ÉQUATION DE DIRAC LIBRE LINÉARISÉE



PHYSIQUE QUANTIQUE RELATIVISTE

1. Equation d'évolution relativiste de Schrödinger

1.1. Equation libre de Klein-Gordon

1.1.1. Anti-matière

2. Équation de Klein-Gordon généralisée

3. Équation de Dirac libre classique

4. Équation de Dirac libre linéarisée

5. Équation de Dirac généralisée

6. Équation de Pauli

Nous avons vu tout au début de notre étude la physique quantique ondulatoire que l'équation de Schrödinger classique d'évolution était :

equation   (43.137)

soit une équation différentielle d'un premier ordre par rapport au temps et du second par rapport aux coordonnées spatiales.

Nous avions ensuite déterminé l'équation d'évolution relativiste de Schrödinger (équation de Klein-Gordon libre) donnée par :

equation   (43.138)

Nous remarquons qu'en passant à une forme relativiste nous avons maintenant une équation différentielle du second ordre dans le temps et dans l'espace.

Ensuite en passant par l'équation de Klein-Gordon généralisée contenait également une équation différentielle du second ordre en temps et en espace :

equation   (43.139)

et dans l'équation de Dirac libre, nous obtenons de même une équation différentielle matricielle de premier ordre en temps et de deuxième ordre en espace :

equation   (43.140)

Ces changements d'ordre des différentielles d'un modèle relativiste ou non impose bien sûr dans le cas d'un premier ordre de connaître les conditions initiales en temps et en espace de l'équation d'onde, ce qui est faisable. Cependant, lorsqu'un second ordre apparaît, il faut alors en plus connaître les conditions initiales des dérivées des fonctions d'onde (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). De plus, même si mathématiquement la rigueur nous a amené naturellement aux différents ordres obtenus, il est étrange en passant d'un modèle relativiste que nous changions d'ordre. Pourquoi ? : pour la simple raison qu'en approximant les équations relativistes, nous n'arrivons pas avec le facteur de la constante de Planck à faire des approximations (développement en série de equation) qui nous ramèneraient à du premier ordre. Les équations relativistes et non relativistes sont donc à priori incompatibles dans les limites non relativistes !

La méthode de Dirac pour résoudre ce problème aura été la suivante :

Les ordres de l'équation différentielle de Klein-Gordon venant à la base de la relation (voir les débuts de nos développements de l'équation de Klein-Gordon libre) de l'énergie totale en l'absence de tout champ :

equation   (43.141)

Dirac à donc l'idée géniale de linéariser cet hamiltonien en posant :

equation   (43.142)

dont nous devrons déterminer les paramètres equation qui pourront être des scalaires, des vecteurs ou des matrices (attendons un peu... la réponse viendra).

Ainsi, l'équation d'onde d'évolution relativiste la plus simple que nous pourrons construire sera :

equation   (43.143)

Sous une forme beaucoup plus commune dans la littérature :

equation   (43.144)

Comme ici :

equation   (43.145)

nous retrouvons alors au la relation antéprécédente aussi sous la forme :

equation   (43.146)

Si la quantité de mouvement venait à être nulle, nous retrouverions ainsi l'énergie au repos pour l'hamiltonien :

equation   (43.147)

où comme nous allons le voir plus loin equation.

La validité de cette linéarisation devra être vérifiée en retrouvant les résultats obtenus lors de notre étude précédente de l'équation de Dirac.

Elevons maintenant l'opérateur au carré soit :

equation   (43.148)

et posons :

equation   (43.149)

A ce stade, il est important de remarquer que nous travaillons peut-être avec des opérateurs (des matrices typiquement) qui pourraient ne pas commuter car les equationsont inconnus. Dès lors, l'élévation au carré sera effectuée comme suit :

equation   (43.150)

Nous développons ainsi le hamiltonien de Dirac

equation
  (43.151)

En effectuant les produits des termes entre parenthèses et en respectant l'ordre des opérateurs, il vient :

equation
  (43.152)

En groupant certains termes :

equation
  (43.153)

Pour être conforme à nos hypothèses de linéarisation, nous devons avoir :

equation
  (43.154)

Ecrit sous forme de commutateurs, nous avons les trois conditions suivantes à satisfaire :

equation   (43.155)

Nous observons ce qui suit :

- Le carré de chaque opérateur equation et equation est égal à 1 (ou à la matrice unitaire s'il s'agit de matrice...).

- equation est un anti-commutateur.

- equation est un anti-commutateur.

ces trois relations peuvent se résumer comme suit :

equation   (43.156)

A ce stade, nous devons rechercher quels sont les objets mathématiques répondant au trois conditions ci-dessus. Nous pourrions montrer qu'une matrice carrée de dimension 2 ou 3 ne répond pas aux trois conditions et un scalaire encore moins!

Dirac a alors adopté par analogie aux développements antérieurs, des matrices carrées de dimension 4 incluant des matrices de Pauli (comme par hasard...) et a admis pour equation une matrice unité (ce choix fait par Dirac est particulier, il y a d'autres choix possibles).

Donc ce que nous notions "1" avant est au fait une matrice unitaire carrée de dimension 4!

Les matrices considérées par Dirac sont donc pour equation:

equation   (43.157)

Dans lesquelles, nous avons les matrices de Pauli et la matrice unitaire suivantes:

equation   (43.158)

Ce qui conduit aux matrices equation :

equation
  (43.159)

On peut vérifier que les conditions de linéarisation sont vérifiées par les matrices précédentes :

- Première condition :

equation   (43.160)

De même pour les equation :

equation   (43.161)

La première condition est donc bien remplie!

- Deuxième condition (attention aux notations qui dérapent un peu par tradition entre matrices et scalaires!):

equation   (43.162)

et :

equation   (43.163)

Donc:

equation   (43.164)

la deuxième condition est bien remplie.

- Troisième condition :

equation   (43.165)

La troisième condition est bien remplie.

En se référant à l'équation de début écrite avec le formalisme de Dirac

equation  (43.166)

Avec :

equation   (43.167)

Ce qui donne finalement :

equation   (43.168)

Nous nous retrouvons devant une fonction d'état possédant 4 composantes dans laquelle :

equation et equation   (43.169)

sont des spineurs et l'ensemble :

equation   (43.170)

est donc un "bispineur de Dirac" et nous notons :

equation   (43.171)

la "fonction d'état de Dirac". Le lecteur remarquera que nous retrouvons les mêmes concepts que lors de notre étude de l'équation de Dirac libre non linéarisée.

En développant, il vient :

equation (1)
  (43.172)

Pour un électron libre, nous savons que la solution est :

equation   (43.173)

Avec le bispineur de Dirac, nous avons :

equation   (43.174)

avec :

equation   (43.175)

avec equation à equation sont les composantes du bispineur de Dirac.

Nous noterons :

equation avec equation (2)
  (43.176)

En calculant leurs dérivées par rapport à t:

equation (3)
  (43.177)

Avec (2) et (3) dans (1), il vient

equation   (43.178)

Soit un système d'équations dont les inconnues sont equation :

equation (4)
  (43.179)

Nous aurons des solutions non toutes nulles si et seulement si le déterminant des coefficients est nul (pour en connaître les raisons, voir le chapitre d'Algèbre Linéaire) et donc une infinité de solutions (pour les composantes du spineur de Dirac) possibles. Soit :

equation
  (43.180)

En simplifiant par c:

equation
  (43.181)

La division dans le déterminant précédent permet le calcul des déterminants partiels (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) :

equation
  (43.182)

En résolvant le déterminant précédent, il vient :

equation   (43.183)

D'où la relation suivante :

equation   (43.184)

Les valeurs de l'énergie données par l'équation de Dirac sont donc :

equation   (43.185)

Soit :

equation   (43.186)

Si nous adoptons pour equation, deux valeurs constantes pour equation et equation, nous disposons de deux relations pour calculer equation et equation soit :

- Avec (4c) :

equation   (43.187)

Soit :

equation   (43.188)

- Avec (4d) :

equation   (43.189)

Soit :

equation   (43.190)

N.B : En adoptant equation, il vient :

equation   (43.191)

En prenant les unités naturelles :

equation   (43.192)

En adoptant equation, il vient :

equation   (43.193)

En prenant les unités naturelles :

equation   (43.194)

Si nous adoptons pour equation, deux valeurs constantes pour equation nous disposons de deux relations pour calculer equation soit :

- Avec (4a) :

equation   (43.195)

Soit :

equation   (43.196)

- Avec (4b) :

equation   (43.197)

Soit :

equation   (43.198)

Notons, qu'en adoptant equation, il vient :

equation   (43.199)

Avec les unités naturelles :

equation   (43.200)

En adoptant equation, il vient :

equation   (43.201)

Soit avec les unités naturelles :

equation   (43.202)

Bien que la méthode soit différente, nous retrouvons donc les coefficients des spineurs que nous avions obtenus dans notre étude de l'équation de Dirac libre classique. Cela nous rassure donc dans les hypothèses posées au début de cette linéarisation et valide ces résultats. De plus, les relations précédentes indiquent aussi une dégénérescence d'ordre deux de l'énergie pour chaque valeur de l'impulsion. En l'absence de champ extérieur, l'électron libre n'est donc pas influencé par l'orientation de son spin. Nous retrouvons donc les mêmes résultats que ce soit pour l'équation de Dirac libre classique ou linéarisée.

Cependant, l'explication donnée par Dirac pour expliquer les énergies positives et négatives est que son équation s'applique non seulement à l'état d'une particule à énergie positive (en l'occurrence l'électron) mais également à l'état d'une particule à énergie négative (son antiparticule soit le positron). La valeur absolue de ces deux énergies étant strictement égales.

La présence du signe négatif affectant l'énergie à posé problème à l'époque pour son interprétation (dans le cadre où nous omettons la variable du temps puisque nous avions vu lors de l'étude de l'équation de Klein-Gordon libre qu'une particule à énergie négative peut être vue comme une particule qui remonte le temps).

Si nous raisonnons dans le cas où le terme equation est faible comparé à equation, nous nous posons la question : comment et quels sont les conséquences d'une transition entre un état d'énergie equation à celui de l'état d'énergie equation avec un saut ("gap") de equation(nous retrouverons cette valeur lors de notre étude de la matérialisation dans le chapitre de Physique Nucléaire).

Dirac a recours à l'image d'une mer d'énergie négative (puisque rappelons-le, le nombre de solutions à notre système matriciel est infini, d'où l'analogie avec une mer plus qu'un contexte discret) dans laquelle tous les états d'énergie négatives sont occupés par les électrons et les états d'énergie positives seraient vides. Si un électron est soumis à une transition (via, par exemple un photon d'énergie supérieure à equation), il quitte cette mer en laissant derrière lui une lacune (le fameux "trou" de charge positive auquel les électroniciens font parfois référence....). Cette lacune devient une charge positive, d'énergie equation. L'apparition de cette lacune est assimilée à l'apparition d'une particule ayant une charge positive. Bien évidemment, nous pouvons nous imaginer le cas inverse, ce n'est qu'une question de conventions.

ÉQUATION DE DIRAC GÉNERALISÉE

Dans le cas de l'électron libre, nous avons donc maintes fois vus et démontrés que l'hamiltonien a comme expression

equation   (43.203)

Dans le cas d'un électron se déplaçant dans un champ électromagnétique, nous avons aussi démontré lors de notre étude de l'équation de Klein-Gordon au début de ce chapitre:

equation   (43.204)

Soit :

equation   (43.205)

Bref fini pour le rappel!

Si maintenant, nous reprenons l'hamiltonien de Dirac pour l'électron libre démontré plus haut:

equation   (43.206)

En tenant du fait que nous avions démontré plus haut que dans le cas particulier d'une particule plongée dans un champs magnétique et un potentiel électrostatique nous avions:

equation   (43.207)

avec:

equation   (43.208)

et du fait qu'il faille rajouter à l'hamiltonien le terme de l'énergie potentielle électrostatique:

equation   (43.209)

Nous obtenons alors l'hamiltonien de Dirac généralisé :

equation   (43.210)

Nous avons donc sous une autre forme connue:

equation   (43.211)


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