DIMENSIONS DE PLANCK



PHYSIQUE QUANTIQUE ONDULATOIRE

1. Postulats

1.1. 1er postulat : état quantique

1.2. 2ème postulat : évolution temporelle d'un état quantique

1.3. 3ème postulat : observables et opérateurs

1.4. 4ème postulat : mesure d'une propriété

1.5. 5ème postulat : moyenne d'une propriété

2. Principes d'incertitudes classiques

2.1. Première relation d'incertitude classique

2.2. Deuxième relation d'incertitude classique

2.3. Troisième relation d'incertitude classique

3. Algèbre quantique

3.1. Opérateurs linéaires fonctionnels

3.1.1. Opérateurs adjoints et hermitiques

3.1.2. Commutateurs et anti-commutateurs

3.1.3. Principes d'incertitudes de Heisenberg

3.2. Représentatives

3.3. Valeurs et fonctions propres

3.3.1. Orthogonalité des fonctions propres

4. Formalisme de Dirac

4.1. Kets et Bras

5. Modèle de Schrödinger

5.1. Onde associée de De Broglie

5.2. Onde thermique associée de De Broglie

5.3. Équation classique de Schrödinger

5.3.1. Hamiltonien de Schrödinger

5.3.2. Condition de normalisation de de Broglie

5.3.3. Etats liés et non liés

5.4. Equation d'évolution classique de Schrödinger

5.4.1. Opérateur d'évolution

5.4.2. Séparation des variables

5.4.3. Combinaison linéaires des états

5.4.4. Equation de continuité

6. Implications et Applications

6.1. Particule libre

6.2. Puits de potentiel à parois rectilignes

6.2.1. 1ère approche

6.2.2. 2ème approche

6.3. Oscillateur harmonique

6.4. Effet tunnel

6.5. Principe de superposition

7. Théorème d'Ehrenfest

8. Moment cinétique et spin

8.1. Couplage spin-orbite

9. Dimensions de Planck

10. Interprétation de Copenhague

Il convient d'ouvrir une petite paranthèse pour finir sur la constante de Planck (car beaucoup d'ouvrages font mention de ce que nous allons voir sans les précautions de rigueur). Nous venons de voir que la mesure des objets dépend du principe d'indétermination de Heisenberg. Cette précision joue tant sur les mesures du temps que sur la trajectoire des particules ou la densité d'énergie de l'Univers. Voyons que cela à par extension... d'autres éventuelles implications.

Nous avons démontré précédemment au début de ce chapitre qu'une des relations d'incertitudes est donnée, en prenant le module, par (de l'ordre de la constante de Planck donc à un facteur près) :

equation   (42.104)

Grossièrement, nous pouvons donc dire qu'à une fluctuation equation de l'espace (à ne pas confondre avec la notation de la longueur d'onde), nous pouvons associer la quantité de mouvement :

equation   (42.105)

À celle-ci correspond, d'après nos résultats du chapitre de Relativité Restreinte, la relation l'énergieequation , ou la masse équivalente (en divisant par equation) p/c. En désignant par M cette masse associée à la perturbation equation, nous avons donc :

equation   (42.106)

La gravitation due à cette masse est caractérisée par une longueur R que nous déterminerons en ordre de grandeur en écrivant que l'énergie potentielle qui lui est associée (cela suppose que la gravitation classique et quantique sont régies par les mêmes lois...), equation(cf. chapitre de Mécanique Classique), est égale à la masse-énergie equation. Cela donne:

equation   (42.107)

ou, en remplaçant M par son expression précédente :

equation   (42.108)

Pour qu'il n'y ait pas auto-amplification (et donc divergence) du phénomène de fluctuation quantique du vide, nous devons avoir de préférence equation. En écrivant l'égalité entre ces deux grandeurs, nous aboutissons donc à une quantité qui représente la dimension minimale (en ordre de grandeur) que puisse concevoir la physique. C'est la fameuse "longueur de Planck" :

equation   (42.109)

pour laquelle il correspond la période ou "temps de Planck" equationd'où :

equation   (42.110)

Nous pouvons maintenant revenir à une autre expression plus intéressante de la masse fluctuante. Puisque :

equation et equation   (42.111)

nous avons dès lors la "masse de Planck" :

equation   (42.112)

L'analyse dimensionnelle nous donne à une constante près et selon le théorème du Viriel (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus):

equation   (42.113)

et donc :

equation   (42.114)

d'où la "température de Planck" :

equation   (42.115)

et encore "l'énergie de Planck" :

equation   (42.116)

Après tout cela, nous obtenons facilement la "densité de Planck" :

equation   (42.117)

Nous pouvons nous amuser à obtenir encore d'autres valeurs de Planck encore mais qui ne veulent plus dire grand chose à force (et nous pourrions continuer ainsi longtemps avec énormément d'autres grandeurs) :

La "force de Planck" :

equation   (42.118)

La "puissance de Planck" :

equation   (42.119)

La "pulsation de Planck" :

equation   (42.120)

En procédant avec le même raisonnement initial fait avec la masse mais en utilisant l'énergie potentielle électrostatique au lieu de l'énergie potentielle gravitationnelle nous pouvons obtenir la "charge de Planck" :

equation   (42.121)

Dès lors nous pouvons calculer un "courant de Planck" :

equation   (42.122)

ainsi que la "tension de Planck" :

equation   (42.123)

et "l'impédance de Planck" (...) :

equation   (42.124)

Remarque: Certains physiciens se sont servis (et se servent toujours) des résultats ci-dessus pour des raisonnements farfelus et dangereux qui ne sont que interprétation. Il convient donc de prendre avec des pincettes toutes les informations relatives aux dimensions de Planck que vous pourriez trouver (même si celles-ci sont fort semble sympathiques). L'exemple le plus connu est donné par la longueur d'onde de Compton equation (cf. chapitre de Physique Nucléaire) qui dépend de la masse-énergie du photon. Si cette longueur d'onde est égale au rayon de Schwarzschild classique pour la même masse-énergie (cf. chapitre d'Astrophysique), alors dans ce cas sa valeur est celle de la longueur de Planck et sa masse est égale à la masse de Planck. Il est alors tentant de dire que la particule forme alors un trou noir. Mais il s'agit d'une analogie car dans ce cas, rien ne nous dit que l'expression du rayon de Schwarzschild s'applique à la physique quantique...

INTERPRÉTATION DE COPENHAGUE

En 1930, l'interprétation probabiliste de l'amplitude de l'onde d'une particule et le principe d'incertitude d'Heisenberg constituent les éléments de l'interprétation "standard " non déterministe de la physique quantique comme nous en avons déjà fait mention au début de ce chapitre. Cette interprétation est souvent appelée "interprétation de Copenhague", car Niels Bohr qui y contribua largement y dirigeait un institut de physique renommé à cette époque. Pourtant de nombreux physiciens tels Einstein et Schrödinger, qui acceptaient la formulation mathématique de la physique quantique, n'étaient pas à l'aise avec l'interprétation de Copenhague et la critiquaient. Et jusqu'à nos jours, la question de l'interprétation correcte de la formulation mathématique reste un problème.

En effet, nous pouvons nous poser la question suivante : Où se trouve la réalité? Y-a-t-il une réalité? Niels Bohr répond non : il n'y a rien au niveau quantique, la réalité n'existe ou n'apparaît que lors d'une mesure. Cette vision partagée par la plupart des physiciens (interprétation de Copenhague), implique que la mesure "crée" la position de l'électron (voir le sous-chapitre traitant du principe de superposition linéaire des états)

Einstein pensait que la physique quantique, bien que très efficace et très impressionnante, n'est pas complète et ne donne qu'une image imparfaite du monde quantique. Pour lui, il y aurait autre chose, au-delà, qui clarifierait et affinerait notre présente vision.

Ainsi, dans l'interprétation de Copenhague de la mécanique quantique le principe d'incertitude signifie qu'à un niveau élémentaire, l'univers physique n'existe plus de manière déterministe, mais plutôt comme une série de probabilités ou de potentiels. Par exemple le motif produit par des millions de photons passant à travers une fente de diffraction peut être calculé à l'aide de la mécanique quantique, mais le chemin de chaque photon ne peut être prédit par aucune méthode connue. L'interprétation de Copenhague dit qu'il ne pourra être calculé par aucune méthode. C'est cette interprétation qu'Einstein mettait en doute lorsqu'il disait : "je ne peux pas croire que Dieu joue aux dés avec l'Univers". D'un point de vue physique autant que philosophique, le principe d'incertitude implique la réfutation du déterminisme universel défendu par Laplace au début du 19ème siècle.

Une réduction instantanée des états se produit dès l'observation du système. Cette décision aléatoire de l'état observé respecte les probabilités, correspondant au carré des amplitudes des états. De surcroît, l'interprétation de Copenhague stipule que lors d'une mesure, un processus de réduction, originaire de l'objet macroscopique, élimine les superpositions d'états quantiques.

L'interprétation de l'école de Copenhague conduit donc au problème de la mesure, l'expérience de pensée du chat de Schrödinger stipulant que lorsqu'on mesure une quantité, telle que la position ou l'impulsion, nous intervenons dans le processus de mesure en provoquant un changement radical de l'état quantique, de la fonction d'onde. Nous modifions les quantités mesurées de façon imprévisibles et cet état ne peut être décrit par l'équation déterminée de Schrödinger. Les physiciens et les philosophes ont réagit de plusieurs manières à cette interprétation :

- Soit nous considérons comme Bohr et Heisenberg que ce principe fait loi et qu'il est préférable de ne pas rechercher l'interprétation ultime. C'est une attitude qui est admise par la plupart des physiciens.

- Soit nous considérons que la physique quantique est une théorie incomplète et certains, tel Einstein, Eugene Wigner ou David Bohm n'ont pas hésité à rechercher d'autres solutions, stériles jusqu'à présent.

- Enfin, Hugh Everett III et bien d'autres prennent l'équation de Schrödinger très au sérieux, la considérant comme une représentation de la réalité. Ils considèrent que l'interprétation de l'école de Copenhague représente réellement l'évolution de la fonction d'onde. Les différents termes de l'équation correspondraient aux différents niveaux d'énergie dans lesquels se trouve le système. La réduction du paquet d'ondes s'interpréterait comme une division totale de l'objet et de l'instrument de mesure dans des univers parallèles.

Aujourd'hui le débat reste ouvert mais plusieurs expériences réalisées depuis les années 1930 nous permettent, pas à pas, de dissiper l'épais brouillard qui recouvre le fond de la réalité et de répondre à quelques questions. Cela dit, toutes ces expériences confirment néanmoins que l'époque des certitudes est bien révolue.