THÉORÈME D'EHRENFEST



PHYSIQUE QUANTIQUE ONDULATOIRE

1. Postulats

1.1. 1er postulat : état quantique

1.2. 2ème postulat : évolution temporelle d'un état quantique

1.3. 3ème postulat : observables et opérateurs

1.4. 4ème postulat : mesure d'une propriété

1.5. 5ème postulat : moyenne d'une propriété

2. Principes d'incertitudes classiques

2.1. Première relation d'incertitude classique

2.2. Deuxième relation d'incertitude classique

2.3. Troisième relation d'incertitude classique

3. Algèbre quantique

3.1. Opérateurs linéaires fonctionnels

3.1.1. Opérateurs adjoints et hermitiques

3.1.2. Commutateurs et anti-commutateurs

3.1.3. Principes d'incertitudes de Heisenberg

3.2. Représentatives

3.3. Valeurs et fonctions propres

3.3.1. Orthogonalité des fonctions propres

4. Formalisme de Dirac

4.1. Kets et Bras

5. Modèle de Schrödinger

5.1. Onde associée de De Broglie

5.2. Onde thermique associée de De Broglie

5.3. Équation classique de Schrödinger

5.3.1. Hamiltonien de Schrödinger

5.3.2. Condition de normalisation de de Broglie

5.3.3. Etats liés et non liés

5.4. Equation d'évolution classique de Schrödinger

5.4.1. Opérateur d'évolution

5.4.2. Séparation des variables

5.4.3. Combinaison linéaires des états

5.4.4. Equation de continuité

6. Implications et Applications

6.1. Particule libre

6.2. Puits de potentiel à parois rectilignes

6.2.1. 1ère approche

6.2.2. 2ème approche

6.3. Oscillateur harmonique

6.4. Effet tunnel

6.5. Principe de superposition

7. Théorème d'Ehrenfest

8. Moment cinétique et spin

8.1. Couplage spin-orbite

9. Dimensions de Planck

10. Interprétation de Copenhague

Ce théorème permet de connecter la mécanique classique de Newton à la physique quantique en établissant des relations similaires en ce qui concerne la quantité de mouvement et la force.

Pour cela, nous partons  l'exemple particulier d'une particule massive se déplaçant à une vitesse non relativiste dans un potentiel. Nous avons alors l'équation de Schrödinger d'évolution à une dimension:

equation   (42.533)

d'où nous tirons (utile pour plus loin):

equation   (42.534)

Si nous prenons en toute généralité le conjugué complexe des deux côtés de l'égalité:

equation   (42.535)

d'où nous tirons (utile aussi pour plus loin):

equation   (42.536)

Prenons la variation temporelle de la position moyenne de la particule (5ème postulat):

equation   (42.537)

Nous avons:

equation   (42.538)

d'où:

equation   (42.539)

Utilisons cette dernière relation:

equation   (42.540)

Utilisons maintenant la relation:

equation   (42.541)

et injectons la dans la relation antéprécédente:

equation   (42.542)

Le premier terme à droite de l'égalité est facile à intégrer... (puisqu'il n'y pas besoin de l'intégrer):

equation   (42.543)

et comme la fonction d'onde doit valoir 0 à equation (sinon l'énergie est infinie) alors cette dernière relation est nulle. Il nous reste alors:

equation   (42.544)

Soit:

equation   (42.545)

et finalement:

equation   (42.546)

ce qui est l'équivalent en mécanique classique de:

equation   (42.547)

et qui reconfirme l'existence de l'être mathématique:

equation   (42.548)

comme étant l'opérateur de quantité de mouvement et que nous avions détermine plus haut en retrouvant la deuxième loi de Newton. Pour cela, prenons la dérivée de

Mais nous pouvons faire un peu mieux au niveau de l'analogie classique/quantique en dérivant:

equation   (42.549)

Ce qui donne:

equation   (42.550)

d'où:

equation   (42.551)

En utilisant:

equation   (42.552)

Il vient:

equation   (42.553)

Concentrons-nous sur:

equation   (42.554)

Intégrons par partie le premier terme la première intégrale deux fois selon la relation démontrée dans le chapitre de Calcul Différentiel et Intégral:

equation   (42.555)

Nous avons alors:

equation   (42.556)

et encore une fois:

equation   (42.557)

Donc finalement:

equation   (42.558)

Il nous reste alors:

equation   (42.559)

Or, nous avons démontrée dans le chapitre de Mécanique Classique que:

equation   (42.560)

Il vient donc que:

equation   (42.561)

Ce résultat extraordinairement simple constitue le "théorème d'Ehrenfest". Nous retrouvons donc la loi fondamentale de la dynamique classique au sens des valeurs moyennes de position et de la force, calculées à l'aide de la probabilité de présence!


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