Cours de physique quantique relativiste
PHYSIQUE QUANTIQUE RELATIVISTE
1. Equation d'évolution relativiste de Schrödinger
1.1. Equation libre de Klein-Gordon
1.1.1. Anti-matière
2. Équation de Klein-Gordon généralisée
3. Équation de Dirac libre classique
4. Équation de Dirac libre linéarisée
5. Équation de Dirac généralisée
Le lecteur attentif aura noté que la mécanique quantique (physique quantique ondulatoire) est une théorie non relativiste : elle n'incorpore pas les principes de la relativité restreinte d'Einstein (cf. chapitre de Relativité Restreinte). Nous allons donc nous efforcer à combler ce manque.
ÉQUATION D'ÉVOLUTION RELATIVISTE DE SCHRÖDINGER
La physique des particules ne peut être correctement et totalement décrite dans le cadre de la mécanique quantique. Comme les énergies sont généralement supérieures aux masses des particules, il est nécessaire, en plus, de travailler dans le contexte de la théorie de la relativité restreinte. Voyons comment inclure celle-ci par une première approche basique.
L'énergie-impulsion d'une particule libre de masse m, satisfait comme nous l'avons vu dans le chapitre de Relativité Restreinte à l'équation:
(43.1)
Nous cherchons à quantifier cette équation. Pour cela, nous allons revenir à des relations que nous avons démontrées lors de l'étude des opérateurs linéaires fonctionnels et de l'équation évolutive de Schrödinger.
Rappelons que la quantité de mouvement est décrite par la relation (utilisant l'opérateur de divergence) :
(43.2)
et l'énergie totale par:
(43.3)
Ces deux relations ayant été démontrées dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire!
Les substitutions
des deux relations précédentes appliquées à la relation 
et
multipliée par l'équation d'onde (cf.
chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) des deux
côtés
de l'égalité conduisent
au développement :
(43.4)
En utilisant le d'alembertien (cf. chapitre d'Électrodynamique), nous pouvons écrire cette dernière relation sous la forme condensée finale suivante appelée "équation d'évolution relativiste de Schrödinger" ou plus fréquemment "équation de Klein-Gordon libre" (en l'absence de champ magnétique!) :
(43.5) L'équation de Klein-Gordon libre est aussi souvent donnée sous la forme suivante (plus esthétique) :
(43.6)
Il est important de remarquer que l'équation de Klein-Gordon fait intervenir des scalaires et caractérise donc des particules de spin zéro.
R1. Nous pouvons vérifier que les ondes planes de la forme:
(43.7)
sont des solutions de l'équation de Klein-Gordon libre (nous y reviendrons plus en détail dans le chapitre de Physique Des Particules Élémentaires).
R2. Nous reviendrons lors de notre étude de l'équation de Dirac et du spin des fermions sur l'équation de Klein-Gordon libre (afin de la généraliser).
ANTI-MATIÈRE
Lors de la démonstration de l'équation de Klein-Gordon libre, nous avons laissé exprès de côté un cas très intéressant du développement que nous avons effectué.
Peut-être ne l'avez
vous pas remarqué, mais l'équation 
peut
prendre deux valeurs pour une impulsion donnée:
(43.8)
l'une positive
et l'autre négative. La valeur de l'énergie, pourrait donc
prendre toutes les valeurs de 
Jusqu'ici, nous avions implicitement admis en mécanique classique que les solutions négatives n'étaient pas physiques et devaient donc simplement êtres écartées. Cela ne peut se faire en théorie des champs quantifiés sans conduire à des incohérences graves. Plutôt que d'ignorer ces solutions d'énergie négative, il convient de leur trouver une interprétation physique.
Nous observons d'abord, que toutes les énergies négatives sont autorisées par la relation précédente (aussi bien que pour l'énergie positive). Nous disons que les états d'énergie négative sont tous occupés mais non observables; les électrons sont dits "électrons virtuels".
Imaginons un paquet d'onde constitué par une superposition d'ondes planes sur un intervalle étroit en impulsion. Ce paquet se déplace dans l'espace. Dans le cas unidimensionnel, il se propage à la vitesse:
(43.9)
Démonstration:
En nous nous basons toujours sur l'hypothèse que le champ de potentiel est nul, nous avons donc:
(43.10)
et:
(43.11)
donc démonstration effectuée que:
(43.12)
Considérons
d'abord une particule d'énergie positive 
.
Sa position en fonction du temps est donné par:
(43.13)
Une particule
d'énergie négative 
se
déplace selon:
(43.14)
En d'autres termes,
et ce sera notre première conclusion, nous pouvons dire qu'une
particule d'énergie négative 
est équivalente à une
particule d'énergie positive 
se
déplaçant à l'envers dans le temps et ceci est ce que nous
nommons une "antiparticule".
Il nous reste maintenant à voir quelle est l'interprétation d'une particule se déplaçant à l'envers dans le temps :
Pour simplifier,
nous considérons une particule non relativiste de charge électrique
(-q) plongée dans un champ électrique 
et
magnétique 
statiques.
Elle satisfait à l'équation du mouvement:
(43.15)
Nous avons étudié dans
le chapitre d'Électrodynamique que les champs 
et 
pouvaient être
construits à partir du quadripotentiel 
.
Donc nous pouvons récrire l'équation précédente à partir
des deux relations déterminées en électromagnétisme:
et 
(43.16)
Cependant, il est toujours possible d'imposer la jauge suivante (nous laissons le soin au lecteur de faire la vérification en utilisant exactement la même méthodologie que celle utilisée en dans le chapitre d'Électrodynamique):
(43.17)
L'équation du mouvement devient:
(43.18)
ou encore:
(43.19)
Comparant les deux dernières équations nous arrivons à notre seconde conclusion: une particule de charge q se déplaçant à l'envers dans le temps obéit aux mêmes équations du mouvement qu'une particule de charge opposée -q se déplaçant vers l'avant dans le temps. L'interprétation physique de la deuxième particule est évidente.
La physique quantique relativiste implique donc l'existence d'antiparticules, qui sont effectivement observées.
Tout cela pour en arriver où exactement?
- Premièrement, la découverte théorique de l'antimatière permet d'avoir une possible explication de l'existence de l'Univers qui violait précédemment le principe de conservation de l'énergie. La théorie que nous venons de voir, prédit donc que l'Univers devrait contenir autant de matière que d'anti-matière. Les scientifiques sont également à la recherche de la présence de cette antimatière.
- Deuxièmement, si
nous considérons dans le vide un photon d'énergie 
,
il est capable de porter un électron virtuel vers un état d'énergie
positive, où il devient réel. Il apparaît alors une lacune,
ou un "trou" dans la région des énergies négatives.
D'après le principe de la conservation de la charge, on voit
apparaître un électron positif, ou positon, particule antimatérielle
symétrique de l'électron.
Ainsi, le
photon se matérialise sous la forme d'une paire 
,
avec:
(43.20)
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