ÉQUATION DE DIRAC LIBRE CLASSIQUE



PHYSIQUE QUANTIQUE RELATIVISTE

1. Equation d'évolution relativiste de Schrödinger

1.1. Equation libre de Klein-Gordon

1.1.1. Anti-matière

2. Équation de Klein-Gordon généralisée

3. Équation de Dirac libre classique

4. Équation de Dirac libre linéarisée

5. Équation de Dirac généralisée

6. Équation de Pauli

Jusqu'à présent, toute particule a été considérée comme ponctuelle et sans aucune structure ou degré de liberté interne. Dans cette optique, toute l'information sur l'état du système à l'instant t est alors réputée entièrement contenue dans la connaissance de la fonction d'onde equation.

Une telle description est insuffisante, comme nous allons le voir. Cette insuffisance provient des preuves expérimentales démontrant qu'une particule telle que l'électron possède un moment magnétique propre, indépendamment de tout mouvement de rotation dans l'espace autour d'un centre. L'existence de ce moment magnétique entraîne à son tour l'existence d'un moment cinétique propre, ou intrinsèque, qui a été baptisé "spin" car on croyait au début que ce degré de liberté était lié à une rotation de la particule sur elle-même. Ce degré de liberté est "interne" - bien que l'électron continue à être considéré comme une particule ponctuelle ; c'est, au même titre que la charge ou la masse, un attribut intrinsèque, donné une fois pour toutes. Il s'avère impossible de donner du spin une image classique! Se représenter l'électron comme une petite bille de rayon non-nul qui tourne sur elle-même conduit à des absurdités (par exemple, on trouve qu'un point situé à la périphérie de l'électron a une vitesse très supérieur à c). Il reste cependant que le spin d'une particule massique est son moment cinétique dans le référentiel où elle est au repos. L'hypothèse du spin de l'électron a été formulée par Uhlenbeck et Goudsmit en 1925 pour rendre compte des atomes complexes comme nous l'avons vu en physique quantique corpusculaire.

Le spin d'une particule est toujours demi-entier ou entier, c'est un fait d'expérience. Le caractère entier ou demi-entier du spin définit deux grandes de particules, les bosons (spin entier) et les fermions (spin demi-entier), obéissant à des statistiques très différentes telles que celles que nous avons présentées dans le chapitre de Mécanique Statistique (d'où l'existence d'une relation appelée "théorème spin-statistique").

Revenons au cas de l'électron. Les deux valeurs possibles révélées par une mesure de S (le equation que nous avions en physique quantique corpusculaire) sont donc equation (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) associée aux deux valeurs possibles d'un nombre quantique equation lui même associé donc à l'état libre (equation) au moment cinétique :

equation   (43.70)

Donc :

equation   (43.71)

Une description complète de l'état de l'électron contient donc nécessairement une fonction d'onde donnant comme d'habitude la densité de probabilité de présence, mais prenant également en compte le degré de liberté du spin, d'où la notation equation. Si les coordonnées d'espace prennent des valeurs réelles continues, en revanche la variable de spin est donc essentiellement discrète.

En maintenant l'interprétation usuelle, la quantité equation est la probabilité de présence autour du point choisi avec la valeur equation pour le spin. La condition de normalisation des probabilités introduit comme toujours une sommation, qui porte non seulement sur les degrés orbitaux (sommation continue, c'est-à-dire intégration) mais également sur les degrés de spin (sommation discrète) :

equation   (43.72)

exprimant notamment le fait que nous épuisons toutes les possibilités du spin en sommant sur les deux valeurs possibles. En tout état de cause, l'électron n'a plus une mais deux fonctions d'onde, une pour chaque valeur de equation.

La notation précédente n'est pas forcément la meilleure pour les particules libres de spin supérieur à 1/2 comme nous l'avons vu lors de notre étude du moment cinétique. S'agissant d'une variable prenant des valeurs discrètes, il est tout aussi légitime de mettre equation en indice et de poser equation. Enfin, il est commode d'utiliser une notation matricielle, rangeant en colonne les différentes fonctions correspondant aux valeurs possibles de la variable discrète equation. Ainsi, pour l'électron, nous admettrons désormais que toute l'information au sens de la physique quantique ondulatoire est contenue dans un vecteur-colonne à deux lignes appelé "spineur" (cf. chapitre de Calcul Spinoriel) et noté :

equation ou equation   (43.73)

Revenons maintenant sur l'équation de Klein-Gordon libre (plus générale que l'équation de Schrödinger bien évidemment mais moins que celle comportant le champ magnétique) :

equation   (43.74)

Cette équation est comme nous le savons malheureusement incomplète car elle ne contient aucune information sur le spin de l'électron.

Nous pouvons cependant, pour tenter de trouver une solution à ce problème, faire un parallèle avec le champ électromagnétique. Celui-ci comporte aussi un spin, résidant dans la polarisation du champ (cf. chapitre d'Électrodynamique). Cette polarisation est étroitement liée à la nature vectorielle du champ électromagnétique et transparaît dans les équations de Maxwell, qui sont du premier ordre en dérivées. Cependant en combinant les équations de Maxwell, nous avons vu dans le chapitre d'Électrodynamique que nous pouvions obtenir les équations d'onde :

equation et equation   (43.75)

qui sont (coïncidence très pertinente!) un cas particulier de l'équation de Klein-Gordon quand equation :

equation   (43.76)

Les équations d'onde recèlent cependant moins d'informations que les équations de Maxwell originales : elles ne contiennent explicitement aucune relation entre les différentes composantes des champs equation et equation, comme par exemple le fait que, dans une onde électromagnétique de vecteur d'onde donné, les champs equation et equation sont mutuellement perpendiculaires et tous les deux perpendiculaire au vecteur d'onde. Pour établir ces contraintes, il faut retourner aux équations de Maxwell et donc à des équations avec des dérivées du premier ordre.

Il en est de même pour les fermions (les électrons en font partie). L'équation de Klein-Gordon, quoiqu'elle ne soit pas fausse, est incomplète. Il faut tenter ici d'établir une équation du premier ordre en dérivées qui décrive bien le spin 1/2 des électrons des fermions. Cette dernière condition signifie que cette équation doit donc faire intervenir les deux composantes d'un spineur (en analogie avec celui que nous nous déterminé plus haut) :

equation   (43.77)

Nous écrirons alors cette équation que nous cherchons comme :

equation   (43.78)

D est une matrice equation faisant intervenir des dérivées du premier ordre (un opérateur différentiel de premier ordre).

Pour donner un exemple avant d'aller plus loin, regardons comment l'équation de Klein-Gordon peut s'exprimer sous une telle forme.

Nous avons donc (équation de Klein-Gordon libre) :

equation   (43.79)

ou (équation de Klein-Gordon généralisée) :

equation   (43.80)

Ce qui s'écrit aussi pour l'équation de Klein-Gordon libre :

equation   (43.81)

ou pour l'équation de Klein-Gordon généralisée :

equation   (43.82)

Restreignons-nous maintenant au cas de l'équation de Klein-Gordon libre (le raisonnement étant similaire pour la version généralisée).

La dernière expression de l'équation de Klein-Gordon libre suggère d'introduire les deux combinaisons :

equation   (43.83)

d'où résulte :

equation   (43.84)

Dès lors :

equation

peut s'écrire de deux façons :

equation   (43.85)

Soit, sous forme matricielle :

equation   (43.86)

ou encore :

equation   (43.87)

Ce que nous pouvons écrire:

equation   (43.88)

Donc par rapport à notre idée initiale d'avoir une relation sous la forme:

equation   (43.89)

nous pouvons faire la similitude avec l'équation antéprécédente:

equation et equation   (43.90)

D est bien un matrice equation.

Mais nous, nous recherchons toujours (en faisant le parallèle avec les équations de Maxwell) un système d'équation avec des différentielles du premier ordre. Dans l'objectif de chercher une forme plus générale incluant sous forme naturelle le spin, nous allons poser en analogie avec le résultat ci-dessus :

equation   (43.91)

A est un scalaire, equation un vecteur et equation un matrice symétrique equation (en lisant la suite vous verrez que poser cela permet de trouver ce que nous cherchons...).

Rappelons que la multiplication entre equation et equation constitue un produit scalaire tel que celui défini dans notre étude du chapitre de Calcul Spinoriel.

Remarque: Il faut être très prudent dans les développements qui vont suivre car les notations traditionnelles dans le domaine rendent très difficiles les distinctions entre produit, produit scalaire, et produit de composantes de vecteurs formant un vecteur.

Posons (au fait nos prédécesseurs ont fait de nombreux essais avant de poser cela...):

equation   (43.92)

Ainsi, equation, equation et equation reste (imaginons...) inconnu. Il nous faut également déterminer equation.

Toujours par analogie avec l'exemple fait plus haut, tentons de retrouver l'équation d'onde pour déterminer la constante equation :

equation   (43.93)

Pour que nous retrouvions l'équation d'onde il faut que :

1. equation

Effectivement:

equation   (43.94)

2. equation :

equation   (43.95)

Il y a donc deux possibilités qui peuvent s'appliquer à des champs différents que nous noterons equation. Nous avons donc une sorte de double spineur tel que :

equation   (43.96)

Ces équations sont appelées "équations de Weyl".

Il nous faut maintenant généraliser les équations de Weyl au cas d'un fermion de spin demi-entier avec masse. Cette nouvelle équation doit respecter les contraintes suivantes :

C1. Elle doit se réduire aux équations de Weyl quand la masse tend vers zéro

C2. Elle doit mener à l'équation de Klein-Gordon libre

C3. Elle doit décrire des particules possédant un spin

La solution consiste alors à coupler les deux équations de Weyl par un terme proportionnel à la masse :

equation   (43.97)

Pour vérifier que les facteurs ont été correctement choisis, nous appliquons equation sur la première équation et nous y substituons la deuxième. Nous trouvons :

equation   (43.98)

ou encore :

equation   (43.99)

à comparer avec :

equation   (43.100)

Ce qui est bel et bien l'équation de Klein-Gordon libre (nous démontrons la même correspondance pour la composante equation) et renforce donc la validité des hypothèses et développements faits jusqu'à maintenant.

Il est usuel de rassembler les deux spineurs dans un seul spineur (cela devient alors un "bi-spineur") de quatre composantes (un spineur à quatre composantes dont deux sont en fait associées aux particules et deux antiparticules comme nous allons le verrons) :

equation   (43.101)

et de définir les deux matrices equation suivantes (sous une forme dite "forme chirale") :

equation   (43.102)

equation est la matrice unité equation traditionnelle définie par :

equation   (43.103)

et:

equation   (43.104)

où les equation sont les "matrices de Pauli" données par (cf. chapitre de Calcul Spinoriel) :

equation   (43.105)

qui doivent satisfaire rappelons-le (démontré plus haut):

equation   (43.106)

Les matrices de Pauli sont donc de bonnes candidates pour résoudre notre problème!

Remarques:

R1. Comme nous l'avons vu dans le chapitre de Calcul Spinoriel (section d'Algèbre), equationn'est pas vraiment une matrice de Pauli en soi. Cependant, dans certains ouvrages elle est indiquée comme en étant une (c'est aussi notre choix ici).

R2. Comme nous l'avons également vu dans le chapitre de Calcul Spinoriel, rappelons que les matrices de Pauli représentent implicitement des rotations spatiales infinitésimales d'un spineur.

Ceci nous permet, enfin, de combiner les équations :

equation   (43.107)

en une seule (ne pas oublier l'association des opérateursequation) :

equation   (43.108)

en utilisant la notation d'usage en calcul tensoriel et en choisissant les unités naturelles equation nous avons :

equation   (43.109)

ce qui constitue la forme habituelle de "l'équation de Dirac" ou "équation relativiste de l'électron" avec la "dérivée covariante":

equation   (43.110)

Remarque: En physique des particules élémentaires, la relation antéprécédente est appelée "équation relativiste covariante des fermions" car elle décrit les particules de spin 1/2.

Les matrices equation sont appelées "matrices de Dirac". Sous forme encore plus condensée (en utilisant le "slash de Feynam") l'équation de Dirac s'écrit parfois :

equation   (43.111)

Nous avons ainsi, comme en analogie avec les équations de Maxwell, des équations différentielles du premier ordre qui ont comme propriété :

P1. De permettre de retomber sur l'équation de Klein-Gordon, in extenso sur l'équation d'onde (comme pour les équations de Maxwell)

P2. De prendre en compte (décrire) explicitement le caractère spinoriel des fonctions d'onde comme nous allons le voir en nous penchant de plus près sur les matrices de Pauli.

Remarque: Comme l'équation de Dirac s'applique aux particules de spin 1/2 elle s'applique aussi aux neutrinos dont la masse au repos est nulle (donc la résolution de l'équation de Dirac se simplifie largement).

Dans le but maintenant d'interpréter le contenu physique de l'équation de Dirac, nous allons utiliser une représentation différente des matrices de Pauli. Nous avons vu que la représentation :

equation   (43.112)

était dite "représentation Chirale" alors que nous allons utiliser maintenant la "représentation de Dirac" définie par :

equation   (43.113)

Nous vérifions facilement (algèbre linéaire élémentaire) que cette représentation s'obtient par la transformation (n'hésitez pas à nous demander les détails si vous n'y arrivez pas):

equationequation   (43.114)

Rappelons que equation est la matrice adjointe (la conjuguée de la matrice transposée) de U. Or, lorsque tous les éléments sont des réels comme c'est le cas ci-dessus et que la matrice est carré alors (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) nous savons que equation.

Démonstration:

equation   (43.115)

et:

equation   (43.116)

Cherchons maintenant les solutions particulières à l'équation de Dirac sous la forme :

equation   (43.117)

En substituant dans l'équation de Dirac et après simplification par equation nous trouvons facilement:

equation   (43.118)

Effectivement en unités naturelles:

equation   (43.119)

Avec la représentation de Dirac nous obtenons après développement (calcul trivial) :

equation   (43.120)

Effectivement:

equation   (43.121)

Pour que cette équation matricielle ait des solutions non nulles, il faut comme d'habitude que le déterminant de la matrice soit nul (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire). Nous vérifions facilement que :

equation   (43.122)

Ce qui implique (ne pas oublier que nous sommes en unités naturelles!):

equation   (43.123)

Avec la représentation de Chirale nous aurions obtenus:

equation   (43.124)

et nous ne serions pas tombés sur une condition aussi esthétique et physique pour qu'il y ait des solutions!

La masse étant toujours positive, l'équation de Dirac comporte donc quatre solutions linéairement indépendantes, dont deux avec une énergie positive equation et deux avec une énergie négative equation.

Il s'agit donc bien des antiparticules que nous avions déterminées lors de notre étude de l'équation de Klein-Gordon libre mais avec le spin en plus d'où le doublage des solutions supplémentaires (deux orientations du spin possibles par particule et par antiparticule). Avec la représentation Chirale nous ne serions pas retombés sur ce résultat. D'où la nécessité de l'utilisation de la représentation de Dirac des matrices de Pauli.

Nous savons donc qu'il existe des solutions à l'équation de Dirac. Déterminons maintenant celles-ci. Posons :

equation   (43.125)

equation sont les deux doubles composantes du spineur. Nous écrivons ainsi le système d'équations :

equation   (43.126)

ce qui nous donne:

equation et equation   (43.127)

Ainsi, nous avons :

equation   (43.128)

Nous savons qu'il existe des solutions et la physique quantique nous impose que ses solutions soient linéairement indépendantes. Ainsi, choisissons les solutions pour equation comme étant proportionnelles à :

equation ou equation   (43.129)

et comme (cf. chapitre de Calcul Spinoriel):

equation   (43.130)

nous avons alors les possibilités suivantes :

equation   (43.131)

La question est maintenant... devons-nous utiliser equation ou equation ? Eh bien, pour (1) et (2) nous devons utiliser equation sinon equation devient une singularité pour equation. Pour (3) et (4) nous devons utiliser equation sinon equation devient une singularité pour equation.

Remarque: Le terme equation est souvent appelé "solution particule" dans la littérature et le terme equation "solution antiparticule".

En reprenant

equation   (43.132)

et en notant les spineurs (nous changeons de notation) :

equation   (43.133)

Nous avons finalement en utilisant (1) et (2) et en notant N( ) la partie de solution que nous devrions normaliser les solutions suivantes possible et qui sont indépendantes:

equation   (43.134)

avec equation ainsi que :

equation   (43.135)

avecequation.

Ce qui peut s'abréger :

equation   (43.136)


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