PRINCIPE DE NOETHER



PRINCIPES

1. Système d'unités

1.1. Analyse dimensionnelle

1.2. Notations scientifiques

1.3. Temps

1.4. Longueur

1.5. Masse

1.6. Énergie

1.7. Charge

1.8. Distributions

2. Constantes

2.1. Constantes universelles

2.2. Constantes physiques

2.3. Constantes physico-chimiques

2.4. Constantes astrophysiques

2.5. Constantes de Planck

3. Principes de la physique

3.1. Principe de causalité

3.1.1. Trilemne de Fries

3.2. Principe de conservation de l'énergie

3.3. Principe de moindre action

3.4. Principe de Noether

3.4.1. Invariance par translation dans l'espace

3.4.2. Invariance par rotation dans l'espace

3.4.3. Invariance par translation dans le temps

3.4.4. Théorème de Noether

3.5. Principe de Curie

4. Espaces ponctuels

Le principe premier de Noether (appelé traditionnellement "théorème de Noether") associe de façon élégante des quantités physiques conservées aux symétries des lois de la nature. La symétrie de translation dans le temps (phénomène invariant dans le temps) correspond à la conservation de l'énergie, celle de translation dans l'espace à la conservation de l'impulsion (quantité de mouvement), celle de rotation dans l'espace à la conservation du moment cinétique etc.

En d'autres termes, le principe premier de Noether énonce que la physique est :

- Symétrique (invariant) par translation dans le temps (ceci ayant pour conséquence qu'il n'y pas d'origine du temps)

- Symétrique (invariant) par translation dans l'espace (ceci ayant pour conséquence qu'il n'y a pas d'origine à l'espace)

- Symétrique (invariant) par rotation (ceci ayant pour conséquence qu'il n'y a pas de direction privilégiée dans l'espace)

Remarques:

R1. Ce principe implique donc qu'un référentiel galiléen (cf. chapitre de Mécanique Classique) est homogène (pas d'origine de temps ou d'espace privilégiée) et isotrope (pas de direction privilégiée).

R2. Il ne faut pas confondre l'invariance des lois et la non invariance des solutions théoriques auxquelles aboutissent ces lois! Par exemple, la décharge d'un condensateur (cf. chapitre d'Électrocinétique) est invariante par translation dans le temps mais pas la solution.

Ce résultat établi en 1915 par Emmy Noether juste après son arrivée à Göttingen, fut qualifiée par Albert Einstein de "monument de la pensée mathématique". C'est maintenant un des piliers de la physique théorique.

Aujourd'hui, il est souvent présenté à l'occasion de cours sur la théorie quantique des champs. Cela le fait paraître plus compliqué et mystérieux qu'il n'est, et c'est oublier qu'il s'applique aussi à la mécanique classique.

Remarque: Il est recommandé au lecteur de lire la démonstration du théorème de Noether en parallèle des chapitres de mécanique analytique et de mécanique classique.

Ainsi, les symétries jouent un rôle majeur en physique. Elles permettent d'une part de simplifier les problèmes d'une part et de tirer de nouvelles lois d'autre part. Pour illustrer la première application des symétries il suffit d'évoquer la forme mathématique du potentiel gravitationnel engendré par une masse ponctuelle située à l'origine du référentiel (cf. chapitre de Mécanique Classique). En coordonnées cartésiennes, l'expression du potentiel gravitationnel est relativement complexe

equation   (28.35)

alors qu'en coordonnées sphériques (système de coordonnées qui tire partie de la symétrie sphérique du potentiel) il prend une forme très simple :

equation   (28.36)

Les propriétés de symétrie d'un problème sont ici exploitées de façon à simplifier le traitement mathématique des lois physiques. Même si ces considérations mathématiques nous renseignent sur les propriétés physiques du système considéré, elles conservent cependant un caractère purement technique.

Les symétries trouvent pourtant une autre application dont la signification physique est beaucoup plus profonde. Le fait, non fortuit, qu'un système possède des symétries doit certainement avoir des implications physiques. Intuitivement, nous pouvons saisir que la présence de symétries dans un système physique se traduit par l'invariance de certaines de ses propriétés physiques sous l'application de transformations spatio-temporelles ou, plus généralement, des transformations géométriques. L'invariance de propriétés physiques doit induire nécessairement des relations d'une nature nouvelle entre les variables du système. De telles relations doivent à leur tour révéler des lois plus profondes qui associent la géométrie du système aux lois de la nature. Ce raisonnement, bien qu'intuitif, nous invite à explorer plus en profondeur les relations qui pourraient exister entre les lois physiques et les propriétés géométriques de l'espace-temps.

Considérons une expérience de mécanique plus ou moins complexe observée simultanément par deux physiciens O et O' situés en des lieux différents tel que chacun d'eux choisit un référentiel dont il est l'origine.

Ils entreprennent de mesurer diverses grandeurs physiques et obtiennent des résultats numériques qui dans l'ensemble diffèrent. Cependant, les lois physiques qu'ils en tirent (à niveau de connaissance égal) sont identiques. Cette conclusion est triviale car nous savons tous que les lois de la nature ne doivent pas dépendre pas de l'emplacement des observateurs.

Mathématiquement, la différence entre les référentiels de O et O' selon le référentiel de l'expérience étudiée est le passage de l'un à l'autre dans un plan par une rotation equation une translation equation (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne).

Le fait que les lois physiques sont indépendantes de la position de l'observateur implique qu'elles ne varient pas après leur avoir appliqué une rotation et/ou une translation. Nous disons alors qu'elles sont "invariantes par rotation et par translation" ou encore qu'elles sont "symétriques par rotation et par translation".

Rappel : En géométrie le terme symétrie prend un sens plus général qui peut se définir comme suit : "transformation qui ne change ni la forme, ni les dimensions d'une figure". Nous pouvons remarquer que le sens courant du mot "symétrie" correspond à un cas particulier de symétrie au sens géométrique du terme, qui consiste à inverser les objets par rapport à un plan.

Remarque: En physique, la définition d'une symétrie est semblable à celle des mathématiciens mais s'applique aux lois de la nature et non plus aux figures géométriques. Ainsi une symétrie en physique est une transformation des variables du système - qui peuvent être des variables géométriques ou des variables plus abstraites - qui ne change pas la formulation des lois physiques.

Donnons une définition rigoureuse d'une symétrie en physique:

Soit un système S dont l'état évolue au cours du temps. Désignons l'état de S à l'instant t par S(t). A l'instant initial equation, S se trouve donc dans l'état equation. Considérons une transformation géométrique T qui agit en chaque point de l'espace et éventuellement du temps. En un instant t, l'action de T sur le système S a pour effet de le transformer en un système equation tel qu'à l'instant equation, le transformé par T de equation est equation.

Définition: La transformation T est appelée une "symétrie physique" si le transformé par T du système S (ce qui donne S') évolue de la même façon que S, c'est-à-dire que si nous appliquons les lois de la mécanique sur equation pour connaître son état S'' en un instant postérieur t alors equation.

INVARIANcE PAR TRANSLATION DANS L'ESPACE

Considérons un système isolé constitué de n particules en interaction repérées par les vecteurs position equation. L'interaction de deux particules i,j dérive d'un potentiel equation (cf. chapitre de Mécanique Classique). Chaque particule est soumise à des forces résultant de l'interaction avec les autres particules. Pour une particule i donnée, la résultante de ces forces s'exprime selon la loi de Newton (voir chapitre de mécanique classique) :

equation   (28.37)

Appliquons au système la translation dans l'espace suivante :

equation   (28.38)

equation est un vecteur quelconque. Dire que la translation du système est une symétrie signifie que l'accélération et la force qui agit sur chaque particule sont inchangées après la transformation.

equation   (28.39)

Ce qui implique :

equation   (28.40)

Cette égalité doit être vraie quelle que soit la position des particules, donc quels que soient equation et equation. Il est clair que la seule manière de vérifier la dernière égalité dans ces conditions est d'égaler deux à deux les potentiels entre chaque particule j avec la particule i, c'est-à-dire :

equation   (28.41)

Les potentiels sont alors nécessairement (et c'est là, la puissance du théorème de Noether!) des fonctions de equation tel que :

equation   (28.42)

Dès lors, nous en déduisons que :

equation   (28.43)

Ce qui entraîne immédiatement que la résultante de toutes les forces appliquées aux particules du système est nulle et que donc la quantité de mouvement totale est conservée :

equation   (28.44)

L'invariance par translation de la loi de Newton entraîne donc nécessairement :

1. Le potentiel entre les particules d'un système isolé est une fonction de leur distance relative (cela se confirmera en astronomie lors de notre étude du champ de potentiel gravitationnel, ainsi qu'en électromagnétisme en ce qui concerne le potentiel électrostatique et les potentiels de Yukawa à symétrie sphérique en théorie quantique des champs).

2. La loi de l'égalité entre l'action et la réaction.

3. La conservation de la quantité de mouvement totale d'un système !

Conséquence du point (3) : l'origine de l'espace est inobservable (puisque la conservation de la quantité de mouvement est équivalente à l'invariance par translation dans l'espace)!

INVARIANcE PAR ROTATION DANS L'ESPACE

Imposons maintenant que les rotations autour d'un point fixe soient des symétries. Cette propriété doit être vraie quel que soit le point fixe considéré, notamment, si ce point fixe est précisément la position de l'une des particules du système. Il s'ensuit que le potentiel présente nécessairement une symétrie sphérique. Les forces agissant entre les particules sont donc colinéaires aux vecteurs qui les relient.

Le moment cinétique du système s'exprime comme suit (cf. chapitre de Mécanique Classique) :

equation   (28.45)

La dérivée par rapport au temps du moment cinétique total donne :

equation   (28.46)

Or le dernier terme peut s'écrire :

equation   (28.47)

Où les equation sont les forces internes au système des particules j agissant sur la particule i. L'avant dernière expression devient alors :

equation   (28.48)

Nous pouvons regrouper les termes equation et equation deux à deux et de par la propriété du produit vectoriel nous avons nécessairement :

equation   (28.49)

Donc nous en concluons que le moment cinétique est donc conservé et la conservation du moment cinétique est donc équivalente à l'invariance par rotation.

Conséquence : il n'y a pas de direction privilégiée dans l'espace!

INVARIANcE PAR TRANSLATION DANS LE TEMPS

L'énergie totale du système est la somme de l'énergie cinétique de toutes les particules et de l'énergie potentielle résultant de l'interaction mutuelle des particules, soit sous la forme de la mécanique classique :

equation   (28.50)

Nous supposerons que le potentiel equation ne varie pas avec le temps. Cette hypothèse se justifie de manière empirique par le constat que les potentiels observés dans la nature sont indépendants du temps dans des systèmes fermées à l'équilibre.

Calculons la dérivée de l'énergie par rapport au temps :

equation   (28.51)

Or, si le système est fermé (pas d'apport de masse de l'extérieur ni apport d'énergie de l'extérieur), le terme equation est nul (pas de variation relativiste de la masse non plus car la vitesse de chaque corpuscule ou du système entier est constante ou sa variation est en moyenne nulle). Il en est de même pour le terme equation où si le système est fermé (pas d'apport d'énergie de l'extérieur sous quelque forme que ce soit) l'accélération moyenne de chaque corpuscule ou de l'ensemble du système par rapport au centre de gravité sera nulle. Donc:

equation   (28.52)

Donc nous en concluons que l'énergie totale du système est donc une constante!

Quelle est la grandeur mécanique invariante par translation revient donc à se demander quelles sont les grandeurs mathématiques qui sont inchangées lorsque nous leur appliquons une translation. Il en existe deux : les scalaires et les vecteurs.

Intuitivement, un scalaire est assimilé à un nombre réel (cf. chapitre sur les Nombres). Or, en mécanique, les nombres réels que nous pouvons construire le sont à l'aide de grandeurs vectorielles comme le vecteur position, la vitesse, etc. Pour qu'un tel nombre réel ait le statut de scalaire il doit être indépendant de l'espace. Ainsi, un vecteur position ne peut manifestement être considéré comme un scalaire. L'énergie de la particule est un nombre réel mais n'est pas un scalaire car elle dépend explicitement, dans sa formulation, de la position de la particule dans l'espace au travers de l'énergie potentielle.

De la même façon, un vecteur n'est pas seulement un être mathématique possédant des composantes dans une base. Pour jouir du statut de vecteur, une entité mathématique doit se transformer de la même manière que les vecteurs de base de l'espace vectoriel. Selon cette définition, le moment cinétique n'est pas un vrai vecteur car, étant la composition par produit vectoriel de deux vecteurs, il ne se transforme pas comme les vecteurs de base. D'un point de vue mathématique il s'agit d'un pseudo-vecteur (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Le seul vrai vecteur qui reste est la quantité de mouvement car il est construit à l'aide de la dérivée du vecteur position qui est, bien évidemment, un vrai vecteur. Nous en déduisons que la seule grandeur susceptible d'être conservée par translation est la quantité de mouvement totale du système.

Par un raisonnement analogue au précédent, il est possible de supposer quelle grandeur pourrait être invariante par rotation. Sachant que seuls les scalaires et certains pseudo-vecteurs sont effectivement invariants par rotation, nous en concluons que la seule grandeur susceptible d'être conservée lors de rotations est le moment cinétique total du système.

Enfin, toujours par le même raisonnement, l'invariance des lois de la mécanique par déplacement dans le temps, revient à rechercher les grandeurs conservées par une translation dans le temps. Ces grandeurs sont les vrais scalaires et les vecteurs sur la droite du temps. Aucune grandeur mécanique ne peut être assimilée à un vecteur sur la droite du temps. En revanche, l'énergie est bien un scalaire invariant par translation dans le temps puisque l'énergie potentielle est par hypothèse indépendante du temps. L'invariance des lois de la mécanique par déplacement dans le temps laisse donc supposer intuitivement la conservation de l'énergie.

Ces raisonnements ne peuvent évidemment faire office de démonstration mais ils mettent en évidence une relation étroite entre la géométrie et les propriétés d'invariance d'un système.

THÉORÈME DE NOETHER

Soit L le lagrangien (cf. chapitre de Mécanique Analytique) d'un système représenté par les 2n coordonnées généralisées equation dans l'espace de configuration. Supposons que ce système est invariant par la transformation infinitésimale equation suivante :

equation   (28.53)

s est un paramètre réel et continu et pour lequel nous avons :

equation   (28.54)

La fonction equation agit continûment sur le chemin variationnel selon la démarche intellectuelle qui sera énoncée en mécanique analytique.

Supposons que les fonctions equation sont solutions des équations de Lagrange (ce que démontrerons en Mécanique Analytique). D'après nos hypothèses les fonctions (définies) :

equation   (28.55)

sont dès lors nécessairement également solutions des équations de Lagrange, ce qui se traduit par (nous omettrons l'indication de la somme par la suite afin d'alléger la lecture!) :

equation   (28.56)

D'autre part, par hypothèse, le lagrangien est invariant pour les transformations du type de celles décrites par equation. Il s'ensuit que sa dérivée par rapport au paramètre s est nécessairement nulle :

equation   (28.57)

Et nous démontrerons par ailleurs aussi en Mécanique Analytique (sous forme d'intégrale comme étant nulle) la relation :

equationequation   (28.58)

ce qui peut finalement s'écrire :

equation   (28.59)

mais nous avons aussi de par l'équation d'Euler-Lagrange (cf. chapitre de Mécanique Analytique):

equation   (28.60)

Nous obtenons alors :

equation   (28.61)

Donc la grandeur equation est une constante du mouvement ! Le théorème de Noether s'énonce alors ainsi :

Soit un système ayant un lagrangien equation auquel nous appliquons une transformation infinitésimale equation, où s est un paramètre réel et continu. Alors il existe une constante du mouvement notée equation dont l'expression est donnée par :

equation   (28.62)

Appliquons le théorème de Noether aux cas étudiés précédemment. Fixons un référentiel arbitraire O cartésien. Notons equationla base orthonormée de ce référentiel. Considérons un système constitué de n particules repérées dans O par leur vecteur position equation. Le lagrangien de ce système est alors bien évidemment equation, où equation distingue les composantes spatiales des vecteurs equation.

Supposons maintenant que le système soit invariant par translation de longueur s le long de l'axe x. La translation le long de cet axe s'écrit comme suit :

equation   (28.63)

La constante du mouvement donnée par application du théorème de Noether est alors :

equation   (28.64)

Nous définirons par ailleurs en mécanique analytique equation comme étant le moment conjugué equation. Nous en déduisons dès lors que la quantité conservée est : equation, c'est-à-dire la quantité de mouvement totale du système le long de l'axe x !!!

En procédant de même avec les autres axes, nous démontrerions aisément la conservation de la quantité de mouvement totale le long des axes pour ceux-ci, ce qui nous permet de conclure que dans le cas général d'une translation infinitésimale equation la grandeur conservée est la quantité de mouvement totale du système.

Supposons maintenant que le système soit invariant par rotation d'un angle infinitésimal s autour de l'axe z. Cette rotation s'écrit :

equation   (28.65)

La dérivée de equation par rapport à s donne :

equation   (28.66)

En remarquant encore une fois que equation, la grandeur conservée obtenue par application du théorème de Noether est alors :

equation   (28.67)

et nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Vectoriel que :

equation   (28.68)

ce qui nous amène à écrire :

equation   (28.69)

On montrerait de la même façon que l'invariance du lagrangien sous les rotations selon les autres axes ce qui conduit à la conservation des composantes suivant ces axes du moment cinétique total du système.

En conclusion, nous avons mis en évidence trois lectures différentes des lois de la physique :

Observation

Loi de conservation

Signification physique

Invariance des lois de la physique par translation

Conservation de la quantité de mouvement

Homogénéité de l'espace : lespace présente les mêmes propriétés en tous points

Invariance des lois de la physique par rotation

Conservation du moment cinétique

Isotropie de l'espace : lespace présente les mêmes propriétés dans toutes les directions

Invariance des lois de la physique par déplacement dans le temps

Conservation de l'énergie

Homogénéité du temps : les lois de la nature ne varient pas dans le temps

Tableau: 28.7  - Lois de convervation

Autrement dit, l'Univers serait :

P1. Homogène (pas d'origine de temps, ou d'espace, privilégiée)

P2. Isotrope (pas de direction privilégiée).

PRINCIPE DE CURIE

Le principe de Curie (que nous devons à Pierre Curie) découle un peu intuitivement du théorème de Noether et s'énonce ainsi :

Si une cause présente une certaine symétrie ou invariance, alors son effet aura la même symétrie (ou la même invariance), ou une symétrie supérieure, à condition toutefois que la solution du problème soit unique.

Remarque: A noter que les éléments de symétrie agissent sur les directions des grandeurs vectorielles, tandis que les invariances agissent sur les variables dont dépendent ces grandeurs.

exempleExemple:

Conservation de l'énergie/invariance par translation dans le temps, conservation de la quantité de mouvement/invariance par translation dans l'espace, conservation du moment cinétique/invariance par rotation dans l'espace tel que nous l'avons démontré lors de notre étude du théorème de Noether.

Ainsi, dans un espace homogène et isotrope, si nous faisons subir une transformation géométrique à un système physique susceptible de créer certains effets (forces, champs), alors ces effets subissent les mêmes transformations.

Autrement dit, si un système physique S possède un certain degré de symétrie, nous pourrons alors déduire les effets créés par ce système en un point à partir des effets en un autre point.

Voici les six propriétés de symétrie découlant du principe de Curie :

P1. Invariance par translation : si S est invariant dans toute translation parallèle à un axe, les effets sont indépendants des coordonnées de cet axe (l'intérêt étant alors de travailler en coordonnées cartésiennes).

P2. Symétrie axiale : si S est invariant dans toute rotation autour d'un axe donné, alors ses effets exprimés ne dépendent pas de l'angle qui définit la rotation (l'intérêt étant alors de travailler en coordonnées cylindriques).

P3. Symétrie cylindrique : si S est invariant par translation et rotation, alors ses effets ne dépendent que de la distance à l'axe de rotation (l'intérêt étant alors aussi de travailler en coordonnées cylindriques).

P4. Symétrique sphérique : si S est invariant dans toute rotation autour d'un point fixe, alors ses effets ne dépendent que de la distance à ce point fixe (l'intérêt étant alors de travailler en coordonnées sphériques).

P5. Plan de symétrie : si S admet un plan de symétrie, alors en tout point de ce plan :

- un effet à caractère vectoriel est contenu dans le plan

- un effet à caractère pseudo-vectoriel (voir le chapitre de Calcul Vectoriel pour voir la définition d'un pseudo-vecteur) lui est perpendiculaire

P6. Plan d'antisymétrie : si, par symétrie par rapport à un plan, S est transformé en -S alors en tout point de ce plan :

- un effet à caractère vectoriel est perpendiculaire au plan

- un effet à caractère pseudo-vectoriel est contenu dans ce plan

La symétrie est fondamentale dans les sciences quelles que soient les disciplines. La symétrie est partout. Elle permet de décrire de manière précise de nombreux systèmes, de clarifier et de simplifier l'étude de leurs propriétés. Des résultats très importants peuvent ainsi être prédits de manière rigoureuse sans que l'on ait à faire appel à des théories mathématiques sophistiquées.


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