OSCILLATEUR HARMONIQUE



PHYSIQUE QUANTIQUE ONDULATOIRE

1. Postulats

1.1. 1er postulat : état quantique

1.2. 2ème postulat : évolution temporelle d'un état quantique

1.3. 3ème postulat : observables et opérateurs

1.4. 4ème postulat : mesure d'une propriété

1.5. 5ème postulat : moyenne d'une propriété

2. Principes d'incertitudes classiques

2.1. Première relation d'incertitude classique

2.2. Deuxième relation d'incertitude classique

2.3. Troisième relation d'incertitude classique

3. Algèbre quantique

3.1. Opérateurs linéaires fonctionnels

3.1.1. Opérateurs adjoints et hermitiques

3.1.2. Commutateurs et anti-commutateurs

3.1.3. Principes d'incertitudes de Heisenberg

3.2. Représentatives

3.3. Valeurs et fonctions propres

3.3.1. Orthogonalité des fonctions propres

4. Formalisme de Dirac

4.1. Kets et Bras

5. Modèle de Schrödinger

5.1. Onde associée de De Broglie

5.2. Onde thermique associée de De Broglie

5.3. Équation classique de Schrödinger

5.3.1. Hamiltonien de Schrödinger

5.3.2. Condition de normalisation de de Broglie

5.3.3. Etats liés et non liés

5.4. Equation d'évolution classique de Schrödinger

5.4.1. Opérateur d'évolution

5.4.2. Séparation des variables

5.4.3. Combinaison linéaires des états

5.4.4. Equation de continuité

6. Implications et Applications

6.1. Particule libre

6.2. Puits de potentiel à parois rectilignes

6.2.1. 1ère approche

6.2.2. 2ème approche

6.3. Oscillateur harmonique

6.4. Effet tunnel

6.5. Principe de superposition

7. Théorème d'Ehrenfest

8. Moment cinétique et spin

8.1. Couplage spin-orbite

9. Dimensions de Planck

10. Interprétation de Copenhague

L'étude de l'oscillateur harmonique correspondant à celle d'une fonction d'onde coincée dans un puits de potentiel parabolique. Ce qui est assimilable grosso modo aux atomes où les parois du puits de potentiel ne sont naturellement pas rectangulaires et infinies... L'étude qui va suivre est donc ce qui est le plus proche de ce qui est disponible dans la Nature au atomique.

Dans le cas d'une particule libre en déplacement rectiligne, nous avons vue que l'énergie potentielle est nulle equation et l'équation de Schrödinger devient alors:

equation   (42.358)

Cependant pour une particule libre (en l'absence de champ de potentiel) l'énergie totale est donc égale à l'énergie cinétique : 

equation   (42.359)

Mais nous avons :

 equation   (42.360)

Le rapport :

equation   (42.361)

étant la longueur d'onde associée de De Broglie. En introduisant le nombre d'onde equation (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire), nous avons :

 equation    (42.362)

appelée "relation de De Broglie". Finalement :

equation   (42.363)

Dès lors, l'équation de Schrödinger peut s'écrire:

equation   (42.364)

Nous voyons par substitution directe que cette équation différentielle admet pour solutions les fonctions d'onde:

equation et equation   (42.365)

Ces deux différentes solutions représentent le déplacement d'une même particule une fois dans la direction +x et l'autre dans -x. Si equation nous avons :

equation   (42.366)

Le fait que ce résultat soit égal à l'unité, signifie que la probabilité de trouver la particule est la même en tout point. En d'autres termes, equation décrit une situation dans laquelle l'incertitude sur la position est totale. Ce résultat est en accord avec le principe d'incertitude puisque equation décrit une particule dont nous connaissons avec précision la quantité mouvement equation: c'est-à-dire que equation, ce qui implique equation.

En analyse nous avons montré que la solution la plus générale d'une équation différentielle est la somme de ces solutions. Autrement dit dans notre exemple :

equation   (42.367)

avec:

equation   (42.368)

Au fait, nous pouvons remarquer que si equation alors le résultat est le même à la différence que nous aurons :

 equation   (42.369)

Lorsque la particule qui nous intéresse se trouve dans un puits de potentiel décrit par la fonction (parabole): 

equation   (42.370)

nous parlons alors "d'oscillateur harmonique".

Ce système est très important car l'Hamiltonien de l'équation intervient dans tous les problèmes mettant en jeu des oscillations telles que vibrations moléculaires et cristallines (cf. chapitre de Chimie Quantique).

Prenons d'abord comme exemple l'oscillateur harmonique classique qui consiste en un corps assujetti à se déplacer le long d'un axe et soumis à une force de rappel proportionnelle à la distance à un point situé sur cet axe.

L'équation de ce corps est régie par l'équation de la dynamique: 

equation   (42.371)

Nous avons vu en mécanique classique que la solution générale de cette équation est:

equation    (42.372)

avec comme pulsation:

equation   (42.373)

L'énergie totale du système étant l'Hamiltonien classique nous écrivons :

equation   (42.374)

Maintenant revenons à notre cadre quantique. De ce point de vue nous avons pour Hamiltonien (ou énergie totale):

equation   (42.375)

En utilisant ce que nous définissons comme une "écriture réduite", nous écrivons :

equation   (42.376)

où les opérateurs réduits sont :

equation et equation   (42.377)

et où nous avons remplacé la constante par equation identiquement à l'oscillateur harmonique classique (cf. chapitre de Mécanique Classique).

Il est plus ou moins facile d'obtenir la relation de commutation:

equation   (42.378)

Démonstration:

Rappelez-vous de la relation ci-dessous que nous avons vue lors de notre étude des opérateurs linéaires fonctionnels au début de ce chapitre :

equation   (42.379)

Etudions les propriétés des commutateurs avec la quantité de mouvement. Nous avons démontré également plus haut la relation ci-dessous:

equation   (42.380)

En multipliant cette dernière par equation, il vient:

equation   (42.381)

que nous pouvons également écrire:

equation   (42.382)

Si vous vous rappelez de la définition des commutateurs equation, nous avons :

equation   (42.383)

Nous avons donc pour notre oscillateur:

equation et equation   (42.384)

écrivons la définition le commutateur : 

equation   (42.385)

Donc:

equation   (42.386)

c'est ce qu'il fallait démontrer...

Nous avons maintenant intérêt pour résoudre l'équation différentielle d'utiliser les opérateurs non hermitiques equation définis (c'est une définition donc ne cherchez pas trop loin):

equation   (42.387)

Ce qui nous définit donc les opérateurs (en posant temporairement equation) :

equation   (42.388)

Nous retrouvons ces deux opérateurs très fréquemment en mécanique quantique et les physiciens parlent alors de "l'opérateur de destruction" equation et de "l'opérateur de création" a.

Compte tenu de la relation de commutation, nous vérifions :

equation et equation   (42.389)

Démonstration:

equation   (42.390)

et :

equation   (42.391)

et d'autre part:

equation   (42.392)

Démonstration:

equation   (42.393)

et donc en divisant pas 2 des deux côtés de l'égalité nous avons : 

equation   (42.394)

Revenons à la relation:

equation   (42.395)

Utilisons :

equation   (42.396)

Donc:

equation   (42.397)

Nous faisons maintenant l'hypothèse que equation est une fonction propre de N associée à la valeur propre n, telle que :

equation  (42.398)

Cette hypothèse est très importante car nous allons nous en servir comme principe d'induction pour trouver toutes les fonctions propres à partir de la fondamentale!

Etablissons maintenant des relations de commutation entre N et les opérateurs a ou equation. Pour cela multiplions d'abord equation le tout par  equation, nous obtenons:

equation   (42.399)

De même en multipliant equation par a, nous obtenons:

equation   (42.400)

Puisque selon notre hypothèse equation et n sont respectivement fonction et valeur propre de N, nous pouvons écrire:

equation   (42.401)

Or, nous avons :

equation   (42.402)

qui multipliée à droite par la fonction d'onde donne la relation :

equation   (42.403)

Cette équation entraîne les conséquences suivantes:

- Ou bien equation tel que equation

- Ou bien equation est fonction propre de N pour la valeur propre n-1 !!

Le même raisonnement établirait que equation est fonction propre de N pour la valeur propre n+1, si elle n'est pas nulle (nous verrons plus loin que equation n'est jamais nulle):

equation   (42.404)

Cette relation est importante car si equation n'est pas nulle pour une fonction propre donnée elle ne le sera pas non plus pour les autres fonctions propres de valeur propre n+1 !!

Nous savons qu'il existe une valeur propre equation plus petite que toutes les autres correspondant au niveau fondamental (d'après le modèle de Bohr-Sommerfeld cette valeur propre existe toujours).

Nécessairement, sa fonction propre equation obéit à la relation (le lecteur pourra vérifier avec les résultats plus loin) :

equation   (42.405)

sinon quoi equation serait valeur propre et il y aurait contradiction.

En multipliant cette dernière relation par equation nous obtenons:

equation   (42.406)

ce qui montre que la valeur propre minimale equation est nulle. Nous connaissons donc le niveau fondamental de l'oscillateur:

equation   (42.407)

Remarque: Il faut noter que l'oscillateur n'est jamais dans un état de repos (mettre n = 0 dans l'expression de l'énergie plus haut) ce qui veut aussi dire que le zéro absolu ne peut pas être accessible puisque la température "chiffre" l'agitation atomique, or le repos n'existe pas!

Pour obtenir la fonction propre correspondante, nous avons besoin de l'expression explicite de a. D'après:

equation et equation   (42.408)

nous avons :

equation et equation   (42.409)

ce qui nous donne:

equation   (42.410)

car rappelons-le: equation

d'où:

equation   (42.411)

Mais d'après equation:

equation   (42.412)

d'où:

equation   (42.413)

soit (résolution d'une simple équation différentielle):

equation   (42.414)

Nous devons envisager, en réalité, equation comme fonction de x par le biais de la coordonnée réduite Q

D'après:

equation   (42.415)

en introduisant la longueur A :

equation  (42.416)

avec :

equation   (42.417)

Nous allons fixer maintenant la constante en utilisant la condition de normalisation de De Broglie:

equation   (42.418)

et donc :

equation   (42.419)

Il est loisible de choisir la constante réelle et positive, nous avons finalement:

equation   (42.420)

Corollaire... : D'après ce que  nous avons vu précédemment, en faisant agir equation sur equation (explicitement nous faisions référence au résultat equation), nous obtenons les fonctions propres de N pour les valeurs propres entières 1, 2, etc. Nous vérifierons plus loin que nous épuisons ainsi toutes les valeurs propres de N.

Il reste à construire les autres fonctions propres et à les normer. En effet, si equation est fonction propre normée associée au niveau equation, nous avons vu plus haut que equation est fonction propre associée au niveau n+1, mais il n'y a pas de raison de la normer à nouveau puisqu'elle est justement associée à une fonction propre déjà normée. 

Nous pouvons écrire:

equation   (42.421)

equation étant un coefficient à déterminer. Exprimons le fait que equation est déjà normée:

equation   (42.422)

Soit en tenant compte de la relation equation nous avons:

equation   (42.423)

Rappelons que equation donc:

equation   (42.424)

Nous venons de vérifier au passage que equation n'est jamais nul (fait que nous avions supposé plus haut).

Toutes les fonctions equation (sauf equation déjà fixée) ont un facteur de phase arbitraire (notion que nous avons vu lors de la définition des états liés et non liés), indépendamment les unes des autres, l'argument de equationreste donc à notre disposition et nous choisirons equation réel positif. Cela fixe toutes les equation:

equation   (42.425)

En itérant cette relation sur la fonction d'onde nous obtenons aisément (algèbre élémentaire):

equation   (42.426)

soit en tenant compte des relations suivantes (que nous avons déjà démontrées précédemment):

equation  et  equation   (42.427)

Nous avons :

equation   (42.428)

Cette équation prend une forme plus simple, en s'appuyant sur la relation:

equation   (42.429)

Vérification:

equation   (42.430)

soit, en langage d'opérateurs:

equation   (42.431)

Ainsi:

equation   (42.432)

Nous obtenons ainsi l'expression de equation:

equation   (42.433)

Par ailleurs, dans la théorie mathématique des familles de polynômes orthogonaux, nous rencontrons les "polynômes d'Hermite" equation définis par:

equation   (42.434)

Ce sont des polynômes de degrés n, pair ou impairs (equation). En les employant, nous allégeons la relation précédente qui devient:

equation   (42.435)

Ces polynômes constituent donc une base orthonormée de l'état quantique global et apparaîssent donc naturellement dans l'expression générale des fonctions/états propres.

Finalement nous avons :

n equation equation
0 equation equation
1 equation equation
2 equation equation
3 equation equation
Tableau: 42.1- Fonctions et énergies propres de l'oscillateur harmonique pour n=1..3

Avec la non moins fameuse représentation graphique avec à gauche les fonctions propres associées equation et à droite la probabilité de présence :

equation
  (42.436)

En analysant ces fonctions d'ondes, nous retrouvons de nombreux résultats classiques : la particule dans le puits de potentiel a une probabilité de présence plus élargie si elle a une énergie plus haute (une bille au fond d'un puits va monter plus haut sur les bords si elle a plus d'énergie),  la particule a plus de chance se retrouver sur ces positions éloignées du centre du puits (la bille a une vitesse d'autant plus petite qu'elle est haut dans le puits : elle va donc passer beaucoup plus de temps en hauteur qu'au fond du puits).

Pour tous les calculs où des particules sont dans un puits de potentiel, l'approximation harmonique est très intéressante. Par exemple, si nous souhaitons étudier un "piège harmonique" à deux dimensions, soit condensat de Bose-Einstein 2D (cf. chapitre de Mécanique Statistique) nous pourrons poser pour l'hamiltonien suivant pour débuter l'étude (en analogie avec celui à une dimension utilisé plus haut) :

equation   (42.437)

EFFET TUNNEL

L'effet tunnel désigne la propriété que possède un objet quantique de franchir une barrière de potentiel, franchissement impossible selon la mécanique classique. Généralement, la fonction d'onde d'une particule, dont le carré du module représente l'amplitude de sa probabilité de présence, ne s'annule pas au niveau de la barrière, mais s'atténue à l'intérieur de la barrière, pratiquement exponentiellement pour une barrière assez large comme nous le démontrerons. Si, à la sortie de la barrière de potentiel, la particule possède une probabilité de présence non nulle, elle peut donc traverser cette barrière.

L'étude théorique de ce phénomène est d'une importance cruciale dans la théorie des semiconducteurs et de la désintégration en physique nucléaire. Il convient donc d'y accorder une attention bien particulière!

La barrière quantique de largeur L sépare dans les cas simples l'espace en trois, dont les parties gauche et droite sont considérées comme ayant des potentiels constants jusqu'à l'infini. La partie intermédiaire constitue la barrière, qui peut être compliquée, révélant un profil doux, ou au contraire formé de barrières rectangulaires, ou autres éventuellement en séries.

Etudions maintenant le cas de systèmes où l'énergie potentielle equation  (implicitement le potentiel y relatif) tend vers des limites finies, non forcément égales quand equation. Il s'agit donc d'un problème d'états non liés.

D'abord, nous définissons une région I loin à gauche où equation sera noté :

equation    (42.438)

une région III loin à droite où equation sera noté :

equation   (42.439)

En se bornant aux situations les plus simples, il y a trois possibilités relativement aux relations données précédemment : puits de potentiel (a), marche de potentiel (b), barrière de potentiel (c) comme représentés dans l'ordre énoncé sur la figure ci-dessous:

equation
  (42.440)

Maintenant, écrivons l'équation de Schrödinger :

equation   (42.441)

Dans les régions I et III de la barrière de potentiel, l'idée est que equation est constant et positif donc l'équation différentielle peut s'écrire en une dimension:

equation   (42.442)

nous obtenons ainsi très simplement l'expression analytique de equationdans ces régions sous forme générale :

equation   (42.443)

Nous trouvons ces deux expressions de façon identique lors de notre étude du puits de potentiel à parois rectangulaires, à la différence que nous avons écrit ci-dessus les solutions générales de l'équation différentielle (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral) sans en déterminer les coefficients (car nous nous intéressons ici à une généralisation).

Ainsi, dans l'étude du puits à parois rectangulaires plus haut nous avions déjà déterminé que:

equation  et equation   (42.444)

Remarques:

R1. Nous voyons que les nombres d'ondes k sont donc proportionnels à la racine de l'énergie cinétique. Et comme l'énergie cinétique est proportionnelle à la vitesse au carré des particules il vient alors que la vitesse est proportionnelle au nombre d'onde (et réciproquement)!

R2. Dans certains ouvrages, pour simplifier les notations, le potentiel dans les régions I et III et posé comme référence et donc égalisé à 0. Il disparaît donc des deux expressions précédentes et cela a pour effet d'égaliser les deux nombres d'ondes qui sont alors notés simplement k.

Dans la région II, l'idée est que equation est négatif et constant donc l'équation différentielle peut s'écrire en une dimension:

equation   (42.445)

et comme nous l'avons vu lors de notre étude du puits de potentiel rectangulaire infini selon la 2ème approche, la solution est alors de la forme:

equation   (42.446)

avec:

equation   (42.447)

Remarque: La parenthèse sous la racine de la relation précédente doit donc être positive. Or cela signifierait que l'énergie cinétique de la particule est négative... Pour palier à ce problème dans le cadre de ce modèle simplifié, on dit que la particule n'a pas le droit d'exister dans la barrière et qu'elle empreinte de l'énergie au vide. Mais il y a d'autres modèles plus complexes qui ne nécessitent pas ce genre de fantaisies.

Nous obtenons ainsi très simplement l'expression analytique de equationdans les trois régions sous forme générale :

equation   (42.448)

Supposons maintenant que nous ayons à equation (région I), une source de particules (qui les envoie vers la droite), avec une énergie cinétique valant évidemment equation.

Ainsi, ces particules ont une énergie equation et la fonction d'onde qui les décrit obéit à l'équation de Schrödinger. Dans la région III, il sera supposé qu'il ne peut exister que des particules allant vers la droite (pas de source à equation, par hypothèse).

La région III, comme du reste la région I, est d'étendue infinie, donc le principe d'incertitude nous permet de parler en théorie d'une quantité de mouvement parfaitement déterminée que nous noterons p'.

Nous savons que (c'est de la mécanique classique!) dans la région III nous avons alors :

equation   (42.449)

Si equation alors p' est positif, donc grâce à la relation précédente et à la relation de De Broglie nous avons :

equation   (42.450)

Soit:

equation   (42.451)

Les nombres d'onde étant maintenant connus formellement revenons à l'interprétation de la solution III :

equation   (42.452)

L'hypothèse comme quoi les particules viennent de la gauche nous impose equation pour que la solution décrive uniquement des particules qui vont vers la droite. Ensuite, il est loisible, pour celles venant de la gauche, de prendre equation  . La région III est donc relativement simple d'analyse...

Remarque: Les conditions et hypothèses utilisées précédemment sont souvent appelées "conditions de scattering".

Les constantes A et B de la région I vont être elles complètement déterminées en effectuant le raccord des solutions d'une région à l'autre.

Intéressons-nous donc maintenant à l'interprétation de l'équation dans la région I:

equation   (42.453)

Il est évident que equation décrit des particules qui, dans la région I, se dirigent vers la droite alors equationdécrit des particules qui, dans cette même région, se dirigent vers la gauche. Comme nous le savons, les premières sont les particules incidentes, les secondes sont les particules réfléchies.

Ce que nous demandons à la physique quantique apparaît maintenant d'une façon claire: une particule arrivant de la gauche (incidente) peut soit :

1. Continuer vers la droite, c'est-à-dire franchir la région II et devenir une particule transmise

2. Retourner vers la gauche et devenir une particule réfléchie.

Nous sommes amenés à définir un "coefficient de transmission" T assimilé à la probabilité qu'à la particule incidente de franchir la région II et un "coefficient de réflexion" R, probabilité qu'à la particule incidente d'être réfléchie. Nous devons avoir:

equation   (42.454)

Dans le cas d'une barrière de potentiel, T est également appelé la "transparence de la barrière".

Pour calculer R et T, nous définirons les flux courants des diverses catégories de particules (incidentes, transmises, réfléchies).

Par exemple, puisque les particules incidentes sont décrites par equation, le nombre moyen de ces particules, par unité de longueur dans la région I, doit certainement être proportionnel à un facteur près à equation.

Soit equation leur vitesse, nous voyons que le courant des particules incidentes equation, est alors proportionnel à un facteur près à equation (analyse dimensionnelle). Ainsi, le coefficient de proportionnalité étant de même nature pour les trois catégories de particules (incidentes i, réfléchies j, transmises t) et du fait que equation et equation sont proportionnels à equation et equation , il s'ensuit que equation  (courants incidents et réfléchi) et equation (courant transmis) sont respectivement proportionnels (donc toujours à un facteur dimensionnel près!) à equation, equation et equation (puisque rappelons que pour la région III nous avons trouvé A'=1 et B'=0).

Nous déduisons de là très simplement, par un simple rapport, les expressions des coefficients de réflexion R et de transmission T :

equation   (42.455)

et comme dans notre cas particulier et comme equation il vient:

equation   (42.456)

Une autre façon d'écrire les choses est dire que puisque l'onde incidente se résume à:

equation   (42.457)

et l'onde transmise à :

equation   (42.458)

alors:

equation   (42.459)

Dans toutes ces situations, la théorie quantique conduit, en général, à des valeurs de R et T petites, mais pas nulles !

exemple Exemples:

Déterminons l'expression explicite de la transparence pour notre exemple de barrière rectangulaire.

Pour cela, nous savons que nous devons imposer la continuité de equation en equation et equation, ainsi que la continuité de equation en equation et equation.

Donc rappelons d'abord que nous avons les trois relations (en mettant la référence du potentiel à 0):

equation   (42.460)

avec donc:

equation et equation   (42.461)

Nous avons alors pour la continuité de equation en equation et equation:

equation   (42.462)

ainsi que la continuité de equation en equation et equation:

equation   (42.463)

Puisque B' est nul nous avons un système de 4 équations à 5 inconnues:

equation   (42.464)

Nous allons choisir d'exprimer toutes les constantes à partir de A. Pour cela nous écrivons nous multiplions la première ligne par ik et la sommons à la deuxième ligne. Nous avons alors:

equation   (42.465)

et ensuite nous multiplions la troisième ligne par -ik et la sommons à la quatrième ligne. Nous avons alors:

equation   (42.466)

Nous avons donc les deux relations:

equation   (42.467)

ou en posant equation:

equation   (42.468)

De la deuxième relation il vient:

equation   (42.469)

et injecté dans la première:

equation   (42.470)

Soit:

equation   (42.471)

Nous avons alors:

equation   (42.472)

ou:

equation   (42.473)

et notons:

equation   (42.474)

Il vient alors:

equation   (42.475)

De même en repartant de:

equation   (42.476)

De la deuxième relation il vient:

equation   (42.477)

et injecté dans la première:

equation   (42.478)

Soit:

equation   (42.479)

Nous avons alors:

equation   (42.480)

ou:

equation   (42.481)

et notons toujours:

equation   (42.482)

Il vient alors:

equation   (42.483)

Notez que nous avons aussi:

equation   (42.484)

Nous pouvons maintenant exprimer les constantes A' et B en fonction de A à l'aide des relations précédentes:

equation   (42.485)

et:

equation   (42.486)

Donc finalement nous avons:

equation   (42.487)

Et donc alors:

equation   (42.488)

en utilisant les propriétés du module complexe (cf. chapitre Nombres):

equation   (42.489)

Il nous reste donc qu'à calculer:

equation   (42.490)

Donc:

equation   (42.491)

Nous avons donc:

equation   (42.492)

Or, comme:

equation   (42.493)

si equation (donc à l'échelle atomique c'est plutôt K qui est immense relativement à L) nous avons:

equation   (42.494)

Donc:

equation   (42.495)

relation qu'on retrouve très souvent (sans démonstration détaillée) dans de nombreux ouvrages. Ci-dessous nous avons tracé:

equation
  (42.496)

de la relation:

equation   (42.497)

Nous constatons que le coefficient T est très sensible (exponentiellement) à une faible variation la largeur de la barrière, a, lorsque le potentiel de cette barrière est faible. Nous pourrons donc visualiser des sites atomiques, par exemple dans du silicium, en utilisant une pointe très proche du matériau à observer. C'est le principe du microscope à effet tunnel où en approchant une pointe conductrice taillée très finement (quelques atomes seulement) à une proximité d'environ 5 Angströms d'une surface conductrice, et en imposant une différence de potentiel de quelques mV, on mesure un courant que de quelques nano-ampères. Le nombre d'électrons qui passent à travers la barrière de potentiel (ici c'est le vide entre les deux électrodes conductrices) diminue de manière exponentielle avec la largeur de la barrière. En analysant le signal d'erreur d'un asservissement sur le courant passant dans le circuit, on peut avoir accès à une cartographie très précise de la surface mesurée de l'ordre de 0.1 Angströms en vertical.

Nous remarquons également selon la relation obtenue que les particules légères comme les électrons ont une probabilité plus grande de faire un effet tunnel que les particules plus lourdes à cause du terme de masse.

En utilisant la relation obtenue précédemment, on peut assez simplement calculer la probabilité qu'a un être humain de masse m de traverser un mur avec une hauteur h (donc facile de calculer l'énergie potentielle) et une épaisseur a. La probabilité est de l'ordre de equation....

Ceci dit, l'exemple le plus célèbre d'effet tunnel pouvant être traité est celui de l'émission de particules equation par des noyaux lourds radioactifs dont l'explication a été donnée par le physicien russe G. Gamov en 1928.

La démonstration est relativement simple mais comme elle constitue un cas pratique particulier que nous ne souhaitons pas exposer dans ce chapitre mais dans celui de Physique Nucléaire. Cependant, pour résoudre ce problème il faut utiliser une méthode d'approximation connue sous le nom de méthode W.K.B. du nom des physiciens Wentzel, Kramers et Brillouin.

Les résultats donnent dès lors un facteur de transmission T pour la particule equation de: 

equation   (42.498)

pour l'atome d'Uranium equation. Par ailleurs, dans l'approximation semi-classique, la particule equation a, dans le puits, une vitesse de l'ordre de equationet elle effectue des aller-retours dans un noyau dont le rayon est de l'ordre de equation. Elle effectue donc environ equation oscillations par seconde où chaque fois elle a une probabilité T de franchir la barrière de potentiel. Cette probabilité par unité de temps est ainsi déterminée par:

equation   (42.499)

Expérimentalement, nous trouvons:

equation   (42.500)

le modèle présenté donne donc des résultats assez satisfaisants.

Outre cet exemple technique, nous rencontrons le phénomène d'effet tunnel aussi dans un cas beaucoup plus accessible et très pédagogique. Ainsi, lorsque sous condition de réflexion totale d'un faisceau de lumière, nous approchons un autre prisme (sur la face du prisme ou aucun rayon de lumière ne sort ni ne rentre) de manière à produire une lame d'air suffisamment mince, un faible rayon transmis est observé.


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