moment cinétique et spin



PHYSIQUE QUANTIQUE ONDULATOIRE

1. Postulats

1.1. 1er postulat : état quantique

1.2. 2ème postulat : évolution temporelle d'un état quantique

1.3. 3ème postulat : observables et opérateurs

1.4. 4ème postulat : mesure d'une propriété

1.5. 5ème postulat : moyenne d'une propriété

2. Principes d'incertitudes classiques

2.1. Première relation d'incertitude classique

2.2. Deuxième relation d'incertitude classique

2.3. Troisième relation d'incertitude classique

3. Algèbre quantique

3.1. Opérateurs linéaires fonctionnels

3.1.1. Opérateurs adjoints et hermitiques

3.1.2. Commutateurs et anti-commutateurs

3.1.3. Principes d'incertitudes de Heisenberg

3.2. Représentatives

3.3. Valeurs et fonctions propres

3.3.1. Orthogonalité des fonctions propres

4. Formalisme de Dirac

4.1. Kets et Bras

5. Modèle de Schrödinger

5.1. Onde associée de De Broglie

5.2. Onde thermique associée de De Broglie

5.3. Équation classique de Schrödinger

5.3.1. Hamiltonien de Schrödinger

5.3.2. Condition de normalisation de de Broglie

5.3.3. Etats liés et non liés

5.4. Equation d'évolution classique de Schrödinger

5.4.1. Opérateur d'évolution

5.4.2. Séparation des variables

5.4.3. Combinaison linéaires des états

5.4.4. Equation de continuité

6. Implications et Applications

6.1. Particule libre

6.2. Puits de potentiel à parois rectilignes

6.2.1. 1ère approche

6.2.2. 2ème approche

6.3. Oscillateur harmonique

6.4. Effet tunnel

6.5. Principe de superposition

7. Théorème d'Ehrenfest

8. Moment cinétique et spin

8.1. Couplage spin-orbite

9. Dimensions de Planck

10. Interprétation de Copenhague

Tout comme l'oscillateur harmonique, la notion de moment cinétique (ou moment angulaire) est d'une importance capitale en théorie quantique et possède des applications nombreuses dans tous les domaines de la physique : physique atomique et moléculaire, physique nucléaire et sub-nucléaire, physique de l'état condensé, etc. Ainsi, il joue un rôle essentiel dans l'étude du mouvement d'une particule dans un potentiel à symétrie sphérique, comme nous le verrons en chimie quantique (qui en est un excellent exemple pratique). Le moment cinétique est également à la base du groupe des rotations qui satisfait à l'algèbre des opérateurs de moment cinétique (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste). De ce fait, il permet non seulement de construire la fonction d'onde d'un système quantique de symétrie donnée, mais aussi de prédire si une transition optique est permise et d'en déterminer son intensité (par exemple, lors de l'étude des transitions optiques entre états d'impureté (en état solide), états moléculaires (chimie quantique), en physique nucléaire, etc.).

Enfin, nous verrons que la méthode algébrique appliquée à l'étude du moment cinétique nous permettra d'introduire tout naturellement la notion de moment cinétique intrinsèque d'une particule, le "spin", qui n'a pas d'équivalent classique.

Les développements qui vont suivre peuvent paraître assez déconcertent dans le sens qu'il ne faut plus du tout se fier à l'intuition mais uniquement aux propriétés et résultats des mathématiques. Comme d'habitude, si vous avez besoin de compléments d'informations n'hésitez pas à nous contacter.

Ainsi, rappelons que le moment cinétique d'une particule par rapport à l'origine est donné par (cf. chapitre de Mécanique Classique) :

equation   (42.1)

La quantité de mouvement étant quantifiée (c'est une valeur propre rattachée à la l'énergie d'une façon ou d'une autre), le moment cinétique l'est nécessairement aussi (le moment cinétique est donc aussi une valeur propre) et l'expérience a appuyé ce résultat (Stern-Gerlach).

Soit la composante en z du produit vectoriel résultant:

equation   (42.2)
(cycl.)

Cette relation étant cyclique, nous pouvons changer les indices pour obtenir les autres coordonnées.

Comme x et y commutent (dans le sens que leur commutateur est nul) et que nous avons démontré :

equation   (42.3)

nous avons alors :

equation   (42.4)

Ce qui donne :

equation   (42.5)
(cycl.)

En utilisant le gradient (nous retrouverons cette relation dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste lors de notre étude de l'équation de Pauli!!):

equation   (42.6)

et en posant pour "l'opérateur du moment cinétique" :

equation   (42.7)

Ce qui nous amène à écrire:

equation   (42.8)

Avec :

equation   (42.9)

Remarque: Le plus souvent dans la littérature le moment cinétique est noté equation (nous avions déjà fait cette remarque dans le chapitre de Mécanique Classique) mais nous avons évité cette notation ici afin de différencier le moment cinétique orbital et le moment cinétique orbital total.

Nous allons établir certaines relations de commutation concernant  equation qui joueront un rôle essentiel dans l'étude du spin. En faisant usage des relations (démontrées lors de notre étude des principes d'incertitudes) :

  equation (cycl.) et equation   (42.10)
(cycl.)

Nous avons la relation (il est de tradition de faire l'analyse sur la composante la projection de equation en z):

equation   (42.11)

Donc :

equation   (42.12)
(cycl.)

et en procédant de la même manière:

equation (cycl.) et equation (cycl.)   (42.13)

Remarque: Nous trouvons des relations analogues avec la quantité de mouvement:

equation   (42.14)

Évaluons maintenant la quantité:

equation   (42.15)

soit après simplification (c'est assez embêtant pour l'expérience que cela ne commute pas) :

equation   (42.16)
(cycl.)

par ailleurs, à ce stade, si le lecteur à déjà parcouru au préalable le chapitre de Calcul Spinoriel il remarquera que les matrices de Pauli satisfont aux relations précédentes si nous nous mettons en unités naturelles (la constante de Planck réduite valant alors 1) :

equation

Ce constat sera utile pour notre étude de la physique quantique relativiste (voir chapitre du même nom). Effectivement, nous savons de par notre étude du calcul spinoriel (cf. chapitre de Calcul Spinoriel) que le groupe des matrices 2 par 2 complexes unitaires de déterminant 1 dont les matrices Pauli sont les générateurs forme un groupe des rotations dans l'espace SU(2). Fondamentalement, l'origine du spin vient du lien qui existe entre SU(2) et le groupe des rotations de notre espace ordinaire, SO(3) (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste).

Maintenant, considérons la norme :

equation   (42.17)

Etudions son commutateur avec une composante:

equation   (42.18)

en utilisant la relation cyclique equation:

equation   (42.19)

Donc nous avons enfin quelque chose d'intéressant qui commute :

equation   (42.20)
(cycl.)

Conclusions des résultats obtenus jusqu'à maintenant : comme le commutateur est nul (les quantités commutent) il est donc possible de mesurer simultanément avec précision une composante ainsi que le carré du moment cinétique (sa norme au carré), mais il est impossible de faire la même chose pour deux composantes !

Notons enfin que la relation que equation peut s'écrire :

equation   (42.21)

et donc d'une façon un peu curieuse:

equation   (42.22)

Si nous avons un système de particules numérotées par l'indice k, chacune a un moment cinétique individuel equation  et le moment cinétique orbital total du système  equation  (ne pas confondre la notation avec le Lagrangien !!!), est défini par (en unitées naturelles equation) :

equation   (42.23)

Mais equation n'est pas encore le moment cinétique total du système; un particule peut posséder un moment cinétique intrinsèque, ou "spin". Nous pouvons donner une image simple du spin en disant qu'il traduit une rotation de la particule sur elle-même (attention !!! ce n'est qu'une image car au fait la particule ne tourne pas sur elle-même !). Nous noterons equation  le moment cinétique de spin de la k-ème particule (en unité naturelles equation ) et la relation :

equation   (42.24)

sera le spin total et enfin :

equation   (42.25)

sera le moment cinétique total du système (ne pas confondre la notation avec le moment cinétique orbital ou la densité de courant !!!) et nous démontrerons lors de notre étude du couplage spin-orbite que ce moment cinétique est une constante du mouvement en présence de ce couplage.

Nous allons supposer (mais c'est facile à démontrer une fois, entre autre, les spineurs connus) que chaque equation et equation obéit aussi aux lois de commutation vues précédemment :

equation (cycl.) et equation  (cycl.)   (42.26)

Ce qui s'écrit sous forme tensorielle en utilisant le symbole de Levi-Civita (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) :

equation et equation   (42.27)

Ce qui entraîne (aussi) :

equation    (42.28)
(cycl.)

avec bien évidemment la relation:

equation

appelée par les mathématiciens "élément de casimir" (un simple développement parfaitement similaire à celui obtenu plus haut suffit à la démontrer).

Définissons maintenant de façon purement formelle l'opérateur non hermitique (les matrices de Pauli satisfont toujours à ces relations!):

equation   (42.29)
equation

equation commutent avec equation, puisque celui-ci commute avec equation et  equation . Ce qui nous permet d'écrire le produit :

equation   (42.30)

Par ailleurs:

equation   (42.31)

Donc:

equation   (42.32)

De même:

equation   (42.33)

Enfin, évaluons les produits equation et equation:

equation   (42.34)

De même:

equation   (42.35)

Puisque les deux opérateurs hermitiques equation et  equation commutent ils ont donc des états et valeurs propres communes et, plus précisément, ils ont une base propre complète commune. Lorsque des observables commutent et ont une base propre commune, rappelons que nous avons pour habitude de parler d'un "ECOC" (Ensemble Complet d'Opérateurs qui Commutent).

Pour étudier leur état propre posons:

equation   (42.36)

Les valeurs propres K et M (appartenant à equation, la valeur nulle y comprise donc comme nous allons le voir un peu plus loin !) ne sont pas indépendantes puisque nous avons:

equation   (42.37)

La moyenne étant notée par les crochets equation, nous avons:

equation   (42.38)

Ce qui peut s'écrire:

equation   (42.39)

Nous voyons que le membre de gauche de la relation ci-dessus est égal à:

equation   (42.40)

Par ailleurs nous avons vu lors de l'étude des représentatives avec le formalisme de Dirac que:

equation   (42.41)

Cette dernière relation implique donc que:

equation   (42.42)

Ce qui apporte les informations suivantes:

equation   (42.43)

C'est de la relation ci-dessus que nous voyons que:

equation   (42.44)

La valeur nulle y compris donc! Ce dernier point fait exception avec les nombres quantiques radials et azimutal que nous avions par exemple en physique quantique corpusculaire (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire).

A partir de  equation, nous bâtissons l'état equation , nous allons montrer que si cet état n'est pas identiquement nul, il est état propre de equation et de equation . De la relation:

equation   (42.45)

déjà démontrée précédemment, nous posons:

equation   (42.46)

equation commutent avec equation, puisque celui-ci commute avec equation et equation. Ce qui nous donne que la relation précédente est nulle telle que:

equation   (42.47)

De la relation equation nous posons de façon identique:

equation   (42.48)

Toujours avec:

equation   (42.49)

Nous avons finalement le paquet de relations:

equation   (42.50)

Donc equation et equation sont identiquement nuls ou equation et equation sont des états propre de  equation pour la valeur propre K, et de equation pour la valeur propre equation.

Puisque le moment cinétique est quantifié, ses valeurs propres doivent donc avoir un minimum et un maximum avec pour chacune la fonction propre associée.

Posons que M ' et equation sont la valeur et fonction propre associée minimale et m'' et equation la valeur et fonction propre maximale.

Etant donné les trois relations:

equation , equation , equation   (42.51)

Nous écrivons:

equation

equation
  (42.52)

Ce qui intuitivement n'est pas évident à poser mais qui mathématiquement est tout à fait justifiable.

A partir des deux dernières relations ci-dessus, nous pouvons écrire:

equation   (42.53)

soit:

equation   (42.54)

M ' étant le maximum, M '' le minimum d'un même ensemble, nous avons:

equation   (42.55)

Ce qui nous donne:

equation   (42.56)

Appelons J la valeur m' (qui correspond à la valeur propre de la quantité equation ) puisque equation nous avons:

equation   (42.57)

donc:

equation   (42.58)

qui est un nombre entier positif ou nul.

Conclusion : Comme 2J est un nombre entier positif ou nul, cela implique que J ne peut être qu'un nombre entier, demi-entier ou nul tel que :

equation   (42.59)

Enfin, comme:

equation et equation   (42.60)

Donc:

equation et equation   (42.61)

Donc finalement:

equation   (42.62)

Ce qui nous donne puisque equation et equation (les notations se mélangent un peu...):

equation   (42.63)

Sous forme plus explicite et moins confuse:

equation   (42.64)

et définitive, en multipliant à gauche et à droit par equation, nous avons pour la composante verticale du moment cinétique, la valeur :

equation   (42.65)

Comme equation et si la particule n'a pas de spin (equation) alors nous avons :

equation   (42.66)

Si nous avons qu'une seule particule alors :

equation   (42.67)

Donc le moment cinétique s'écrit en se rappelant (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire) que l est quantifié :

equation   (42.68)

Si nous avons equation, alors dans ce cas :

equation   (42.69)

Nous retrouvons donc le résultat obtenu au début de notre étude du moment cinétique. 

Grossièrement, si nous posons maintenant equation, nous retrouvons à partir du modèle ondulatoire l'hypothèse de quantification du moment cinétique postulée par Bohr vue dans le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire.

Remarque: Rappelons que réellement equation

Cette constatation justifie maintenant physiquement l'utilisation du nombre quantique l dans l'utilisation du tableau périodique des éléments tel que nous l'avions vu et défini (sans aucune justification réelle) dans le chapitre précédent.

Le moment cinétique total vaut donc approximativement :

equation   (42.70)

Par analogie (c'est vraiment une analogie douteuse...), nous pouvons écrire :

equation   (42.71)

Mais comme le spin peut avoir que deux orientations possibles, les valeurs de j seront :

equation   (42.72)

D'où une classification possible des électrons atomiques tenant compte de leur spin :

Type d'orbitale

s

p

d

f

l

0

1

2

3

j

equation

equation

equation

equation

notation

equation

equation

equation

equation

Tableau: 42.1- Types d'orbitales et spin

etc... Soit sous forme schématique avec les niveaux d'énergie correspondants:

equation
  (42.73)

Ce tableau nous amène à constater que nous pouvons finalement écrire :

equation   (42.74)

Pour revenir à des considérations plus pratiques... nous avons finalement obtenu pour la norme du moment cinétique total (dans le cas d'une particule seule et sans spin):

equation   (42.75)

l est une entier. Nous savons également du chapitre de Physique Quantique Corpusculaire que le moment magnétique est lui donné par:

equation   (42.76)

et que le nombre quantique secondaire l et le nombre quantique magnétique equation sont d'une certaine manière indissociables.

De la même manière nous obtenons:

equation   (42.77)

où nous avons vu dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste que s ne peut prendre que les valeurs:

equation   (42.78)

 pour une particule de type proton, neutron ou électron.

Maintenant, ce que nous savons de nos résultats obtenus dans le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire c'est que lorsque l vaut 1 nous avons le moment magnétique qui peut prendre trois valeurs différentes suivant si un champ magnétique est appliqué ou non:

equation   (42.79)

A ce moment, bien que la norme du moment cinétique total reste constante (car conservative). Ses composantes doivent forcément changer. Comme nous ne pouvons connaître qu'une seule des composantes du moment cinétique en connaissant sa norme (opérateurs commutant) nous choisissons de nous intéresser par convention à equation.

Nous choisissons un référentiel tel qu'un des composantes soit nulle (c'est toujours possible). Il suffit ensuite dans ce référentiel X,Z plan d'avoir la norme de J qui vaut pour equation:

equation   (42.80)

et idem avec S:

equation   (42.81)

Il y a alors trois possibilités si une des composantes est toujours nulle c'est que nous ayons:

equation   (42.82)

Ce que nous pouvons aussi écrire:

equation   (42.83)

Ce que les physiciens aiment bien représenter de manière très simplifiée par le schéma suivant:

equation
  (42.84)

De la même façon avec le spin nous pouvons écrire:

equation   (42.85)

Ce que les physiciens aiment aussi bien représenter de manière très simplifiée par le schéma suivant:

equation
  (42.86)

Nous avons donc les seuls éléments variables mesurables expérimentalement qui sont:

equation  et   equation   (42.87)

qui sont donc des observables discrets (bivalué en ce qui concerne donc le spin).

Donc en appliquant un champ magnétique, l'hamiltonien de Pauli (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste) prendra des sauts équivalents à la relation :

equation   (42.88)

Ce résultat signifie que les niveaux d'énergie pour une énergie donnée (couche n) sont séparés en plusieurs niveaux distants de equation quand l'atome est placé dans un champ magnétique. Ce résultat et l'effet Zeeman dont nous avons parlé plusieurs fois.

Tout cela permet de mieux comprendre l'origine mathématique des 4 nombres quantiques (nombre quantique principal, nombre quantique secondaire ou azimutal, nombre quantique magnétique, spin):

equation   (42.89)

notés aussi (puisque dans le cas particulier des particules étudiées sur ce site le nombre quantique magnétique de spin à la même valeur que le spin):

equation   (42.90)

COUPLAGE SPIN-ORBITE

Nous avions fait remarquer dans le chapitre de physique quantique corpusculaire que quand nous analysons à haute résolution les raies spectrales de l'hydrogène en l'absence d'un quelconque champ extérieur, nous voyons qu'elles sont en fait constituées de doublets très serrés, séparés de equation. Ce phénomène étant du à un soit disant couplage spin-orbite. Il est temps maintenant de voir d'où cela vient. Rappelons que nous avons obtenu précédemment :

equation   (42.91)

Dès lors, la norme (ce qui est mesuré) nous amène à écrire :

equation   (42.92)

ce qui nous donne après regroupement :

equation   (42.93)

Le terme equation est appelé "couplage spin-orbite". C'est lui qui lors des mesures très précises fait apparaître un dédoublement des raies du au couplage entre le spin de l'électron et le moment cinétique orbital (ce n'est pas equation car ce terme est toujours positif).

Remarque: Lorsque nous avons deux corps en interaction le moment cinétique total est une constante du mouvement. Il peut donc y avoir un transfert de moment cinétique entre ces deux corps (c'est le couplage spin-orbite). L'un perd du moment l'autre en gagne. A noter qu'un corps étendu possède un moment cinétique de rotation autour d'un point et un moment cinétique de rotation sur soi-même. C'est ce dernier que nous appelons par une analogie abusive : le spin.

L'écart mesuré est donc attribué à l'interaction du spin de l'électron avec son moment orbital. L'électron tourne autour du noyau, mais si nous nous plaçons sur l'électron nous voyons le noyau tourner (sur la Terre le soleil tourne autour de la Terre !). Tout se passe comme si le noyau créait un champ magnétique au niveau de l'électron, et ce champ interagit avec le moment magnétique de l'électron, le spin, et ceci différemment selon que le spin est dans le sens du champ ou opposé, c'est cette différence qui ajoute ou retranche un peu d'énergie au niveau.

Voici un schéma qui résume le tout :

equation
  (42.94)

Montrons de fait que equation tel que défini, est une constante du mouvement. Nous avons (inutile de préciser qu'en mettant au carré, il s'agit des composantes du vecteur que nous mettons au carré et non le vecteur lui-même!) :

equation   (42.95)

d'où :

equation   (42.96)

Faisons le développement pour une composante :

equation   (42.97)

Or, par définition (de notation) equation donc :

equation   (42.98)

Or, nous savons que equation (car un opérateur commute toujours avec lui-même) et en ce qui concerne equation, nous en avons fait mention dans le chapitre de calcul spinoriel (cf. chapitre de Calcul Spinoriel) et nous le démontrerons dans le cadre de l'étude de l'équation de Dirac libre classique (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste), que le spin est totalement décrit par les matrices de Pauli qui sont des opérateurs linéaires. Ecrivons alors à un facteur constant près (dont nous devrons encore déterminer l'expression) :

equation   (42.99)

et nous verrons que cela est bien conforme à l'équation de Pauli que nous verrons dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste (et inversement)!!!

Donc en faisant abstraction de la constante multiplicative :

equation   (42.100)

ce qui était de toute façon 100% prévisible puisque de toute façon, encore une fois, un même opérateur commute toujours avec lui-même.

Donc finalement :

equation   (42.101)

Dès lors :

equation   (42.102)

d'où finalement :

equation   (42.103)

equation est bien le moment cinétique total qui, même en présence d'interaction spin-orbite, est une constante du mouvement (une obligation pour un système isolé).

Remarque: Une autre manière de lire la chose consiste à dire que la mesure sur un des éléments du commutateur précédent adapte l'autre immédiatement pour que leur commutation soit nulle donc par extension le moment cinétique total est une constante du mouvement.

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