ÉQUATION DE KLEIN-GORDON GÉNÉRALISÉE



PHYSIQUE QUANTIQUE RELATIVISTE

1. Equation d'évolution relativiste de Schrödinger

1.1. Equation libre de Klein-Gordon

1.1.1. Anti-matière

2. Équation de Klein-Gordon généralisée

3. Équation de Dirac libre classique

4. Équation de Dirac libre linéarisée

5. Équation de Dirac généralisée

6. Équation de Pauli

L'équation de Klein-Gordon libre que nous avons initialement présentée plus haut ne prend pas en compte l'influence du champ magnétique sur l'observation du dédoublement des raies du spectre des atomes (constat expérimental). C'est pour cette raison que Klein et Gordon intégrèrent dans leur équation le champ magnétique. Cependant, ils le firent sans prendre en compte le spin de l'électron. C'est seulement après leur travail que Pauli développa son équation (dite "équation de Pauli") qui amena ensuite à l'équation de Dirac (voir plus loin).

Pour déterminer l'expression de l'équation de Klein-Gordon d'une particule chargée dans un champ magnétique et un potentiel électrostatique, utilisons la puissance du formalise Lagrangien :

L'équation classique du mouvement admise (cf. chapitre de Mécanique Analytique), comme valable aussi en relativité, est donnée nous le savons par (équation d'Euler-Lagrange) :

equation   (43.21)

Dans le chapitre de Relativité Restreinte, nous avons vu que le lagrangien d'une particule libre a pour expression :

equation avec equation   (43.22)

et dans le chapitre d'Électrodynamique que le lagrangien total était :

equation   (43.23)

Pour des besoins ultérieurs, commençons par calculer :

equation   (43.24)

Calculons le premier terme :

equation   (43.25)

Comme le potentiel ne dépend pas de la vitesse, le terme equationest nul.

Le potentiel vecteur ne dépend pas de la vitesse de la particule dès lors :

equation   (43.26)

Il vient dans ce cas:

equation   (43.27)

L'hamiltonien classique s'écrit (cf. chapitre de Mécanique Analytique) :

equation   (43.28)

Nous avons donc démontré précédemment que :

equation   (43.29)

Nous pouvons donc écrire avec cette relation l'hamiltonien sous la forme :

equation   (43.30)

Le produit scalaire equation a pour expression (puisqu'ils equationsont colinéaires) :

equation   (43.31)

L'hamiltonien s'écrit alors :

equation   (43.32)

En travaillant sur les deux premiers termes :

equation   (43.33)

Or :

equation   (43.34)

Dès lors :

equation   (43.35)

Finalement, nous obtenons (pour un système conservatif) :

equation   (43.36)

Toujours dans le cas d'une particule se déplaçant dans un champ électromagnétique, la relation entre l'énergie et l'impulsion (qui est différente de la quantité de mouvement par la présence d'un terme comprenant le potentiel vecteur) se calcule comme suit:

Nous connaissons la relation relativiste suivante :

equation   (43.37)

Comme :

equation   (43.38)

alors en substituant et en passant un terme de l'autre côté de l'égalité la relation précédente devient (nous changeons de notation pour l'hamiltonien):

equation   (43.39)

Si nous récrivons cette relation en faisant usage des opérateurs correspondants (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) de l'énergie et de la quantité de mouvement (quantification canonique):

equation et equation   (43.40)

Alors finalement nous pouvons écrire en analogie avec l'équation de Klein-Gordon libre (en l'absence de champ) "l'équation de Klein-Gordon généralisée":

equation   (43.41)

Cette équation est celle de Klein-Gordon qui s'applique à une particule de charge q sans spin se déplaçant dans un champ électromagnétique.

Si equation alors la relation précédente s'écrit :

equation   (43.42)

Nous retrouvons donc l'équation de Klein-Gordon d'une particule libre mais sans spin !

Il serait intéressant de regarder maintenant l'expression de l'équation de continuité (qui exprime rappelons-le : la conservation de l'énergie) avec la prise en compte du champ magnétique (parce que au fait elle posera toujours problème... et même un très gros). Pour cela, considérons le cas d'une particule libre se déplaçant avec une quantité de mouvement equation et ayant une énergie E. Nous avons vu que nous pouvions lui associer une onde plane de la forme :

equation   (43.43)

Soit l'équation Klein-Gordon libre et son expression en conjugué complexe (nous travaillons avec les unités naturellesequation)

equation   (43.44)

Nous multiplions (1) par equation et (b) par equation

equation   (43.45)

Soit :

equation   (43.46)

Par différence (1)-(2) :

equation   (43.47)

Le calcul des dérivées par rapport à t des fonctions suivantes :

equation   (43.48)

Par différence (1)-(2)

equation   (43.49)

Ce qui nous donne finalement :

equation   (43.50)

Soit f un champ scalaire et equation et un champ vectoriel. L'analyse vectorielle donne :

equation   (43.51)

Posons :

equation   (43.52)

Dès lors :

equation (1)
  (43.53)

Posons maintenant :

equation   (43.54)

Dès lors :

equation (2)
  (43.55)

Soustrayons (1)-(2) :

equation   (43.56)

Comme equation:

equation   (43.57)

En changeant les signes :

equation   (43.58)

Cette dernière relation et :

equation   (43.59)

donnent :

equation   (43.60)

A nouveau, rapprochons cette relation avec l'équation de continuité :

equation   (43.61)

Rappelons que lors de notre première étude de l'équation de Klein-Gordon nous avons vu qu'en mécanique quantique son équivalent est donné par la même équation mais avec les significations suivantes : equation est la densité de probabilité, equation est la densité du flux de particules.

Nous avons donc :

equation   (43.62)

Si la fonction d'onde associée equation et sa conjuguée complexe equation:

equation   (43.63)

Les dérivées par rapport au temps de ces fonctions

equation   (43.64)

Les gradients se calculent comme suit :

equation   (43.65)

En reprenant l'expression de la densité de probabilité et compte tenu de différentielles précédentes, il vient :

equation   (43.66)

La densité de probabilité a donc pour expression :

equation   (43.67)

En reprenant l'expression de la densité de courant et compte tenu de des différentielles, il vient :

equation   (43.68)

La densité de courant a pour expression :

equation   (43.69)

En se plaçant dans la situation des connaissances de l'époque, l'équation de Klein-Gordon présente plusieurs pathologies et inconvénients.

- La densité de probabilitéequation peut devenir négative (puisque comme nous l'avons vu, l'énergie peut l'être aussi), ce qui est inexplicable. Une telle situation n'existe pas avec l'équation de Schrödinger.

- L'équation de Klein-Gordon a l'inconvénient d'être du second ordre en equation (l'équation de Schrödinger est elle du premier ordre). L'évolution temporelle nécessite dont la connaissance non seulement de equationmais également de sa dérivée equation

- Si nous appliquions cette équation à l'atome d'hydrogène, nous ne retrouverions pas les mêmes niveaux d'énergie en structure fine.

Tout ceci a conduit à l'époque qui précède les travaux de Dirac, à un rejet de cette équation qui, de plus, ne tenait pas compte du spin.


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