PRINCIPES D'INCERTITUDES CLASSIQUES



PHYSIQUE QUANTIQUE ONDULATOIRE

1. Postulats

1.1. 1er postulat : état quantique

1.2. 2ème postulat : évolution temporelle d'un état quantique

1.3. 3ème postulat : observables et opérateurs

1.4. 4ème postulat : mesure d'une propriété

1.5. 5ème postulat : moyenne d'une propriété

2. Principes d'incertitudes classiques

2.1. Première relation d'incertitude classique

2.2. Deuxième relation d'incertitude classique

2.3. Troisième relation d'incertitude classique

3. Algèbre quantique

3.1. Opérateurs linéaires fonctionnels

3.1.1. Opérateurs adjoints et hermitiques

3.1.2. Commutateurs et anti-commutateurs

3.1.3. Principes d'incertitudes de Heisenberg

3.2. Représentatives

3.3. Valeurs et fonctions propres

3.3.1. Orthogonalité des fonctions propres

4. Formalisme de Dirac

4.1. Kets et Bras

5. Modèle de Schrödinger

5.1. Onde associée de De Broglie

5.2. Onde thermique associée de De Broglie

5.3. Équation classique de Schrödinger

5.3.1. Hamiltonien de Schrödinger

5.3.2. Condition de normalisation de de Broglie

5.3.3. Etats liés et non liés

5.4. Equation d'évolution classique de Schrödinger

5.4.1. Opérateur d'évolution

5.4.2. Séparation des variables

5.4.3. Combinaison linéaires des états

5.4.4. Equation de continuité

6. Implications et Applications

6.1. Particule libre

6.2. Puits de potentiel à parois rectilignes

6.2.1. 1ère approche

6.2.2. 2ème approche

6.3. Oscillateur harmonique

6.4. Effet tunnel

6.5. Principe de superposition

7. Théorème d'Ehrenfest

8. Moment cinétique et spin

8.1. Couplage spin-orbite

9. Dimensions de Planck

10. Interprétation de Copenhague

Avant de s'attaquer directement à la physique quantique et à ses outils mathématiques (et pseudo-démonstrations des cinq postulats), nous devons d'abord introduire un exemple classique simple dans lequel apparait un type particulier de phénomènes : la présence intrinsèque de l'incertitude dans toute mesure.

Cette étude sous forme classique et pas très rigoureuse, nous aidera à mieux appréhender l'incertitude quantique (nous l'espérons) que nous étudierons et déterminerons plus tard et qui elle n'est pas d'origine expérimentale!

Imaginons que nous souhaitions mesurer au moyen d'un microscope l'abscisse x d'une particule et les composantes de sa quantité de mouvement p. Pour cela, un faisceau de lumière monochromatique (pour simplifier) parallèle à equation éclaire la particule, il faut qu'au moins un photon choque la particule et parvienne à l'oeil de l'observateur, pour que la mesure de x soit possible :

equation
  (42.21)

Une fois x mesuré, nous pouvons imaginer n'importe quel procédé pour mesurer la quantité de mouvement. 

Soit equation l'angle que fait la direction du photon après le choc, avec equation. Supposons pour alléger les calculs que la particule ait une masse assez élevée pour que nous puissions négliger le changement d'énergie du photon. Nous voyons qu'après le choc, les composantes de la quantité de mouvement du photon selon equation et equation sont

equation   (42.22)

Effectivement, rappelons que les relations entre les ondes électromagnétiques, l'équivalence masse-énergie et la quantité de mouvement (cf. chapitre de Relativité Restreinte) sont les suivantes :

equation   (42.23)

Il s'ensuit que la particule peut voir sa quantité de mouvement altérée. Les composantes de sa variation sont (ne pas oublier qu'initialement elle était nulle en z):

equation   (42.24)

entre sa quantité de mouvement initiale et finale.

La seule information que nous possédons sur l'angle equation, c'est que ce dernier est strictement, en module, égal à l'angle d'ouverture u de l'objectif du microscope (restriction technique).

Donc cela implique que :

equation   (42.25)

PREMIÈRE RELATION D'INCERTITUDE CLASSIQUE

Quand nous aurons mesuré la quantité de mouvement p à la fin de l'expérience, il faudra effectuer les corrections :

equation   (42.26)

de la quantité de mouvement du photon pour savoir la vraie valeur de p de la particule juste avant le début de la mesure. 

Dans ces corrections, il y a une partie inconnue qui correspond à des erreurs de mesure sur equation et equation. Il est possible d'établir avec encore quelques petites finesses... que l'erreur maximale de equationet equation sur la quantité de mouvement initiale est donnée trivialement par la composante x de la "première relation d'incertitude classique":

 equation   (42.27)

puisque nous avons equation.

Puisque nous avons la relation trigonométrique remarquable suivante (cf. chapitre de Trigonométrie) :

equation   (42.28)

et que equation, nous obtenons dès lors aussi la première relation d'incertitude pour la composante z :

 equation   (42.29)

Rappelons maintenant que (cf. chapitre d'Optique Ondulatoire) pour une fente rectangulaire nous avons en posant equation :

equation   (42.30)

equation (en optique ondulatoire) est l'angle permettant de distinguer clairement deux minimas de diffraction (et donc clairement un objet émettant un rayonnement identique entre deux points). Inversement, du point de vue de la diffraction, l'ouverture e est donc donnée par :

equation   (42.31)

La valeur de e peut aussi être vue comme le champ de vision (projection orthogonale de la fente sur l'axe X) de largeur equationde la particule. Dès lors :

equation   (42.32)

Au même titre que l'erreur maximale est donnée par la condition equation, nous pouvons aussi écrire  equation, cela nous amène à écrire que :

equation   (42.33)

DEUXIÈME RELATION D'INCERTITUDE CLASSIQUE

Si nous multiplions: 

equation et equation    (42.34)

nous obtenons la "deuxième relation  d'incertitude classique" également appelée "l'incertitude spatiale classique" :

equation   (42.35)

qui représente donc l'erreur maximale expérimentale d'un microscope à faible ouverture rectangulaire (que de conditions!). 

Remarque: Le lecteur vérifiera sans peine que cette relation appliquée pour un objet macroscopique (de l'ordre du centimètre) dont la position serait mesurable avec une précision de l'ordre du micromètre donne une incertitude ridiculement faible sur la quantité de mouvement et donc la vitesse. Par contre, la même relation appliquée pour la masse d'une particule telle que l'électron avec une précision de mesure de la position supposée du dixième de nanomètre donnera une incertitude sur la vitesse de l'ordre 1'000 [m/s]...!!

Ainsi, si nous essayons de situer une particule avec une précision de plus en plus grande, sa quantité de mouvement atteint des valeurs extrêmes. À un certain point, la quantité de mouvement peut être si grande que l'énergie correspondante est suffisante pour produire une paire de particule-antiparticule. En d'autres termes, si nous essayons de confiner une particule dans une boîte de plus en plus petite, d'une part, nous connaissons de moins en moins sa quantité de mouvement et par le fait, nous ne savons même pas combien de particules il y a dans la boîte!

Cependant (!), nous verrons lors de l'étude des commutateurs appliqués à la théorie de la physique quantique, que la vraie relation d'incertitude (dont la valeur diffère de celle ci-dessus) apparaît tout naturellement uniquement à partir de propriétés mathématiques et de la définition de la quantité de mouvement.

Plus généralement, pour une particule dans un volume à dimensions (x, y, z), un état classique est caractérisé par les 6 quantités equation dans l'espace de phase (espace de phases qui est donc de dimension 6) et l'état quantique occupe le "cube" de volume:

equation   (42.36)

Examinons le produit de :

equation avec equation   (42.37)

tel que:

equation   (42.38)

et supposons que u soit petit et intéressons nous au rapport equation quand u tend vers zéro...

Nous avons dès lors:

equation   (42.39)

ce qui nous donne finalement (en première approximation) : 

equation   (42.40)

Nous voyons qu'il est possible de jouer sur la variable u pour l'indétermination en z mais cela devient par contre impossible lorsqu'il s'agit de l'indétermination en x.

TROISIÈME RELATION D'INCERTITUDE CLASSIQUE

En relativité restreinte, nous avons vu que x, y, z, ct constituent les composantes d'un quadrivecteur d'espace-temps ainsi que equationcelles d'un vecteur d'énergie-impulsion. 

Il est donc naturel de compléter les trois relations spatiales equation par extension :

equation   (42.41)

Nous obtenons ainsi la "quatrième relation d'incertitude classique" appelée également "incertitude temporelle classique" :

equation   (42.42)

Cependant (!), nous verrons lors de l'étude des commutateurs appliqués à la théorie de la physique quantique, que cette relation d'incertitude (dont la valeur diffère de celle ci-dessus) apparaît aussi tout naturellement uniquement à partir de propriétés mathématiques et de la définition de la quantité de mouvement.

Remarque: Nous reviendrons plus tard sur les implications de cette incertitude temporelle dont les implications sont à la base de la cosmologie quantique (et de la création de notre Univers) et de la théorie quantique des champs en particulier en ce qui concerne le potentiel de Yukawa (cf. chapitre de Physique Quantique Des Champs).

Les incertitudes classiques établies vont nous permettre de mieux comprendre les incertitudes sous leur forme quantique réelle. Pour cela, parmi d'autres, il va nous falloir faire usage de l'artillerie mathématique nécessaire. Cependant, dans un souci  de clarté, nous avons souhaité présenter la physique quantique ondulatoire de la manière la plus simple et la moins formelle possible. Cette présentation peut porter le lecteur à de nombreux contre-sens et il doit donc rester prudent tant qu'il n'en a pas vu la démonstration rigoureuse!


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