IMPLICATIONS ET APPLICATIONS



PHYSIQUE QUANTIQUE ONDULATOIRE

1. Postulats

1.1. 1er postulat : état quantique

1.2. 2ème postulat : évolution temporelle d'un état quantique

1.3. 3ème postulat : observables et opérateurs

1.4. 4ème postulat : mesure d'une propriété

1.5. 5ème postulat : moyenne d'une propriété

2. Principes d'incertitudes classiques

2.1. Première relation d'incertitude classique

2.2. Deuxième relation d'incertitude classique

2.3. Troisième relation d'incertitude classique

3. Algèbre quantique

3.1. Opérateurs linéaires fonctionnels

3.1.1. Opérateurs adjoints et hermitiques

3.1.2. Commutateurs et anti-commutateurs

3.1.3. Principes d'incertitudes de Heisenberg

3.2. Représentatives

3.3. Valeurs et fonctions propres

3.3.1. Orthogonalité des fonctions propres

4. Formalisme de Dirac

4.1. Kets et Bras

5. Modèle de Schrödinger

5.1. Onde associée de De Broglie

5.2. Onde thermique associée de De Broglie

5.3. Équation classique de Schrödinger

5.3.1. Hamiltonien de Schrödinger

5.3.2. Condition de normalisation de de Broglie

5.3.3. Etats liés et non liés

5.4. Equation d'évolution classique de Schrödinger

5.4.1. Opérateur d'évolution

5.4.2. Séparation des variables

5.4.3. Combinaison linéaires des états

5.4.4. Equation de continuité

6. Implications et Applications

6.1. Particule libre

6.2. Puits de potentiel à parois rectilignes

6.2.1. 1ère approche

6.2.2. 2ème approche

6.3. Oscillateur harmonique

6.4. Effet tunnel

6.5. Principe de superposition

7. Théorème d'Ehrenfest

8. Moment cinétique et spin

8.1. Couplage spin-orbite

9. Dimensions de Planck

10. Interprétation de Copenhague

Les différentes définitions et outils qui ont été vus précédemment, vont nous permettre d'étudier certains cas fondamentaux qui débouchent sur des résultats splendides. 

Dans un premier temps, nous allons voir comment traiter le cas de la particule libre (état non lié) et quels sont les problèmes que pose cette configuration simple.

Ensuite, nous allons résoudre l'équation de Schrödinger avec une particule sans spin dans un puits de potentiel à parois rectilignes et montrer que nous retrouverons avec la formalisme de la physique quantique les mêmes résultats que le modèle de Bohr (plus généralisé même!).

Après quoi, nous allons introduire l'étude de l'oscillateur harmonique en repassant au préalable brièvement sur la résolution de l'équation de Schrödinger d'une particule libre. Cet exemple constitue une forme d'introduction quantique à l'étude théorique de systèmes atomiques. C'est dans cet exemple, que nous utiliserons toute la puissance des opérateurs linéaires fonctionnels. Il sera donc important de ne pas brûler les étapes lors de sa lecture.

Il nous faudra également étudier un autre phénomène fameux, l'effet tunnel! Evidemment, nous avons décidé de faire une introduction d'un cas particulier afin que le lecteur puisse voir le raisonnement qui a amené à la découverte de ce phénomène épatant (mais logique). Encore une fois, cet exemple appuiera la validité de la théorie quantique et démontrant la valeur des constantes de désintégration des isotopes nucléaires!

En ce qui concerne les cas relativistes, avec ou sans spin nous renvoyons le lecteur au chapitre de Physique Quantique Relativiste et en ce qui concerne le modèle atomique simple, nous le renvoyons au chapitre de Chimie Quantique.

Enjoy!

PARTICULE LIBRE

Curieusement la résolution de l'équation de Schrödinger pour une particule libre (où le potentiel est nul) est le cas simple... le plus complexe... mathématiquement parlant car les bornes d'intégration de la normalisation sont infinies.

Voyons cela:

Rappelons d'abord que nous avons démontré de manière simplifiée dans le chapitre de Suites et Séries que la transformée de Fourier d'une fonction f et son inverse étaient données par:

equation   (42.267)

Soit sous forme unidimensionnelle:

equation   (42.268)

Procédons maintenant au changement de variable qui relie le nombre d'onde k à la quantité de mouvement (relation introduite au début de ce chapitre):

equation   (42.269)

Ce qui nous donne:

equation   (42.270)

Revenons maintenant à l'équation de Schrödinger d'évolution:

equation   (42.271)

Si la particule est libre il n'y pas de potentiel et à une dimension nous avons alors:

equation   (42.272)

Cette équation différentielle admet des solutions en ondes planes monochromatiques du type (cf. chapitre d'Électrodynamique):

equation   (42.273)

avec bien évidemment la petite nuance que nous avons à utiliser la relation (sinon ça joue pas par contre!):

equation   (42.274)

Sans oublier que (cela nous sera utile par la suite):

equation   (42.275)

La courbe de l'énergie E en fonction du vecteur d'onde k est parfois appelée "courbe de dispersion" et c'est une parabole (puisque k est au carré) pour une particule libre!

Bien évidemment la densité de probabilité de cette solution vaut:

equation   (42.276)

mais cela ne peut pas correspondre à la réalité car nous ne pouvons pas normaliser la probabilité sur des distances infinies! Une onde plane monochromatique de module constant dans tout l'espace n'étant pas de carré sommable : elle ne peut donc pas représenter un état physique d'une particule libre.

Au fait la solution vient du fait que la vraie solution utilise le principe de superposition des toutes les ondes monochromatiques de toutes les fréquences tel que:

equation   (42.277)

et nous retrouvons donc ici une relation très similaire une transformée de Fourier inverse. Une telle superposition d'ondes planes est appelée : "paquet d'ondes unidimensionnel".

Ce que nous pouvons récrire:

equation   (42.278)

Or, nous voyons de suite que nous ne pourrons pas non plus normaliser suivant:

equation   (42.279)

Dès lors, il n'y a plus de solution générale. Il faut donner une enveloppe porteuse aux ondes imposant une normalisation possible. Cette enveloppe porteuse peut être un Dirac ou une Gaussienne ou d'autres fonctions de distributions plus ou moins complexes. Ensuite les physiciens doivent utiliser une propriété des transformées de Fourier qui font naturellement apparaître les incertitudes de Heisenberg. Ainsi, ces dernières sont une condition à la normalisation des particules libres utilisant les transformées de Fourier.

A ce jour, nous n'avons pas de démonstration pédagogique et simple à proposer sur ce dernier point. Cela viendra peut-être plus tard.

Par contre, nous pouvons prendre comme solution triviale les modes propres de la particule tel que:

equation   (42.280)

Effectivement:

equation   (42.281)

C'est ce que nous utiliserons comme situation lors de notre étude plus bas de l'oscillateur harmonique.

Avant d'étudier le cas particulier du paquet d'ondes quasimonochromatiques, nous allons rappeler quelques résultats concernant la somme de deux ondes planes.

Commençons par sommer deux ondes planes monochromatiques de fréquences voisines:

equation et equation   (42.282)

avec:

equation et equation   (42.283)

et:

equation et equation   (42.284)

A noter que nous imposons donc:

equation  et  equation   (42.285)

L'onde résultante a pour expression :

equation   (42.286)

Soit en utilisant les relations trigonométriques remarquables (cf. chapitre de Trigonométrie):

equation   (42.287)

qui est une onde plane se propageant selon x avec la pulsation equation et le vecteur d'onde moyen et equation, et donc à la vitesse de phase:

equation   (42.288)

Le terme en cosinus s'interprète alors comme l'amplitude lentement variable de cette onde plane.

Remarquons un point assez important!: La vitesse de phase n'est pas conforme à la vitesse que nous obtenons en utilisant l'énergie cinétique d'un particule libre. Effectivement:

equation   (42.289)

Dès lors la vitesse de phase ne répresente pas la vitesse dans le sens classique habituel mais se déplace à la vitesse de groupe :

equation   (42.290)

où nous retrouvons donc la formulation classique de la vitesse à partir de l'énergie cinétique (pas mal....)!

Nous pouvons représenter aisément tout cela avec Maple:

>restart:with(plots):
>lambda[0]:=1; T[0]:=1; k[0]:=2*Pi/lambda[0]; w[0]:=2*Pi/T[0];
>delta_k:=k[0]/8: k[1]:=k[0]-delta_k; k[2]:=k[0]+delta_k;
delta_w:=w[0]/10: w[1]:=w[0]-delta_w; w[2]:=w[0]+delta_w;
> P1:=animate(cos(k[1]*x-w[1]*t)+cos(k[2]*x-w[2]*t), x=0..1*2*Pi/delta_k, t=0..2*Pi/delta_w, numpoints=200, frames=15, color=red):
> P2:=animate({2*cos(-1/2*k[1]*x+1/2*w[1]*t+1/2*k[2]*x-1/2*w[2]*t), -2*cos(-1/2*k[1]*x+1/2*w[1]*t+1/2*k[2]*x-1/2*w[2]*t)}, x=0..1*2*Pi/delta_k, t=0..2*Pi/delta_w, numpoints=100, frames=15, color=blue):
> display(P1,P2);

Ce qui donne:

equation
  (42.291)

A la différence de l'onde plane harmonique, cette onde n'a pas un module constant : son module est nul dans certaines zones. Par contre, elle s'étend toujours sur une distance infinie, donc a une norme (somme de la probabilité sur tout l'espace) infinie. Elle ne possède donc pas de sens physique.

L'étude précédente peut être étendue en sommant un nombre N de plus en plus grand d'ondes planes au voisinage de equation et equation. Une telle superposition conduit à une fonction de plus en plus localisée dans certaines zones de l'espace (en particulier vers equation par exemple pour equation), la distance entre ces zones augmentant proportionnellement avec N. A la limite equation, alors seule la zone vers equation demeure, les autres étant rejetées à l'infini. Le passage à cette limite equation s'effectue en remplaçant la somme discrète sur les ondes planes par une sommation continue c'est-à-dire par une intégrale de la forme :

equation   (42.292)

avec:

equation   (42.293)

avec donc :

equation  et   equation   (42.294)

Un tel paquet est donc appelé "paquet d'ondes quasimonochromatiques".

Cette expression peut se réécrire :

equation   (42.295)

Il importe de comprendre que equation est une fonction de k, donnée par l'équation de dispersion. Nous allons faire le calcul de cette expression en utilisant le fait que equation.

equation implique que equation . Il est possible d'effectuer un développement limité au voisinage de equation :

equation   (42.296)

equation est la vitesse de groupe. Alors :

equation   (42.297)

Posons equation :

equation   (42.298)

Calculons l'intégrale:

equation   (42.299)

avec:

equation   (42.300)

Soit:

equation   (42.301)

Le dernier terme s'interprète à nouveau comme une onde plane se déplaçant à la vitesse de phase:

equation   (42.302)

L'amplitude de cette onde plane est donnée par une fonction type sinus cardinal. A equation, cette fonction sinc n'a des valeurs importantes que dans la zone:

equation   (42.303)

Il s'agit donc d'une fonction bien localisée. En conséquence, equation est une fonction de carré sommable. Le calcul donne:

equation   (42.304)

La fonction peut donc être normalisée en posant donc:

equation   (42.305)

Nous avons donc réussi à obtenir une fonction satisfaisant à la fois l'équation de Schrödinger et la condition de normalisation, grâce à l'emploi d'une somme infinie d'ondes harmoniques. L'exemple que nous avons traité n'est qu'un cas particulier. D'autres types de paquets d'ondes peuvent être obtenus en prenant d'autres distributions pour les amplitudes des ondes planes qui composent le paquet (nous avons supposé ici qu'elles avaient toutes la même amplitude). Dès lors, la vitesse de groupe est associée classiquement à la vitesse de la particule de masse m et d'impulsion p.

Ainsi, Le paquet d'ondes se déplace globalement à la vitesse de groupe, qui s'identifie à la vitesse donnée par la mécanique classique.

Les relations d'incertitude ont déjà été introduites au début de ce chapitre de deux manières différentes. Mais dans l'exemple du paquet d'ondes étudié au paragraphe précédent, nous avons vu que la fonction est localisée dans une zone d'extension (largeur à mi-hauteur) :

equation   (42.306)

Nous avons donc la relation :

equation   (42.307)

Nous retrouvons ici une expression de type incertitude. Le coefficient numérique pourrait être légèrement différent suivant la définition choisie pour equation et equation, ou le type de paquet. Il pourrait en particulier être nettement plus grand dans certains cas. Nous avons donc en fait une inégalité du type:

equation   (42.308)

En physique quantique, ces inégalités s'expriment en fonction de l'impulsion p, reliée à k par equation. Nous avons donc :

equation   (42.309)

Il ne s'agit donc pas d'incertitudes au sens de la mesure, et qui serait limitées par les appareils de mesure, mais d'une propriété fondamentale intrinsèque, liée à la représentation quantique d'une particule selon le modèle mathématique proposé. Le modèle de l'atome de Bohr est donc à rejeter pour les niveaux d'énergie qui sont proche de cette égalité.

PUITS DE POTENTIEL A PAROIS RECTILIGNES

Prenons pour premier exemple, très important pour le chapitre de Physique Nucléaire et pour les spécialistes des semiconducteurs, la résolution sous forme classique du puits de potentiel à parois rectilignes, également appelé "puits rectangulaire" (cet exemple est vraiment très important, prenez vraiment votre temps afin de le comprendre et de la maîtriser au mieux).

C'est l'exemple le plus simple d'une fonction equation, nulle à l'intérieur du puis et infiniment grande sur les parois, distantes d'une longueur L.

Remarque: Lorsque equation nous disons que les parois sont parfaitement réfléchissantes.

Nous supposons une particule piégée dans ce puits. Elle ne peut s'en échapper puisque les parois (c'est-à-dire le potentiel U) ont une hauteur infinie. Mais à l'intérieur, elle est libre de se déplacer sans faire d'interaction avec les parois.

Cette configuration se traduit par les conditions aux limites où l'énergie potentielle électrostatique est notée U :

equation si equation

equation si equation ou equation

  (42.310)

Il existe deux manières d'aborder problème. Voyons les deux types de traitements car le premier permet d'avoir une approche simpliste alors que le deuxième permet d'avoir une approche avec une plus générale qui nous sera utile par la suite lors de notre étude de l'effet Tunnel :

1ère approche

L'équation de Schrödinger (classique) :

  equation   (42.311)

a donc une solution simple respectant les conditions initiales en une dimension du type :

  equation   (42.312)

dont la dérivée seconde est :

  equation   (42.313)

Introduits dans l'équation de Schrödinger nous obtenons après quelques simplifications d'algèbre élémentaire:

equation   (42.314)

Donc finalement la solution s'écrit:

equation   (42.315)

à propos de laquelle il faut appliquer les conditions aux limites (la solution en cosinus est en tout point similaire).

Si nous voulons pouvoir, par la suite, faire un parallèle avec un (ou des) électron(s) piégé(s) dans le puits du potentiel du noyau de l'atome (qui n'est par rectangulaire lui!), nous sommes amenés aux considérations suivantes:

La stabilité des atomes suggère l'existence d'une onde stationnaire électronique dans le puits. De plus, l'observation montre que seuls certains niveaux d'énergie semblent autorisés dans ce dernier.

Si nous faisons une similitude avec les cordes vibrantes, la fonction d'onde de l'électron doit être telle que:

1. Pour equation et equation il doit y avoir un noeud de vibration. Donc: equation

2. La fonction d'onde equationdoit présenter un nombre entier de demi-longueur d'onde sur la longueur L

3. Dans la boîte equation donc equation

4. Si aux extrémités (equation et equation) equation alors l'argument du sinus vaut equation

Donc nous devons avoir :

equation   (42.316)

d'où puisque l'énergie potentielle est nulle :

equation   (42.317)

L'énergie totale de la particule présente donc une suite discrète de valeurs, les seules permises. La valeur de L est quant à elle déterminée à l'aide du modèle de Bohr ou de Sommerfeld en fonction des cas (cf. chapitre Physique Quantique Corpusculaire).

L'énergie totale de la particule ci-dessus sont les "valeurs propres" de l'énergie dans le puits de potentiel.

Donc l'équation de Schrödinger permet de faire abstraction du 3ème postulat de Bohr dans le sens où elle explicite directement la notion de quantification des niveaux par des valeurs entières (discrètes) solution des conditions aux limites d'un puits de potentiel considéré comme parfait.

Les fonctions d'onde correspondantes dans le puits où equation sont donc:

equation   (42.318)

Soit après simplification :

equation   (42.319)

C'est l'expression d'une des solutions de l'équation pour le puits de potentiel rectangulaire idéal. Ainsi, il existe une suite discrète de fonctions d'onde solutions. Ce sont les "fonctions propres" de la particule.

La constante equation dans cette expression est déterminée par la normalisation de De Broglie (dont nous avions parlé au début de ce chapitre), c'est-à-dire par la condition:

equation   (42.320)

Nous trouvons alors (calcul d'intégration normelement élémentaire):

equation   (42.321)

et l'expression finale de la fonction d'onde associée à la valeur propre equation se lit donc:

equation   (42.322)

Certains physiciens ont pour habitude de noter cela sous forme complexe en ne prenant que la partie réelle de l'expression (nous utilisons la "formule d'Euler" vue lors de l'introduction aux complexes dans le chapitre des Nombres):

equation   (42.323)  

avec:

equation   (42.324)

Nous disons alors que nous avons des "conditions de quantification" sur k imposées par les conditions aux limites.

Cette notation est parfois utile et nous l'utiliserons lors de l'étude de l'effet tunnel dans le chapitre de Physique Nucléaire.

Nous pouvons déduire de l'expression obtenue, les propriétés principales des fonctions d'onde décrivant les états stationnaires de la particule dans une boîte:

1. La figure ci-dessous représente des fonctions equationet des densités de probabilités equation pour les premiers niveaux d'énergie equation:

equation
  (42.325)

Nous remarquons que (évidemment nous pourrions analyser ceci de façon analytique et non graphique si nous le désirions), en plus des points equation et equation, equation a (n-1) zéros situés en:

equation avec equation   (42.326)

Ces points, où la fonction d'onde et la densité de probabilité sont nulles, sont appelés "points nodaux" ou simplement "noeuds" de la fonction d'onde. Le nombre de noeuds augment quand n augmente, c'est-à-dire quand l'on passe à des états de plus en plus excités. La fonction d'onde equation de l'état fondamental à:

equation et donc equation   (42.327)

n'a pas de noeuds, celle du premier état excité equation d'énergie:

equation   (42.328)

a un point nodal, celle du deuxième état excité equation a deux points nodaux, etc... La variation des propriétés nodales des fonctions d'onde quand n varie traduit l'orthogonalité des états stationnaires d'énergie différente. En effet, nous vérifiions aisément que equation est nul quand equation:

equation   (42.329)

2. Comme nous pouvons le voir sur la figure précédente, la densité de probabilité associée à tout état stationnaire de la particule est symétrique par rapport au point médian equation

Nous anticipons donc que la valeur moyenne de x sera exactement égale à L/2 dans un tel état. En effet nous avons vu dans le chapitre de Statistique que l'espérance (moyenne) d'un événement de probabilité P(x) est définie par:

equation   (42.330)

x, E(x) et P(x) n'ont pas d'unités (attention nous allons faire une analyse dimensionnelle).

Or, en physique quantique E(x) et x sont des grandeurs dimensionnelles identiques. Ce qui signifie que les dimensions de P(x) doivent annuler celles de dx. Ainsi, nous devinons suite à l'étude des conditions de normalisation de De Broglie que:

equation   (42.331)

qui est une probabilité linéique de présence de la particule.

Le domaine d'intégration étant [0; L] nous avons finalement:

equation   (42.332)

Egalement sans démonstration car ce résultat est trop évident (si jamais il ne l'est pas pour vous dites-le nous et nous ajouterons le développement comme pour tout autre chose dans ce site d'ailleurs), la quantité de mouvement le long x est nulle: equation

Nous pouvons par ailleurs vérifier sans trop de peine que ce nous avons vu lors de l'énoncé du 2ème postulat se vérifie bien dans cet exemple. C'est-à-dire que les fonctions propres de l'onde sont reliées à l'opérateur hamiltonien via les valeurs propres de l'énergie :

equation   (42.333)

Effectivement, dans notre exemple, cela donne:

equation   (42.334)

voilà... pour la première approche du problème. Voyons maintenant la deuxième :

2ème approche

Nous avons donc l'équation de Schrödinger dans le cas unidimensionnel :

equation   (42.335)

Dans les régions situées en dehors de la boîte où le potentiel est infini, nous avons :

equation   (42.336)

Soit :

equation   (42.337)

ce qui donne :

equation   (42.338)

Ainsi, les fonctions d'onde sont nulle dans les régions où le potentiel est infini.

Considérons maintenant le cas du puits où puisque le potentiel électrostatique est nul l'équation de Schrödinger se réduit à:

equation   (42.339)

C'est donc une équation différentielle linéaire d'ordre 2 avec des coefficients constants, équation qu'il est relativement aisé de résoudre dans le cas général (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). Soit l'équation :

equation   (42.340)

En nous aidant des résultats obtenus lors du traitement de la solution particulière, supposons que la fonction y qui satisfait cette équation différentielle soit de la forme equation. Nous avons alors :

equation ou equation   (42.341)

pourvu, bien sûr, que equation. Cette dernière relation est donc l'équation quadratique auxiliaire de l'équation différentielle (polynôme caractéristique). Elle a deux solutions/racines (c'est une simple résolution d'un polynôme du deuxième degré) que nous noterons dans le cas général equation. Ce qui signifie que :

equation et equation   (42.342)

est satisfait pour les deux racines. Si nous faisons la somme puisque les deux sont égales à la même constante :

equation   (42.343)

Ainsi, il est immédiat que la solution générale de y est du type  :

equation   (42.344)

où le lecteur devrait normalement sans peine pouvoir vérifier que l'ajout des constantes A et B ne changent en rien les développements des paragraphes précédents.

Dans le cas qui nous occupe :

equation   (42.345)

L'équation quadratique est :

equation   (42.346)

soit :

equation   (42.347)

Donc finalement la solution générale est de la forme :

equation   (42.348)

Posons maintenant :

equation   (42.349)

Nous avons alors :

equation   (42.350)

avec :

equation et equation   (42.351)

Il faut maintenant déterminer A' et B' en utilisant les conditions aux limites. Ainsi, en x=0 et x=L nous devrions avoir equation et nous avons pour x=0 :

equation   (42.352)

Le coefficient A' doit donc être nul. Et en x=L nous devrions avoir :

equation   (42.353)

Mais dans ce cas, B' doit être différent de zéro. En effet, s'il était nul, la fonction d'onde serait nulle dans tout le puits ce qui est contraire à la réalité physique du problème. Il faut donc que ce soit le sinus qui soit nul, ou encore que son argument soit égal à un multiple d'un nombre entier non nul d'angle equation tel que :

equation   (42.354)

Donc :

equation   (42.355)

Nous retrouvons donc exactement le même résultat que la méthode précédente.

Il reste à déterminer B et la méthode est exactement identique à la première méthode de résolution que nous avons vu plus haut. Ainsi, nous avons bien :

equation   (42.356)

Ce qui est important surtout dans cette méthode c'est de se souvenir pour plus tard de la forme générale de la solution :

equation   (42.357)


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