PRINCIPE DE SUPERPOSITION



PHYSIQUE QUANTIQUE ONDULATOIRE

1. Postulats

1.1. 1er postulat : état quantique

1.2. 2ème postulat : évolution temporelle d'un état quantique

1.3. 3ème postulat : observables et opérateurs

1.4. 4ème postulat : mesure d'une propriété

1.5. 5ème postulat : moyenne d'une propriété

2. Principes d'incertitudes classiques

2.1. Première relation d'incertitude classique

2.2. Deuxième relation d'incertitude classique

2.3. Troisième relation d'incertitude classique

3. Algèbre quantique

3.1. Opérateurs linéaires fonctionnels

3.1.1. Opérateurs adjoints et hermitiques

3.1.2. Commutateurs et anti-commutateurs

3.1.3. Principes d'incertitudes de Heisenberg

3.2. Représentatives

3.3. Valeurs et fonctions propres

3.3.1. Orthogonalité des fonctions propres

4. Formalisme de Dirac

4.1. Kets et Bras

5. Modèle de Schrödinger

5.1. Onde associée de De Broglie

5.2. Onde thermique associée de De Broglie

5.3. Équation classique de Schrödinger

5.3.1. Hamiltonien de Schrödinger

5.3.2. Condition de normalisation de de Broglie

5.3.3. Etats liés et non liés

5.4. Equation d'évolution classique de Schrödinger

5.4.1. Opérateur d'évolution

5.4.2. Séparation des variables

5.4.3. Combinaison linéaires des états

5.4.4. Equation de continuité

6. Implications et Applications

6.1. Particule libre

6.2. Puits de potentiel à parois rectilignes

6.2.1. 1ère approche

6.2.2. 2ème approche

6.3. Oscillateur harmonique

6.4. Effet tunnel

6.5. Principe de superposition

7. Théorème d'Ehrenfest

8. Moment cinétique et spin

8.1. Couplage spin-orbite

9. Dimensions de Planck

10. Interprétation de Copenhague

La notion d'état dynamique d'un système classique joue un rôle capital dans la dynamique analytique classique.

Est-il possible de retrouver cette notion lorsque nous avons affaire à un système quantique, c'est-à-dire un système tel qu'un atome, un noyau ou une molécule, bref un système de la microphysique?

A première vue non, car nous savons que l'on définit l'état dynamique d'un système classique par la donnée des coordonnées généralisées equation et des moments conjugués equation à un instant donné (cf. chapitre de Mécanique Analytique). Or, le principe d'incertitude s'oppose à cette procédure dès que nous sommes dans le domaine de la microphysique, vu l'impossibilité de mesurer avec précision les equation et equation. Cela est particulièrement clair lorsque le système se réduit à une seule particule que nous décrivons par ses coordonnées cartésiennes equationequation et les composantes de sa quantité de mouvement equationequation.

Fort heureusement, il existe une autre définition de l'état dynamique d'un système qui s'applique indifféremment aux systèmes classiques et quantiques et qui, dans le cas des premiers, s'identifie avec la définition habituelle. Nous allons donner cette définition en nous appuyant sur une brève théorie des ensembles de systèmes identiques.

Si nous avons un ensemble (E) d'un très grand nombre de systèmes identiques, nous ferons une enquête statistique pour caractériser cet ensemble de la façon suivante : nous prenons un système de l'ensemble, nous mesurons une variable dynamique (coordonnée, composante de quantité de mouvement, énergie cinétique, etc.) et nous rejettons le système (qui perturbé par le mesure, ne doit pas être réincorporé à l'ensemble). Nous dressons ainsi un bilan qui se traduit par des fonctions de distribution de toutes les variables dynamiques possibles. Cela permet de définir sans ambiguïté la notion d'identité :

Définition: Deux ensembles sont identiques, si les bilans des résultats de mesure sont les mêmes pour les deux.

Considérons maintenant un ensemble unique (E). Est-il possible de le réaliser par juxtaposition de deux ensembles non identiquesequation et equation? Ce qui permettrait d'écrire:

equation   (42.501)

Si oui, nous dirons que (E) est un mélange. Inversement, au moyen d'un tri convenable, un mélange peut être décomposé en deux sous-ensembles différents. Si non, nous dirons que (E) est un ensemble pur. Tout tri décomposera l'ensemble pur en deux sous-ensembles identiques entre eux et nécessairement avec (E) ! Nous convenons alors de dire que tous les systèmes d'un ensemble pur sont dans le même état dynamique et que deux ensembles purs différents donnent lieu à des états dynamiques différents. Il va de soi que les systèmes constituant un mélange seront eux dans des états dynamiques différents.

Supposons maintenant que les systèmes étudiés obéissent aux lois de la mécanique classique. Si les systèmes d'un ensemble présentent des jeux equation différents, nous les trions en groupant par systèmes ayant tous un même jeu equation. Nous vérifions bien que la nouvelle définition de l'état dynamique coïncide avec la définition habituelle. Notons ce fait évident, mais important (par opposition avec les systèmes quantiques) : dans un ensemble pur de systèmes classiques, c'est-à-dire pour un état dynamique donné, toute variable dynamique est bien déterminée. En effet, en mécanique analytique classique, une telle variable est une fonction des equation et equation et, de ce fait, présente une valeur unique.

Passons aux systèmes quantiques. Il est maintenant possible de définir pour ceux-ci un état dynamique, mais tout de suite nous voyons une distinction fondamentale avec la mécanique classique. En effet, dans un ensemble pur de systèmes quantiques, c'est-à-dire pour un état dynamique donné, une variable dynamique n'est pas, en général, bien déterminée. Quand nous la mesurons sur des systèmes extraits de l'ensemble pur, on ne trouve généralement pas comme résultat, une valeur unique, mais une distribution de valeurs.

L'indétermination qui règne sur la valeur d'une variable dynamique dans un état dynamique donné est donc de nature purement quantique et il convient de bien la distinguer de l'indétermination d'origine statistique qui se manifeste dans un mélange, qu'il s'agisse de systèmes classiques ou quantiques.

Le formalisme de la physique quantique ne peut s'édifier que si nous savons décrire mathématiquement les états dynamiques et les variables dynamiques. Nous avons vu que nous ne pouvons attendre de ce formalisme un prédiction précise comme en mécanique classique, mais, simplement les probabilités d'obtenir telle ou telle valeur, lorsque nous mesurons une variable dynamique sur un système dont l'état dynamique est donné.

Toute la théorie que nous avons vu jusqu'ici nous permet de conclure jusqu'ici que les états dynamiques d'un système d'une particule sans spin sont décrits par des fonctions d'onde complexes, non nulles partout.

Si nous appliquons cette condition aux systèmes dynamiques nous avons alors le postulat suivant:

Soient deux états dynamiques différents, décrits par des fonctions d'onde equation et equation, nécessairement non proportionnelles.equationétant des nombres complexes non simultanément nuls, nous construisons la combinaison linéaire:

equation   (42.502)

equation est alors une fonction d'onde décrivant un état dynamique possible du système.

Ce postulat paraît assez naturel du fait de l'aspect ondulatoire que présente la physique des microsystèmes. En effet, dans les phénomènes ondulatoires de la physique classique les équations d'onde sont, le plus souvent, linéaires homogènes et il s'ensuit que l'on peut superposer les ondes. Or, le grand intérêt de ce postulat est qu'il contient en germe l'explication de ce fait capital qu'est l'indétermination quantique (appelée aussi parfois "cohérence quantique").

Voyons-le sur un cas très simple où nous supposons  qu'une variable dynamique A, a une valeur bien définie equation dans l'état dynamique equation, et une valeur bien définie equation dans l'état dynamique equation avec equation. Cela signifie que si nous répétons la mesure de A sur des systèmes tous dans l'état dynamique décrit par equation, nous trouvons chaque fois comme résultat equation, de même pour equationet equation.

Une question vient naturellement à l'esprit : si nous mesurons A sur des systèmes tous dans l'état dynamique equation qu'allons nous obtenir? Une idée naïve serait de croire que A prendra une valeur bien définie intermédiaire entre equation et equation.

Ces deux hypothèses sont fausses et nous le savons bien. Premièrement, A n'est pas bien déterminée en physique quantique (incertitude) et n'est mathématiquement pas nécessairement située entre equation et equation. L'interprétation correcte est la suivante:

Si nous mesurons A sur le système dans l'état dynamique equation, nous trouvons comme résultat de mesure, tantôt equation, avec une probabilité equation, tantôt equation, avec une probabilité equation. Bien entendu, equation et equation devront pouvoir être calculés en fonction de equation et equation.

Remarque: Il ne faut surtout pas confondre l'ensemble pur des systèmes décrits par equation, avec le mélange que nous obtiendrions en juxtaposant deux ensembles purs de systèmes respectivement equation et equation.

Il convient donc de mettre en garde le lecteur contre cette confusion, d'autant que dans la littérature courante utilisant la physique quantique, on dit souvent que la fonction d'onde equation est un mélange de equation et equation. C'est par exemple dans ce sens que nous parlons de "mélange de configurations" pour traduire le fait que la fonction d'onde d'un atome à plusieurs électrons est une combinaison linéaire de fonctions d'onde appartenant à diverses configurations. Cette terminologie ne doit pas cacher le fait que les systèmes décrits par equation constituent un ensemble pur et non un mélange.

En fait, l'interprétation que donne la théorie de De Broglie (associer une fonction d'onde à une particule) aux principes d'incertitudes est l'exemple le plus frappant et le plus connu de la physique quantique au niveau des superpositions d'états (chat de Schrödinger mis à part):

Considérons une onde de De Broglie se propageant dans le sens de l'axe X, mais limitée à un intervalle equation à un instant donné ( equation si nous voulons). Donc à equation l'onde s'écrit, en laissant tomber la constante multiplicative :

equation   (42.503)

Si nous mesurons la coordonnée de la particule, nous devons la trouver là nécessairement où equation n'est pas nulle (sinon nous ne pourrions rien mesurer). Nous pouvons dire que equation avec une incertitude equation (l'intervalle où nous sommes sûrs de trouver la particule par rapport à l'ordonnée à l'origine divisé par deux)

Si nous mesurons p, que trouvons-nous ? Nous ne devons pas trouver equation (relation que nous avons déjà démontrée plus haut), car ceci serait vrai pour une onde plane indéfinie, ce qui n'est pas le cas ici. Alors, nous allons décomposer l'onde en ondes planes au moyen de la transformation de Fourier (cf. chapitre de Suites et Séries) :

equation   (42.504)

Comment interpréter cette relation? Une des ondes planes élémentaires (que nous pouvons aussi interpréter comme un état), equation, dont la somme redonne equation(x), conduit à une valeur equation de la quantité de mouvement. Or, les valeurs de k forment un continuum. Nous sommes conduits à dire que les valeurs possibles de p forment dès lors aussi un continuum et qu'il y a donc une incertitude sur la valeur de p. Pour aller plus loin, il faut évaluer a(k) (qui doit être considéré comme variable de la probabilité de présence de chaque onde plane provenant de la décomposition de equation(x)) au moyen de la relation (selon les propriétés des transformations de Fourier) :

equation   (42.505)

qui donne ici: 

equation   (42.506)

Posons equation, l'intégrale devient alors :

equation   (42.507)

Le graphique de la fonction equation montre que equation prend des valeurs qui peuvent êtres considérées comme négligeables pour equation.

equation
  (42.508)

Il s'ensuit que dans l'intégrale :

equation   (42.509)

ce sont les k voisins de equation qui sont effectifs, et plus précisément les k tels que:

equation   (42.510)

puisque :

 equation   (42.511)

Il s'ensuit que les valeurs à retenir de p sont celles voisines de equation aussi, plus précisément nous avons :

equation   (42.512)

Cette relation montre que les incertitudes equation et equation obéissent à la relation:

equation   (42.513)

De manière similaire, si nous nous proposons de déterminer la coordonnée x d'un électron en le faisant passer à travers une fente de largeur 2b percée dans un écran:

equation
  (42.514)

La précision avec laquelle nous connaissons la position de cet électron est limitée par la taille de la fente, soit equation. D'autre part, la fente perturbe l'onde associée. Il en résulte une modification du mouvement de l'électron qui se traduit par le diagramme de diffraction de l'onde (qui est en fait une représentation de la superposition linéaire de ses états intrinsèques).

L'incertitude sur la composante dynamique equation de la quantité mouvement de l'électron est déterminée par l'angle equation correspondant au maximum central de la figure de diffraction. D'après la théorie de la diffraction (cf. chapitre d'Optique Ondulatoire) produite par une fente rectangulaire, nous avons equation puisque l'intensité equation s'écrit:

equation   (42.515)

Donc equation est compris entre equation et equation, p étant l'impulsion de l'électron incident. Ainsi l'incertitude equation est de:

equation   (42.516)

Ce résultat simple est assez extraordinaire si nous le mettons en relation, en ordre de grandeur, avec le résultat que nous avions obtenu juste plus haut :

equation   (42.517)

Nous pouvons en tirer plusieurs conclusions de la première importance:

1. L'onde associée de De Broglie est étroitement liée au principe d'incertitude et la physique quantique doit tenir compte simultanément de ces deux propriétés.

2. Si nous tenons compte que la répartition de l'intensité est obtenue à partir du comptage des électrons (ou particules en fonction de l'angle et que nous obtenons la même répartition quelle que soit l'intensité du faisceau d'électrons monocinétiques qui arrive sur la fente et ce, même si les électrons sont envoyés un par un. Nous observons alors que le mouvement des particules n'est plus déterministe mais probabiliste. Ainsi, la fonction d'onde equation de l'électron peut être considérée comme une superposition linéaire des états définis chacun comme nous l'avons fait précédemment, par sa décomposition spectrale possible par la transformée de Fourier.

Que pouvons-nous conclure de tout ce que nous avons vu jusqu'ici:

1. Les équations de la physique quantique nous donnent une densité de probabilité de trouver une particule dans un certain volume de l'espace-temps.

2. La superposition linéaire des états peut s'interpréter comme le fait qu'il est possible de trouver une particule en plusieurs points de l'espace-temps à un instant donné, et avec pour chacun de ces points une certaine probabilité de l'y trouver (par décomposition possible de l'équation d'onde).

Si le point (1) a été largement étudié jusqu'à maintenant sur ce site, le point (2) est quant à lui nouveau et découle d'une simple opération mathématique de décomposition ou de superposition.

Mais dès lors, que se passe-t-il si nous cherchons à mesurer l'énergie d'un atome qui se trouve dans une superposition d'états d'énergie? Nous ne détecterons jamais cette superposition, mais seulement l'une des énergies qui la constituent, l'action de mesurer fait disparaître la superposition des états au profit d'un seul - nous parlons alors de "décohérence quantique" (il s'agite de l'interprétation de Copenhague dont nous avons fait mention au tout début de ce chapitre). Mais lequel? La physique quantique ne peut tout bonnement répondre à cette question. Le choix s'effectue au hasard! En revanche, à défaut de prédire l'état précis qui sera mesuré parmi tous ceux qui constituaient la superposition, la théorie quantique peut donner la probabilité qu'on a de mesurer chaque état (ce que l'on a déjà fait maintes fois jusqu'ici). Si l'on effectue de nombreuses mesures, on trouve finalement les proportions prédites par la théorie (même si chaque mesure est imprévisible).

Erwin Schrödinger, avait souligné l'absurdité (selon lui) de ces superpositions en ayant recours à une expérience de pensée devenue célèbre : Imaginez un chat enfermé dans une boîte hermétique. Dans la boîte se trouve aussi un atome radioactif et un dispositif capable de répandre du poison. Quand l'atome radioactif se désintègre, il déclenche le dispositif mortel: le poison se répand dans la boîte et le chat meurt.

Mais la désintégration radioactive est un phénomène quantique: tant que nous ne l'avons pas détecté, l'atome est dans une superposition d'états "désintégré et pas désintégré". Dans la boîte, le système chat-dispositif à poison-atome doit donc lui aussi, se trouver dans une superposition des deux états "atome désintégré-chat mort" et "atome intact-chat vivant". Bref, si nous prenons la physique quantique au pied de la lettre, le chat est à la fois mort et vivant tant que la mesure n'a pas été effectuée.

L'absurdité de cette expérience est manifeste... mais difficile à démontrer, du moins tant que nous n'avons pas compris ce qui distingue un chat d'une particule. Toujours le problème de la frontière quantique-classique...

Il faudra attendre les années 80 pour que la situation progresse enfin, à la fois sur le front de l'expérience et sur celui de la théorie. En 1982, Wojciech Zurek, chercheur au laboratoire national de Los Alamos (Nouveau-Mexique), reprend une idée fort simple mais géniale : dans une mesure, ce qui produit la décohérence, c'est l'interaction  du système avec son environnement. Plus généralement, les objets quantiques ne sont jamais complètement isolés de leur environnement - nous entendons par là tout ce qui interagit avec le système: un appareil, des molécules d'air, des photons lumineux. Si bien qu'en réalité les lois quantiques doivent s'appliquer à l'ensemble constitué de l'objet et de tout ce qui l'entoure. Or, Zurek démontre que les multiples interactions avec l'environnement entraînent une destruction très rapide des de la cohérence quantique des superpositions d'états (appelée également "interférence quantique" puisque mathématiquement l'on traite des fonctions d'onde). En détruisant les interférences, l'environnement supprime les superpositions d'états et le comportement quantique du système, de sorte qu'il ne reste plus que des états simples et qu'on retrouve le comportement classique.

Dans un objet macroscopique - un chat par exemple... - chacun des atomes est environné de nombreux autres atomes qui interagissent avec lui. Toutes ces interactions provoquent spontanément un brouillage des interférences quantiques qui disparaissent très vite. Voilà donc pourquoi la physique quantique ne s'applique pas à notre échelle: les systèmes ne sont jamais isolés!

La vitesse de la décohérence augmente avec la taille du système: un chat qui compte 1027 particules, "décohère" en 10-23 secondes, ce qui explique pourquoi on n'a jamais vu de chats morts-vivants jusqu'à aujourd'hui!

La physique quantique est donc une théorie:

- non-déterministe (probabiliste) d'où le fait qu'elle soit considérée comme une théorie de l'information

- non-locale: les objets quantiques peuvent avoir simultanément plusieurs positions

- non-séparable: plusieurs objets quantiques peuvent êtes superposés au point de ne pouvoir être considérés séparément.

Un autre excellent exemple de la superposition linéaire des états est une application remarquable au principe de moindre action.

Considérons une particule quantique allant d'un point equationà l'instant equation au point equation à l'instant equation. Nous savons que la probabilité de trouver une particule en un point et en un instant donnés est reliée au carré du module de la fonction d'onde qui lui est associée. Plaçons-nous dans le cas le plus simple où la fonction d'onde de la particule est une onde plane equation donnée par la fonction solution de l'équation d'évolution de Schrödinger: 

equation   (42.518)

equation et v sont respectivement la longueur d'onde et la fréquence de l'onde associée à la particule.

La particule peut emprunter une infinité de chemins pour se rendre de equation. Choisissons l'un quelconque de ces chemins que nous appellerons C. Nous pouvons découper le chemin C en un nombre entier de tronçons de durée dt.

equation
  (42.519)

Après le parcours du premier tronçon, la fonction d'onde a la valeur suivante:

equation   (42.520)

D'où nous tirons que:

equation   (42.521)

Or, Planck et De Broglie ont établi (postulés) les relations suivantes comme nous l'avons montré :

equation et equation   (42.522)

d'où, en remplaçant equation et v dans la relation précédente nous obtenons :

equation   (42.523)

En appliquant la même technique pour le tronçon suivant nous obtenons:

equation   (42.524)

Procédant ainsi de tronçon en tronçon, tout le long du chemin C nous obtenons alors la valeur de la fonction d'onde en equation  pour la particule venant de equation en suivant le chemin C:

equation   (42.525)

Maintenant, faisons tendre la durée dt de chaque tronçon de trajectoire vers zéro. La quantité equation tend alors vers la vitesse instantanée de la particule que nous noterons equation. La relation précédente devient alors:

equation   (42.526)

Dans le chapitre de Mécanique Analytique, nous avons montré que la quantité equation est égale au lagrangien. En substituant le lagrangien dans la relation précédente, nous obtenons :

equation   (42.527)

equation est l'action de la particule ayant parcouru le chemin C.

Notons (sans démonstration) que le module de equation prend la même valeur pour:

equation   (42.528)

pour tout n. La constante de Planck trouve alors une signification physique directement liée à l'action de la particule !

Rappelons la condition de normalisation de De Broglie:

equation   (42.529)

qui donne donc la probabilité pour que la particule, partant de equation à l'instant equation, se trouve en equation à l'instant equation en ayant emprunté le chemin C.

La probabilité totale est donc :

equation   (42.530)

pour trouver la particule partie de equation à l'instant equationen equation à l'instant equation nécessite de calculer la somme des contributions de chaque chemin soit (en appliquant le principe de superposition linéaire puisque nous effectuons un somme des fonctions d'onde) :

equation   (42.531)

Cette intégrale fut découverte par Richard Feynman. En première analyse elle semble diverger dans la mesure où il existe une infinité de chemins possibles entre deux points. Regardons de plus près ce qui se passe. Plaçons-nous dans le cas où la trajectoire est macroscopique. La valeur de l'action equation est alors beaucoup plus grande que equation et varie beaucoup d'un chemin à un autre, sauf pour les chemins proches du chemin physique classique pour lesquels la variation est quasiment nulle (application de l'énoncé variationnel du principe de moindre action).

Comme les actions des chemins interviennent comme une phase dans l'intégrale de chemin, leurs contributions sont destructives et donc tendent à s'annuler, sauf dans le cas des chemins proches du chemin physique classique où les contributions s'ajoutent. Il s'ensuit que l'intégrale de chemin prend la valeur de l'action classique, indiquant que la physique quantique permet de retrouver les lois de la mécanique classique à l'échelle macroscopique.

equation
  (42.532)

La situation devient très différente à l'échelle quantique, c'est-à-dire pour des valeurs de l'action dont l'ordre de grandeur est celui de la constante equation. Une infinité de chemins apporte alors des contributions non destructives. Feynman a pu montrer que l'intégrale de chemin convergeait mais d'un autre côté, il n'est plus possible de prédire quel chemin la particule va emprunter au point que la notion même de chemin s'évanouit. Ainsi à l'échelle quantique la particule semble chercher son chemin parmi tous ceux qui sont possibles mais à l'échelle macroscopique, ce tâtonnement quantique semble avoir permis à la particule de trouver le "bon chemin".

Le formalisme de l'intégrale de chemin constitue une façon très originale d'aborder et d'interpréter la physique quantique qui s'est ajouté à ceux qui avaient été développés par Schrödinger.


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