ÉQUATION DE PAULI



PHYSIQUE QUANTIQUE RELATIVISTE

1. Equation d'évolution relativiste de Schrödinger

1.1. Equation libre de Klein-Gordon

1.1.1. Anti-matière

2. Équation de Klein-Gordon généralisée

3. Équation de Dirac libre classique

4. Équation de Dirac libre linéarisée

5. Équation de Dirac généralisée

6. Équation de Pauli

Considérons maintenant une représentation à deux composantes du spineur:

equation   (43.212)

et rappelons que:

equation   et   equation   (43.213)

Il vient alors:

equation   (43.214)

Soit:

equation   (43.215)

Ce qui après simplification donne:

equation   (43.216)

Avant de continuer, ouvrons une parenthèse importante sinon quoi nous n'arriverons pas à trouver une solution à ces deux équations.

Rappelons qu'un des spineurs solutions de l'équation de Dirac libre était donné par (nous l'avons démontré plus haut et nous enlevons l'indice i ainsi que le symbole du produit scalaire equation pour simplifier les écritures):

equation   (43.217)

Soit en unités S.I.:

equation   (43.218)

Afin de simplifier le calcul des équations antéprécédentes nous abaisserons la situation à un cas non relativiste, c'est-à-dire lorsque l'énergie de masse est beaucoup plus grande que l'énergie cinétique. Donc la solution précédente devient (on oublie la deuxième qui poserait problème...):

equation   (43.219)

L'idée est alors de trouver une solution telle à:

equation   (43.220)

qui lorsque nous faisons une approximation non relativiste et que nous annulons le champ magnétique (in extenso le potentiel vecteur), nous retombons sur:

equation   (43.221)

L'idée est simple mais il fallait y penser!

Après maints tâtonnements (eh oui la physique quantique ne c'est pas faite en un jour...) nous trouvons qu'une solution particulière satisfaisant à notre idée précédente est:

equation   (43.222)

Effectivement:

equation
  (43.223)

Nous avons finalement deux équations:

equation   (43.224)

Maintenant, considérons uniquement la deuxième équation:

equation   (43.225)

En supposant (gratuitement! après quoi il faudra comparer aux résultats expérimentaux) que le terme equation est beaucoup plus petit que equation nous pouvons écrire:

equation   (43.226)

En faisant la même hypothèse avec equation nous avons:

equation   (43.227)

Nous avons alors:

equation   (43.228)

Or, nous voyons bien que si le champ magnétique (in extenso le potentiel vecteur) s'annule, nous retombons sur bien notre idée de départ! Le pari est donc bon!

A cause de toutes ces approximations vers le bas, la composante equation est souvent prise comme étant la "petite" composant de la fonction d'onde equation, relativement à la grosse composante equation.

La première équation:

equation   (43.229)

peut maintenant être simplifiée facilement en prenant la solution précédente tel que:

equation   (43.230)

Soit:

equation   (43.231)

En utilisant l'identité remarquable démontrée dans le chapitre de Calcul Spinoriel:

equation   (43.232)

Nous avons:

equation   (43.233)

Détaillons le produit vectoriel en se rappelant qu'il agira comme opérateur sur equation :

equation   (43.234)

Or, nous avons:

equation   (43.235)

Intéressons nous juste à la composante dans le coin supérieur gauche (sinon les calculs sont trop longs) de cette somme de matrices. Il ne faut pas l'oublier que cette composante de la matrice agira sur la première composante en tant qu'opérateur sur equation (notée de même...):

equation   (43.236)

Or:

equation   (43.237)

Donc:

equation   (43.238)

Or, nous reconnaissons ici la troisième composante d'un produit vectoriel n'agissant pas comme opérateur. Finalement, il vient:

equation   (43.239)

Soit:

equation   (43.240)

Ainsi, la relation de la composante principale:

equation   (43.241)

Devient:

equation   (43.242)

Après réarrangement:

equation   (43.243)

ce qui constitue "l'équation de Pauli" et décrit donc de manière relativiste les deux composantes equation de liberté du spin de l'électron.

Le terme:

equation   (43.244)

est appelé "terme de Stern-Gerlach" et représente l'énergie d'interaction du champ magnétique avec le moment intrinsèque de l'électron.

L'équation de Pauli, et donc celle de Dirac (puisque cette dernière est plus générale), donnent le facteur gyromagnétique correct de equation pour un électron libre. Pour vérifier ceci, prenons comme il a été fait expérimentalement, un champ magnétique constant:

Nous vérifions facilement que le choix  d'un potentiel vecteur correspondant à un champ magnétique constant est alors:

equation   (43.245)

Ce choix va avoir pour effet de faire disparaître le potentiel vecteur au profit du champ magnétique dans l'équation de Pauli ce qui fera apparaître l'interaction entre le moment angulaire orbita et le champ magnétique comme nous allons le voir:

Effectivement, nous avons:

equation   (43.246)

Démonstration:

equation   (43.247)

Nous avons alors dans l'équation de Pauli:

equation   (43.248)

Or, rappelons que nous avons vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel que:

equation   (43.249)

Cela nous donne donc:

equation   (43.250)

où:

equation   (43.251)

noté aussi equation (cf. chapitre de Mécanique Classique/Physique Quantique Corpusculaire) est donc un opérateur représentant le moment cinétique.

Nous avons donc:

equation   (43.252)

En définissant l'opérateur spin comme étant (oh! on retrouve quelque chose de connu et vu dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire!! c'est magnifique non?):

equation   (43.253)

Cette relation nous sera très utile dans le chapitre d'Informatique Quantique.

L'équation de Pauli s'écrit alors:

equation   (43.254)

ou encore:

equation   (43.255)

ou encore en plus condensé en faisant bien attention à bien différencier ce qui est un opérateur, d'un vecteur et ce qui est un produit d'un produit scalaire et ce qui est une fonction d'un spineur... (que du bonheur...):

equation   (43.256)

avec equation étant donc le "moment magnétique orbital", equation le "moment magnétique de spin" et avec tout cela le terme de Stern-Gerlach devient donc:

equation   (43.257)

equation le "facteur de Landé" ou "facteur gyromagnétique" de l'électron qui est une grandeur physique sans dimension qui permet de relier le moment magnétique au moment cinétique d'un état quantique. Nous retrouvons par ailleurs le rapport:

equation   (43.258)

qui est le magnéton de Bohr que nous avions introduit dans le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire.

Donc la théorie de Dirac dans le cadre non relativiste prédit en bonne approximation que les particules de spin 1/2 ont un facteur gyromagnétique de 2, et cette prédiction conforme à l'expérience est le plus grand triomphe de l'équation de Dirac.

Les valeurs suivantes ont été mesurées pour les particules de spin ½ tel que l'électron, le proton et le neutron (attention le signe peut changer suivant la manière dont est notée l'équation de Dirac!):

equation   (43.259)

Remarques:

R1. Le facteur gyromagnétique est pris parfois comme étant négatif mais ce n'est qu'une question de convention.

R2. Les déviations de la valeur théorique sont parfaitement expliquées dans le cadre de l'électrodynamique quantique. Mais ces déviations montrent que la structure du proton et du neutron sont plus complexe qu'une particule ponctuelle de spin 1/2 alors que dans le cas de l'électron, il semblerait qu'il n'y ait pas de sous-structure.

C'est par ailleurs le terme :

equation   (43.260)

de l'hamiltonien de Pauli qui donne les valeurs mesurées par l'effet Zeeman!

Nous savons que cette dernière relation peut aussi s'écrire pour toute particule (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire):

equation   (43.261)

equation est la "rapport gyromagnétique" et equation le "magnéton de Bohr" (mais nous avons vu lors de la démonstration de cette relation que le magnéton de Bohr n'est qu'un cas particulier du moment magnétique de spin avec le facteur de Landé égal à celui de l'électron.)

Supposons maintenant que le noyau d'un atome n'a que deux orientations de spin possible equation (il existe plusieurs valeurs de spin pour tous les noyaux existants) alors nous avons vu dans le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire et Ondulatoire que:

equation   (43.262)

soit 3 états différents mais deux variations d'énergies possibles à spin égal (entre {-1,0} et {0,+1} pour le premier et {-1,+1} pour le deuxième).

Intéressons nous maintenant seulement à la variation d'énergie entre deux états. Il sera alors toujours à spin égal de la forme:

equation   (43.263)

Cette variation d'énergie sera restituée sous forme d'ondes électromagnétiques correspondant à:

equation   (43.264)

d'où:

equation   (43.265)

qui est la "relation de Larmor" (à ne pas confondre avec la "rayon de Larmor" vu dans le chapitre de Magnétostatique). Mais dans la pratique nous utilisons surtout la relation:

equation   (43.266)

qui donne ce que nous appelons la "fréquence de résonance".

Cette étude de variation d'énergie due à l'application d'un champ magnétique est à la base de la résonance magnétique nucléaire (RMN) qui ne marche donc que pour les particules possédant  le moment magnétique de spin equation (par construction de l'hamiltonien de Pauli!).

La RMN consiste à modifier le moment magnétique nucléaire, autrement dit à faire passer le noyau d'un niveau d'énergie à un autre, en appliquant des champs magnétiques à l'échantillon qu'on veut étudier. Lorsque l'énergie des photons qui constituent ces champs magnétiques correspond à l'énergie de transition d'un niveau d'énergie à l'autre, ces photons peuvent être absorbé par le noyau : nous disons alors qu'il y a "résonance nucléaire".

Nous pouvons caractériser l'énergie de transition du moment magnétique de spin nucléaire en donnant la fréquence de l'onde électromagnétique qui permet la résonance. Pour les champs usuels (de l'ordre du tesla), la résonance du proton a lieu dans le domaine des ondes radio (100 [MHz] environ) : 42 [MHz] dans un champ de 1.0 [T] et 63 [MHz] dans un champ de 1.5 [T].