ESPACES PONCTUELS



PRINCIPES

1. Système d'unités

1.1. Analyse dimensionnelle

1.2. Notations scientifiques

1.3. Temps

1.4. Longueur

1.5. Masse

1.6. Énergie

1.7. Charge

1.8. Distributions

2. Constantes

2.1. Constantes universelles

2.2. Constantes physiques

2.3. Constantes physico-chimiques

2.4. Constantes astrophysiques

2.5. Constantes de Planck

3. Principes de la physique

3.1. Principe de causalité

3.1.1. Trilemne de Fries

3.2. Principe de conservation de l'énergie

3.3. Principe de moindre action

3.4. Principe de Noether

3.4.1. Invariance par translation dans l'espace

3.4.2. Invariance par rotation dans l'espace

3.4.3. Invariance par translation dans le temps

3.4.4. Théorème de Noether

3.5. Principe de Curie

4. Espaces ponctuels

L'étude des phénomènes physiques recourt dans un premier temps à leur représentation dans l'espace de la géométrie classique euclidienne à une dimension temporelle et à un nombre quelconque de dimensions spatiales. 

Les vecteurs que nous avons étudié dans le chapitre de Calcul Vectoriel (tenseurs d'ordre 1) et les tenseurs (d'ordre quelconque) que nous avons aussi étudié dans le chapitre de Calcul Tensoriel peuvent comme nous avons en déjà fait mention, êtres utilisés pour relier chacun des points de l'espace-temps à un référentiel et former ainsi des champs de vecteurs ou/et de tenseurs. Cet état de fait mathématique, nécessite la définition mathématique d'espaces formés de points ou également appelés "espaces ponctuels".

La définition précise d'espace vectoriel ponctuel que nous allons faire sera construite à partir de la notion d'espace vectoriel que nous avons vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel (voir section d'algèbre)

Voyons tout d'abord l'exemple particulier de l'espace ponctuel formé par des triplets de nombres qui est issu directement de l'espace géométrique classique à trois dimensions.

Ainsi, donnons-nous des triplets de nombres notés:

equation   (28.70)

etc... Appelons equation l'ensemble de tous les éléments {A,B,...} formés par des triplets de nombres. À tout couple (A,B) de deux éléments de equation, pris dans cet ordre, nous pouvons faire correspondre un vecteur equation, appartenant à un espace vectoriel  espace vectoriel equation, noté géométriquement equation, en définissant celui-ci par un triplet de nombres tel que (nous utilisons la notation indicielle vue dans le chapitre Calcul Tensoriel) :

equation   (28.71)

avec equation. Nous avons donc:

equation   (28.72)

Si nous définissons par rapport à cet élément l'addition et la multiplication par un scalaire, nous nous retrouvons comme nous l'avons déjà vu en théorie des ensembles avec une structure d'espace vectoriel.

La correspondance que nous établissons ainsi, entre tout couple (A,B) de deux éléments de equation et un vecteur d'un espace vectoriel equation, vérifie manifestement les propriétés suivantes :

P1. equation

P2. Associativité par rapport à l'addition: equation

P3. Si O est un élément arbitraire choisi dans equation, à tout vecteur equation de equation, il correspond un point M et un seul tel que equation.

Lorsque nous avons muni l'ensemble equation de cette loi de correspondance avec equation, vérifiant les trois propriétés précédentes, nous disons que l'ensemble des triplets de nombres constitue un "espace ponctuel", noté equation. Les éléments de equation sont alors appelés des "points".

L'espace ponctuel equation se confond en tant qu'ensemble d'éléments avec l'ensemble equation mais il s'en distingue en tant qu'espace ponctuel qui constitue un ensemble structuré par la loi de correspondance que nous nous donnons. De même, les espaces equation et equation sont distincts par suite de leur structure différente et nous pouvons établir une distinction entre les éléments de chacun des espaces. Nous disons que equation constitue le support des espaces equation et equation.

Nous pouvons bien évidemment généraliser le support à equation. Ainsi, equation muni de la structure d'espace vectoriel que nous avons définie précédemment constitue un espace ponctuel à n dimensions que nous noterons equation. Les éléments de equation étant appelés des "points".

L'espace vectoriel equation est appelé "l'espace associé" à equation. Lorsque l'espace vectoriel associé est un espace pré-euclidien (muni du produit scalaire), nous disons alors que equation est un "espace ponctuel pré-euclidien".

Considérons un point O quelconque d'un espace ponctuel pré-euclidien equation et une base equation de l'espace vectoriel associé equation

Définitions:

D1. Nous appelons "repère de l'espace" equation l'ensemble constitué par les éléments O (origine) et de la base equation. Ce genre de repère est noté : 

equation  (28.73)

ou encore simplement :

equation   (28.74)

D2. Les "coordonnées" d'un point M d'un espace ponctuel pré-euclidien equation, par rapport au repère equation, sont les composantes (contravariantes) equation du vecteur equation de l'espace equation par rapport à la base equation.

Soient deux points M et M' de equation définis par leurs coordonnées respectives equation et equation, nous avons:

equation   (28.75)

En utilisant les propriétés P1 et P2 données précédemment :

equation   (28.76)

Nous en déduisons que les composantes du vecteur equation, par rapport à la base equation, sont les n quantités equation, différences des coordonnées des points M et M'.

Soient equation et equationdeux repères quelconques de equation liés entre eux par les relations générales (cf. chapitres de Calcul Tensoriel et d'Algèbre Linéaire) :

equation et equation   (28.77)

Cherchons les relations entre les coordonnées d'un point M de equation par rapport à ces deux repères. Pour cela, exprimons les vecteurs equation et equation sur chacune des bases de equation:

equation   (28.78)

ainsi que les vecteurs equation et equation, soit:

equation   (28.79)

Nous avons d'autre part:

equation   (28.80)

Identifiant ce résultat par rapport au vecteur equation dans l'expression de equation, nous avons:

equation   (28.81)

En de façon analogue:

equation   (28.82)

Ces deux relations sont plus que pratiques en physique où nous avons souvent à considérer un référentiel dans un repère (ainsi nous pouvons exprimer la position d'un point depuis l'un ou l'autre repère en usant de ces deux relations).

Considérons maintenant un espace ponctuel pré-euclidien ainsi que M et M' deux points de cet espace. Nous avons démontré lors de notre étude de la topologie (cf. chapitre de Topologie), que la norme du vecteur MM' est une mesure possible de la distance entre M et M' . Nous avons donc :

equation   (28.83)

Si les deux points M et M'  ont respectivement pour coordonnées equation et equation,  par rapport à un repère equation, nous savons que nous avons :

equation   (28.84)

La norme au carré est donc donnée comme nous l'avons vu lors de notre étude du calcul tensoriel (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) par la relation:

equation   (28.85)

Si le point M' est infiniment proche du point M, ses coordonnées sont notées equation et le vecteur equation a pour composantes les quantiques equation.

Si nous notons ds la distance entre les points M et M' . La relation précédente donne l'expression du carré de la distance entre ces points sous la forme:

equation   (28.86)

Rappelons également (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) que pour un espace ponctuel pré-euclidien où les vecteurs de base equation sont donc orthonormés, nous avons:

equation   (28.87)

et l'expression de la distance devient alors :

equation   (28.88)

Nous obtenons ainsi une expression qui généralise, à n dimensions, le carré de la distance élémentaire, par rapport à un repère cartésien orthonormé, dans l'espace de la géométrie classique (euclidienne).

Les vecteurs de la physique sont généralement des fonctions d'une ou plusieurs variables, celles-ci pouvant être des variables d'espace ou du temps. Lorsque à un point M d'un espace ponctuel equation, nous attachons un tenseur, défini par ses composantes par rapport à un repère equation, nous dirons que nous nous sommes donnés un "champ de tenseurs" (le champs de tenseur d'ordre 1 étant des champs vectoriels).

Pour des vecteurs à n dimensions, la notion de dérivée d'un vecteur à trois dimensions se généralise et nous obtenons toutes les relations classiques relatives aux dérivées.

Considérons ainsi un vecteur equation appartenant à un espace pré-euclidien equation dont les composantes, sur une base equation, sont des fonctions d'un paramètre quelconque equation. Nous noterons ce vecteur equation et nous aurons:

equation   (28.89)

Par définition, la dérivée du vecteur equation par rapport à la composante equation est un vecteur noté:

equation   (28.90)

selon la notation utilisée par les mathématiciens. Ou :

equation   (28.91)

selon la notation abrégée des physiciens. Ou encore:

equation   (28.92)

selon l'humeur du physicien. Ou encore :

equation   (28.93)

si nous respectons les écritures...

Dans ce site, nous basculons d'une notation à l'autre sans préavis en fonction de l'envie de simplifier les écritures (il faudra s'y faire..).

Etant donné que nous faisons actuellement plus de la mathématique que de la physique, nous noterons:

equation   (28.94)

En rappelant (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) que la différentielle est donnée par:

equation   (28.95)

Les différentes expressions de dérivations des vecteurs à trois dimensions relatives à la somme de vecteurs, au produit par un scalaire de deux vecteurs, sont aisément transposables aux vecteurs à n dimensions.

Si un vecteur equation de equation dépend de plusieurs paramètres indépendants, equation, la dérivée partielle du vecteur equation par rapport à la variable equation, par exemple, est un vecteur noté:

equation ou equation   (28.96)

dont les composantes sont les dérivées partielles des composantes de equation, soit:

equation   (28.97)

La différentielle totale du vecteur equation s'écrivant (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

equation   (28.98)

Considérons maintenant un espace vectoriel pré-euclidien equation associé à un espace ponctuel equation. Dans un repère equation tout point M de equation est associé à un vecteur equation de equation tel que equation. Si le vecteur equation dépend d'un paramètre equation et admet une dérivée equation, il en est de même alors pour equation.

Montrons que le vecteur dérivé equation ne dépend pas du point origine O (statique) mais seulement du point M considéré. En effet, si O' est un autre point origine, nous avons:

equation   (28.99)

et puisque le vecteur equation est fixe et ne dépend pas de equation, nous avons:

equation   (28.100)

d'où:

equation   (28.101)

Nous pouvons donc noter la dérivée du vecteur equation en mentionnant seulement le point M et nous écrirons:

equation   (28.102)

La différentielle de equation s'écrit alors:

equation   (28.103)

Si un point M de equation est associé, par rapport à un repère equation à un vecteur equation, les dérivées partielles de equation ne dépendront que du point M et nous écrirons, par exemple:

equation   (28.104)

Afin d'alléger les expressions des dérivées partielles totales des  fonctions dépendantes de n variables, nous utilisons quand le contexte s'y prête, les notations indicielles suivantes. Si equation est une fonction des n variables equation, nous noterons les dérivées partielles sous la forme:

equation   (28.105)

Les dérivées secondes par rapport aux variables equation et equation s'écriront:

equation   (28.106)

Lorsque equation est un vecteur tel que equation, dont les composantes sont des fonctions de n variables equation, soit:

equation   (28.107)

les dérivées partielles du vecteur seront notées, en utilisant la convention de sommation:

equation   (28.108)

Le concept d'espace ponctuel étant maintenant introduit, nous pouvons maintenant passer à l'étude du formalisme lagrangien et la détermination de la formulation mathématique du principe de moindre action (voir chapitre suivant).