchés. C'est ce que nous appelons en physique les "effets de marée" : le champ gravitationnel n'est jamais uniforme (dans la nature en tout cas...).

Donc le principe d'équivalence (qui inclut le principe d'équivalence faible) affirme finalement que la force de Newton :

equation   (50.1)

et celle de la gravitation selon la forme de la loi de Newton-Poisson (cf. chapitre d'Astronomie) :

equation   (50.2)

sont équivalentes telles que la masse inerte égale la masse pesante et l'accélération égale la pesanteur et qu'il n'est pas possible de distinguer les deux :

equation   (50.3)

equation   (50.4)

En quoi ce postulat permet-t-il de résoudre toutes les difficultés alors ? C'est simple ! L'idée est la suivante :

Lorsque nous allons considérer un corps en accélération, nous allons d'abord toujours assimiler celle-ci à l'accélération due à la chute dans un champ gravitationnel (de par l'application du principe d'équivalence). Ensuite, nous allons supposer, et devrons le vérifier (démonstration plus bas) en retrouvant la loi de Newton, que l'accélération due à ce champ gravitationnel n'est pas due au champ lui même mais à la géométrie de l'espace déformée par la présence de la masse (in extenso l'énergie) qui crée le champ gravitationnel. Ainsi, l'objet n'est plus en "chute libre" mais sera vu comme glissant sur la trame spatiale déformée pour acquérir ainsi son accélération.

Au fait, l'enjeu est double :

1. Si le calcul tensoriel permet d'exprimer les lois de la mécanique classique et relativiste restreinte dans n'importe quel système de coordonnées, il est alors possible de voir comment le système de coordonnées (la métrique) agit sur l'expression des lois de l'Univers (Albert Einstein ne le savait pas tant qu'il n'avait pas terminé ces calculs mais le pressentait) !

2. Si l'expression tensorielle naturelle des lois de la mécanique fait apparaître le glissement (in extenso l'accélération) sur la trame spatiale suivant la métrique (locale) considérée, alors le pari est gagné et alors l'accélération peut être vue comme un effet dont la cause est purement géométrique.

Ainsi, l'extension de la relativité restreinte ne se fait plus en prenant en compte les systèmes non inertiels mais la géométrie du système!! Nous pouvons (et arrivons!) ainsi à contourner le problème initial et le pire... c'est que cela marche!!!!

exemple Exemple:

Supposons que deux fusées, que nous nommerons A et B, se trouvent dans une région de l'espace éloignée de toute masse. Leurs moteurs sont arrêtés ce qui se traduit physiquement par un mouvement rectiligne uniforme. Dans chaque fusée, des physiciens réalisent des expériences de mécanique avec des objets dont ils connaissent la masse inerte. Soudain, le moteur de la fusée A démarre et lui communique une accélération dont l'effet ressenti à l'intérieur du vaisseau spatial est une force d'inertie qui plaque les objets vers le plancher. Pour les physiciens de la fusée A les lois de la mécanique sont alors les mêmes que celles que l'on observe dans un champ gravitationnel. Ils sont donc logiquement amenés à interpréter la force d'inertie comme la manifestation d'un champ gravitationnel. A l'aide d'une balance, ils peuvent alors peser leurs objets et leur attribuer une masse gravitationnelle.

Supposons que les physiciens de la fusée B puissent observer ce qui se passe dans la fusée A. Ils savent que ce que leurs collègues interprètent comme le poids des objets n'est en fait qu'une force d'inertie. La force d'inertie étant proportionnelle à l'accélération et à la masse inerte. Si la masse gravitationnelle était différente de la masse inerte les physiciens de la fusée A pourraient distinguer les effets des forces d'inertie de ceux d'un champ de gravitation car les masses mesurées seraient distinctes. Or, nous savons que la masse inerte et la masse gravitationnelle sont équivalentes (principe d'équivalence galiléen). Il s'ensuit que les physiciens de la fusée A n'ont aucun moyen de faire la différence entre des forces d'inertie résultant d'un mouvement accéléré de leur vaisseau spatial et les forces d'attraction gravitationnelles.

Il faut toutefois tempérer les conclusions de cette expérience : les vrais champs de gravitation se distinguent d'un référentiel accéléré dans la mesure où l'accélération gravitationnelle varie avec la distance qui sépare les corps alors que dans un référentiel accéléré, l'accélération est identique en tout point de l'espace. Cependant, localement, un champ gravitationnel et un référentiel accéléré ne peuvent être différenciés.

Nous sommes donc amenés à énoncer le "principe d'équivalence d'Einstein" (PEE) tel que l'a fait Einstein : localement, toutes les lois de la physique sont les mêmes dans un champ gravitationnel et dans un référentiel uniformément accéléré.

Ceci à une conséquence : Si la masse (qui est équivalent à de l'énergie comme nous l'avons vu en relativité restreinte) d'un objet n'est pas différenciable que nous soyons dans un champ gravitationnel ou dans un référentiel uniformément accéléré c'est que tous les types d'énergie (énergie de cohésion nucléaire, énergie électrostatique, énergie gravifique propre de l'objet, etc.) de cet objet ne sont pas différenciables. Donc les lois de la relativité restreinte sont valables quelque soit le référentiel considéré!

Si les lois ne sont pas les mêmes, alors PEE est mis à défaut, donc in extenso PEF aussi et plus généralement le principe d'équivalence dans sa généralité mais ceci n'est encore jamais arrivé expérimentalement.

Garfield

Remarque: De par le PEF il est intéressant de constater que le champ gravitationnel agit aussi sur l'énergie potentielle gravitationnelle des autres corps. Nous disons alors que le champ gravitationnel est un "champ couplé".

Etant donné qu'en relativité générale, le champ gravitationnel est censé être décrit par la métrique equation, nous pouvons voir un référentiel localement inertiel comme un système de coordonnées de l'espace-temps dans lequel la métrique equation devient plate (pseudo-riemannienne) :

equation   (50.5)

Un tel système de coordonnées existe toujours, ce qui traduit l'existence, pour tout champ gravitationnel, de référentiels localement inertiels!

Lorsque la métrique n'est cependant pas plate, les coordonnées sont appelées "coordonnées normales de Riemann" et la métrique décrit alors un espace riemmanien (espace courbe) et dépend elle-même de manière non triviale des coordonnées du système.

PRINCIPE DE MACH

Si le principe d'équivalence met en évidence l'égalité des masses inerte et gravitationnelle, il ne nous éclaire pas sur la nature de ces deux masses. Finalement, que sont les masses inerte et gravitationnelle ?

La nature profonde de la masse inerte devrait nous renseigner sur celle de l'inertie elle-même. L'inertie se manifeste sous une forme passive - le principe d'inertie - et une forme active - la seconde loi de Newton. D'une manière générale, elle exprime un comportement universel des corps à résister au changement du mouvement. Or nous savons que le mouvement inertiel est relatif c'est-à-dire qu'il n'existe aucun référentiel absolu. En est-il de même du mouvement accéléré ? Considérons, pour illustrer cette interrogation, une fusée dans laquelle se trouve un physicien et réalisons deux expériences :

- Première expérience. La fusée accélère : le physicien est soumis à une force d'inertie orientée dans la direction opposée à celle de l'accélération.

- Deuxième expérience. Maintenant supposons que l'on imprime à l'ensemble de l'Univers - à l'exception de la fusée qui se déplace selon un mouvement inertiel - une accélération exactement opposée à celle de la fusée lors de l'expérience précédente.

Si le mouvement accéléré est relatif alors, pour un observateur, il n'est pas possible de distinguer les deux expériences. Notamment, le physicien situé à l'intérieur de la fusée doit observer l'apparition d'une force d'inertie absolument identique à celle qu'il a notée lors de la première expérience. La masse inerte trouverait alors son origine dans les interactions de la masse gravitationnelle des corps avec l'ensemble des masses gravitationnelles de l'Univers! Selon Ernst Mach, un physicien et philosophe du 19ème siècle, le mouvement quel qu'il soit, inertiel ou accéléré, serait relatif.

Cette théorie fut baptisée par Einstein "principe de Mach". Jusqu'à ce jour, le principe de Mach n'a pas été confirmé, mais pas davantage infirmé. Il est vrai que sa vérification expérimentale dépasse de beaucoup les capacités humaines !

Tout se passe comme si en déplaçant toutes les masses de l'Univers, celles-ci entraînaient avec elles les objets se trouvant dans la fusée, dont le physicien qui ressent alors une force qui le tire dans le même sens que l'accélération appliquée aux étoiles.


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