FORMALISME DE DIRAC



PHYSIQUE QUANTIQUE ONDULATOIRE

1. Postulats

1.1. 1er postulat : état quantique

1.2. 2ème postulat : évolution temporelle d'un état quantique

1.3. 3ème postulat : observables et opérateurs

1.4. 4ème postulat : mesure d'une propriété

1.5. 5ème postulat : moyenne d'une propriété

2. Principes d'incertitudes classiques

2.1. Première relation d'incertitude classique

2.2. Deuxième relation d'incertitude classique

2.3. Troisième relation d'incertitude classique

3. Algèbre quantique

3.1. Opérateurs linéaires fonctionnels

3.1.1. Opérateurs adjoints et hermitiques

3.1.2. Commutateurs et anti-commutateurs

3.1.3. Principes d'incertitudes de Heisenberg

3.2. Représentatives

3.3. Valeurs et fonctions propres

3.3.1. Orthogonalité des fonctions propres

4. Formalisme de Dirac

4.1. Kets et Bras

5. Modèle de Schrödinger

5.1. Onde associée de De Broglie

5.2. Onde thermique associée de De Broglie

5.3. Équation classique de Schrödinger

5.3.1. Hamiltonien de Schrödinger

5.3.2. Condition de normalisation de de Broglie

5.3.3. Etats liés et non liés

5.4. Equation d'évolution classique de Schrödinger

5.4.1. Opérateur d'évolution

5.4.2. Séparation des variables

5.4.3. Combinaison linéaires des états

5.4.4. Equation de continuité

6. Implications et Applications

6.1. Particule libre

6.2. Puits de potentiel à parois rectilignes

6.2.1. 1ère approche

6.2.2. 2ème approche

6.3. Oscillateur harmonique

6.4. Effet tunnel

6.5. Principe de superposition

7. Théorème d'Ehrenfest

8. Moment cinétique et spin

8.1. Couplage spin-orbite

9. Dimensions de Planck

10. Interprétation de Copenhague

Dirac a conçu un formalisme général très pratique, mondialement utilisé par les physiciens, dont nous allons donner les éléments essentiels. Les notations utilisées ont d'ailleurs été déjà partiellement introduites dans ce qui a précédé.

Nous utiliserons le formalisme de Dirac pour deux points, le premier étant de mieux comprendre ce qui a été vu jusqu'à maintenant lors de l'introduction aux opérateurs fonctionnels, le second étant d'introduire à une notation et une méthode de résolution que l'on retrouve dans certains ouvrages. Par ailleurs, dans ce site par simplification d'écriture nous utiliserons parfois ce formalisme.

KETS ET BRAS

Nous considérons un espace vectoriel equation à n dimensions où n peut très bien être infini (espace de Hilbert). Un vecteur est défini par n composantes equation que nous pouvons ranger en colonne pour former une matrice colonne :

equation   (42.121)

Nous dirons que cette matrice décrit le "vecteur droit" ou le "ket" equation (cela doit vous rappeler les "représentatives"). Il est possible d'associer à la matrice colonne la matrice adjointe (transposée conjuguée) :

 equation   (42.122)

où les equation sont les complexes-conjugués des equation. Nous dirons que la matrice ligne adjointe décrit le "vecteur gauche" ou le "bra" equation(cela doit également vous rappeler les "représentatives").

L'addition et la multiplication par un nombre equation vont de soi. Notons que si equation, nous avons trivialement equation.

Avec deux vecteurs de composantes equation et equation, nous pouvons former la quantité suivante, dite "produit scalaire hermitique" :

equation   (42.123)

nous convenons de l'écrire equation. Notons que:

equation   (42.124)

le produit scalaire hermitique n'est donc pas simplement commutatif!

Le produit equation dépend linéairement de equation et de equation. Réciproquement si un nombre Q dépend linéairement d'un ket equation, il existe un bra equation tel que :

equation   (42.125)

En mécanique quantique, equation est appelé "l'amplitude" d'être dans l'état x si le système est dans l'état y. Ce produit scalaire hermitique sera interprété comme la probabilité que le système physique soit dans l'état x s'il est dans l'état y.

Une base orthonormée de l'espace étudié est constituée par n vecteurs equation tels que :

equation   (42.126)

où rappelons-le, equation est le symbole de Kronecker (cf. chapitre de Calcul Tensoriel).

Tout vecteur equation de equation peut se développer sur cette base selon (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

equation   (42.127)

où les equation sont les composantes de equation dans la base choisie. Nous vérifions vraiment aisément que (déjà vu maintes fois dans le chapitre de Calcul Vectoriel):

equation   (42.128)

Si un ket equation dépend linéairement d'un ket equation, nous écrivons symboliquement:

equation   (42.129)

equation est un opérateur linéaire. Soit donc un opérateur linéaire défini par la relation précédente et un bra equation, le produit scalaire hermitique:

equation   (42.130)

est un nombre Q qui dépend linéairement de equation. D'après ce qui a été vu plus haut, il existe un bra equation tel que equation. equation dépend visiblement de equation de manière linéaire. Nous convenons de poser:

equation   (42.131)

A l'aide de cette convention, nous pouvons écrire:

equation   (42.132)

Si equation, equation dépend linéairement de equation. Par définition, nous écrirons:

equation   (42.133)

equation est l'opérateur adjoint de equation

Formons avec un bra equation le produit scalaire hermitique:

equation   (42.134)

et nous pouvons écrire (nous l'avons démontré précédemment):

equation   (42.135)

d'où la relation de première importance que nous avons déjà rencontré plusieurs fois sans en avoir expliqué vraiment l'origine :

equation   (42.136)

Nous rappelons simplement avec cette relation qu'un opérateur hermitique est un opérateur égal à son adjoint.

Grâce au formalisme de Dirac, ce qui était avant définitions abstraites sont devenus maintenant des évidences démontrées.

Remarque: A nouveau, un excellent exemple pratique d'application du formalisme de Dirac est proposé dans le chapitre d'Informatique Quantique (voir section d'Informatique Théorique).

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