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ALGÈBRE QUANTIQUE

Sous ce terme peu courant et non officiel "d'algèbre quantique" (donc à ne pas en abuser!) nous souhaitons introduire et rappeler au lecteur des outils " mathématiques qui vont nous êtres très utiles pour résoudre certaines équations de la physique quantique. Il est donc de première importance de comprendre (ou d'avoir compris, en ce qui concerne les rappels) au mieux ce qui va suivre!

OPÉRATEURS LINÉAIRES FONCTIONNELS

Définition: Les "opérateurs linéaires" sont des êtres mathématiques agissant sur des fonctions ou vecteurs (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Les fonctions sur lesquelles peuvent opérer ses opérateurs peuvent être des fonctions d'une seule variable x, soit f(x), ou des trois coordonnées d'un point x, y, z soit f(x, y, z) ou écrit encore plus brièvement .

Nous serons amenés à écrire des intégrales de ces fonctions, qui sont le plus souvent étendues à tout l'espace. Dans le cas d'une fonction des trois coordonnées spatiales d'un point, nous adopterons la notation suivante :

  (42.43)

Ces notations, indispensables pour l'allègement des expressions que nous rencontrerons en physique quantique étant données, nous en revenons à nos opérateurs.

Partant d'une fonction f, si nous savons lui associer une fonction g de même nature, c'est-à-dire dépendant des mêmes variables, nous pouvons dire que g est le résultat de l'action d'un opérateur  sur f et écrire cela symboliquement comme un produit simple :

    (42.44)

Mais nous introduisons tout de suite une restriction fondamentale: se uls nous intéressent les opérateurs linéaires (comme en algèbre linéaire quoi...), c'est-à-dire par exemples tels que:

  (42.45)

quels que soient les coefficients ₁ et ₂.

Une catégorie très simple d' opérateurs est constituée par les nombres (scalaires réels ou complexes). En effet,  étant un nombre (typiquement l'opérature de position en physique quantique):

  (42.46)

dépend linéairement de f, définissant un opérateur linéaire que nous écrivons . Il y a deux cas particuliers importants:

1. Opérateur zéro:  où  sera une fonction bien évidemment nulle partout...

2. Opérateur unité (ou identité):  où (ce qui est tout aussi simple...)

Nous vérifions sans peine pour les opérateurs fonctionnels que ces derniers sont commutatifs par rapport à l'addition, associatifs par rapport à l'addition et la multiplication et distributif par rapport à l'addition à gauche et à droite (voir les chapitres de Théorie des Ensembles et Algèbre Linéaire au besoin).

Jusqu'à présent, rien ne distingue l'algèbre des opérateurs de celle des nombres. Mais il y a cependant deux propriétés qu'il faut toujours avoir en tête pour ne pas commettre des erreurs quand nous faisons du calcul d'opérateurs:

1. Deux opérateurs ne commutent pas en général par rapport à la multiplication (comme en algèbre linéaire...), c'est-à-dire qu'en général soit deux opérateurs fonctionnels et :

  (42.47)

Si nous rencontrons une expression telle que , nous n'avons donc pas le droit d'effectuer en général, la mise en facteur (il s'agit donc d'un structure particulière de groupe qui est non-commutatif)!

Exemple:

Un exemple simple et important, car utile pour la suite (très proche d'un cas pratique que nous verrons plus loin), de deux opérateurs qui ne commutent pas avec une fonction d'une seule variable est le suivant (où f est quelconque). Considérons l'opérateur d/dx agissant sur xf(x) :

  (42.48)

en simplifiant par f :

  (42.49)

Donc nous avons a ci-dessus un exemple de deux opérateurs qui ne commutent pas puisque:

  (42.50)

Exemple (d'opérateur):

Partons de l'équation de Schrödinger tridimensionnelle (que nous démontrerons plus loin) à admettre pour l'instant :

  (42.51)

ou bien écrit autrement (c'est plus esthétique...) avec le laplacien :

  (42.52)

ou encore:

  (42.53)

autrement encore...:

  (42.54)

Alors l'opérateur énergie totale (l'hamiltonien H en d'autres termes...) s'exprime comme :

  (42.55)

ou en notation lagrangienne :

  (42.56)

D'autre part, nous savons que :

  (42.57)

Les deux dernières expressions doivent être identiques. La seule possibilité pour satisfaire à ces égalités est de poser :

  (42.58)

qui sont les "opérateurs hermitiques de la quantité de mouvement" en mécanique quantique et dont il faudra se rappeler tout au long de ce chapitre!

Nous pouvons vérifier la justesse de ces opérateurs en les réinjectant dans l'expression de l'énergie cinétique :

  (42.59)

Par ailleurs, il est aisé de vérifier que ce développement reste juste si nous prenons le conjugué complexe de l'opérateur de la quantité de mouvement.

Ainsi, l'opérateur d'énergie totale (l'hamiltonien) est lui aussi bien hermitique! Ce résultat est très important pour vérifier par exemple des calculs en utilisant la propriété d'orthogonalité des fonctions propres que nous verrons plus loin.

OPÉRATEURS ADJOINTS ET HERMITIQUES

Considérons les deux intégrales étendues à tout l'espace (à l'intérieur de l'intégrale il s'agit d'une multiplication de fonctions et d'opérateurs) sans chercher à comprendre leur utilité pour l'instant:

 et   (42.60)

où rappelons que la notation  est le conjugué complexe de z. Il faut savoir que dans ces deux intégrales, et représentent des opérateurs.

Nous constatons dans les développement de la physique quantique qu'il y a entre les opérateurs et une correspondance biunivoque, nous disons que  est "l'adjoint" de  (la transposée de la conjuguée) ou qu'il est "hermitique" et nous écrivons :

  (42.61)

si les deux intégrales précédentes sont respectées.

De cette définition, nous déduisons l'identité suivante :

  (42.62)

L'opérateur adjoint a plusieurs propriétés, dont les seules qui vont nous intéresser dans ce chapitre sont:

P1. qui est inutile à démontrer car cette relation découle de la définition de l'opérateur adjoint.

P2.  étant envisagé comme un nombre complexe (opérateur particulier) nous avons alors . Ce que nous avons vérifié juste avant par l'exemple avec l'opérateur de quantité de mouvement!

Une catégorie extrêmement importante d'opérateurs est donc constituée par les "opérateurs hermitiques self-adjoints", ou plus simplement "opérateur hermitiques" égaux par définition à leurs adjoints :

  (42.63)

puisque ce sont les seules qui émergent dans les développements de la physique quantique ondulatoire.

Nous remarquons aussi que si nous prenons un opérateur hermitique (comme celui de la quantité de mouvement pour faire simple par exemple...) et que nous multiplions celui par le nombre imaginaire unitaire pur i alors il devient anti-hermitique, c'est-à-dire: nom-hermitique.

Un opérateur quelconque, soit , peut se décomposer d'une façon unique en parties hermitique et anti-hermitique, c'est-à-dire que nous pouvons écrire:

  (42.64)

où  sont donc hermitiques .

Démonstration:

Si : 

  (42.65)

car il s'agit d'un simple nombre complexe, alors: 

  (42.66)

La somme de l'opérateur et de son adjoint est donc un opérateur hermitique (la somme ou la soustractions entre opérateurs hermitiques, reste donc hermitique).

En général, il est trivial que le produit de deux opérateurs hermitiques  n'est pas nécessairement un opérateur hermitique, car nous vérifions que la condition pour laquelle le produit de deux opérateurs hermitiques soit lui-même hermitique, est que les deux opérateurs "commutent" (voir ce qui suit).

COMMUTATEURS ET ANTI-COMMUTATEURS

Définitions:

D1. Le "commutateur" de deux opérateurs  et , s'écrit :

  (42.67)

D2. "L'anti-commutateur" de deux opérateurs  et , s'écrit :

  (42.68)

Citons quelques propriétés évidentes des commutateurs (car ce sont ceux que nous utiliserons le plus):

  (42.69)

où  sont des nombre quelconques (les démonstrations sont faites - au besoin - pendant le développement d'exemples pratiques).

Cherchons l'adjoint de :

  (42.70)

d'où un résultat très simple: 

  (42.71)

ce qui pourra se vérifier aisément avec l'exemple pratique que nous ferons juste quelques lignes en-dessous.

La relation suivante est très utile dans la pratique (triviale, mais comme d'habitude au besoin nous pouvons rajouter la démonstration):

  (42.72)

nous avons de même:

  (42.73)

Nous démontrerons plus loin dans un cas concret, que si deux opérateurs ne commutent pas, alors il est impossible d'avoir un état ayant une valeur précise et unique pour les deux opérateurs à la fois (en physique quantique il existe une configuration d'expérience ou le premier opérateur représente la quantité de mouvement et le second la coordonnée spatiale). Ce résultat implique que les opérateurs sont souvent nommés des "observables".

Attardons nous un moment sur un exemple concret des commutateurs et dont un des résultats est fondamental!

Nous avons démontré plus haut les relations:

  (42.74)

Considérons la relation (simple différentielle mathématique habituelle):

  (42.75)

Si nous divisons par  des deux côtés de l'égalité et qu'ensuite nous multiplions par , nous obtenons :

  (42.76)

ce qui nous donne:

  (42.77)

donc il vient que le commutateur de x et  est égal à et donc que les quantités ne commutent pas. Nous avons donc la "relations d'anti-commutation" suivante :

  (42.78)
(cycl.)

Ainsi (en nous basant sur le deuxième postulat), les deux observables x et   dont les opérateurs ne commutent pas ne possèdent une base de vecteurs propres commune. Ils ne sont donc pas simultanément mesurables avec précision et constituent donc une incertitude d'Heisenberg.

Considérons donc maintenant aussi la relation :

  (42.79)

et en procédant de la même manière que précédemment, nous obtenons :

  (42.80)
(cycl.)

Les deux relations :

 et   (42.81)

peuvent se résumer à:

  (42.82)

en utilisant les coordonnées et moments généralisés et sont remarquables sous plusieurs angles:

- Premièrement, parce qu'à partir de considérations purement théoriques et mathématiques nous retrouvons également en physique quantique une incertitude équivalente (mais pas égale!) à celle obtenue lors de notre étude des principes d'incertitudes de Heisenberg (qui rappelons-le avaient été obtenues à partir d'un cas pratique classique). 

Effectivement, si nous prenons le module du commutateur de gauche, nous avons alors la "relation d'incertitude spatiale de Heisenberg" :

  (42.83)

qui rappelons-le, peut également s'écrire sous la forme:

  (42.84)

La constante de Planck étant extrêmement petite, cela explique que cet effet est impossible à détecter à notre échelle macroscopique. Par contre, la masse des électrons étant extrêmement petite aussi, la fraction ci-dessus devient notable pour un électron et l'effet de cette incertitude est important!

Enfin, par commutation des composantes du quadrivecteur impulsions (cf. chapitre de Relativité Restreinte), nous avons la "relation d'incertitude temporelle de Heisenberg" :

  (42.85)

Une conséquence fantastique découle de l'incertitude sur le temps et l'énergie et de la relativité. Imaginons-nous le vide le plus total (vide quantique) et supposons que nous regardions ce qui ce passe en un point de l'espace donné pendant un temps très court. Alors le principe d'incertitude temporelle nous dit que l'énergie de cet état (le vide!) est très imprécise. Or la relativité dit que l'énergie c'est aussi de la masse (et aussi un champ), donc des particules. Donc, pendant ce temps très court des particules peuvent apparaître spontanément du vide ! Nous les appelons des "particules virtuelles" car elles disparaissent très vite et sont engendrées par les "fluctuations quantiques du vide".

Cette variation est suffisamment faible pour que nous puissions la mesurer aujourd'hui avec nos instruments. Cependant, nous en observons les effets seulement dans les grands collisionneurs de particules de la planète.

- Deuxièmement, ces relations sont remarquables parce que l'incertitude est une valeur complexe. Ce qui amène à considérer que le corps des complexes est inhérentà la structure réaliste de notre environnement (espace-temps) au niveau du monde quantique. Le monde quantique est donc un monde d'incertitude complexe. Et cette probabilité ne semble pas être une conséquence de notre imprécision ou de notre ignorance mais semble bien être une propriété intrinsèque de la nature.

REPRÉSENTATIVES

Introduisons maintenant les notations quantiques contemporaines, que nous considérons pour l'instant comme des abréviations d'intégrales portant sur des fonctions d'ondes, nous écrirons (dans le but futur de calculer des densités de probabilités) :

  (42.86)

car il s'agit d'un produit scalaire fonctionnel complexe (cf. chapitress d'Analyse Fonctionnelle et de Calcul Vectoriel).

Avec cette notation, la relation que nous avions présentée lors de notre étude des opérateurs :

  (42.87)

devient (c'est plus léger déjà... mais moins pédagogique) :

  (42.88)

Cela dit, l'ensemble E des fonctions  qui nous intéressent en physique quantique ondulatoire constituent un espace linéaire fonctionnel. Effectivement, en physique quantique, les équations différentielles que nous devons résoudre (équation de Schrödinger) pour décrire le comportement d'une particule, sont telles que la solution générale peut être très souvent décomposée en la somme des solutions particulières (nous démontrerons cela!). En mathématique, nous disons alors que les états sont linéaires, c'est-à-dire que toute combinaison d'états est encore un état.

Ainsi l'état d'une particule est, comme nous le démontrerons plus tard, représenté par un "état quantique" ou un "vecteur d'état" noté qui correspond aussi à une fonction mathématique la décrivant complétement.

Par exemple, si  et  sont deux états possibles, alors:

    (42.89)

est également un état possible pour le système (de par la propriété des espaces linéaires fonctionnels).

Revenons maintenant à notre espace linéaire fonctionnel (ou "espace linéaire des états").  Le fait que l'ensemble E des fonctions  qui nous intéressent constituent un espace linéaire fonctionnel signifie que si , nous avons aussi :

  (42.90)

quels que soient les coefficients et (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Si les fonctions  constituent un espace, il est alors naturel de chercher à les rapporter à une base orthonormée. Ainsi, une suite de fonctions (qui sont les fonctions propres) constituera une base orthonormée si nous avons (forme de relation démontrée en calcul tensoriel):

  (42.91)

où nous le rappelons, est le symbole de kronecker (cf. chapitre de Calcul Tensoriel).

Définition: La base est dite "base complète" si bien évidemment toute fonction peut se développer en série des fonctions propres  tel que:

  (42.92)

où  est un nombre quelconque (c'est en partie ici qu'il faut revenir aux quatrième et cinquième postulats de la physique quantique ondulatoire).

Calculons maintenant le produite scalaire fonctionnel (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle):

  (42.93)

Cette dernière relation montre que nous avons identiquement (nous changeons la notation des indices):

    (42.94)

Ainsi, dans une base orthonormée complète , une fonction  sera bien décrite par la donnée des coefficients . Nous aurons souvent intérêt à les mettre sous le format de la matrice représentative de  dans la base  :

    (42.95)

Considérons maintenant un opérateur  tel que:

  (42.96)

Mais nous pouvons également écrire (remarquez l'apostrophe dans la relation!):

    (42.97)

Multiplions cette dernière relation par  et calculons le produit scalaire fonctionnel:

  (42.98)

A comparer avec (obtenu plus haut) :

  (42.99)

En notant , la "matrice représentative" de  dans la base , nous pouvons d'après la relation :

  (42.100)

écrire finalement :

    (42.101)

VALEURS ET FONCTIONS PROPRES

Soit un opérateur (hermitique ou non). Le nombre a est dit "valeur propre de l'opérateur" de , s'il existe une fonction  non identiquement nulle telle que (pour un rappel de notions similaires voir le chapitre d'Algèbre Linéaire) :

  (42.102)

 est alors une "fonction propre" (en analogie avec les "vecteurs propres") de , associée à la valeur propre de a. Notons que a peut très bien être nul (vous comprendrez mieux cela au moment où nous passerons à l'étude de cas concrets).

En des termes plus physiques, cela revient à dire que lorsqu'un état (une fonction mathématique au sens formel tel que ) est inchangée par un opérateur, l'état est alors appelé "état propre" ou "vecteur propre" du système.

Soit l'ensemble  des fonctions propres associées à a et un espace linéaire fonctionnel, que nous nommerons le "sous-espace propre associé" à a. Le nombre de dimensions de  s'appelle "multiplicité" (ou "ordre de dégénérescence") de la valeur propre a, et nous le notons g.

Soit maintenant a une valeur propre simple, ou non dégénérée, . Cela veut dire qu'il y a une seule fonction propre associée à a, à un coefficient multiplicatif non nul près. 

Si  (valeur propre double), nous pouvons trouver deux fonctions propres non proportionnelles (non liées) associées à a, etc.

Exemple:

Voyons un exemple particulier d'une fonction propre avec une valeur propre autre que le cas classique de l'énergie.

Soit:

  (42.103)

avec  (opérateur que nous avons déjà vu précédemment) et a une valeur propre.

L'équation devient: 

  (42.104)

qui se vérifie aisément si :

  (42.105)

qui est bien une fonction propre de l'opérateur susmentionné et qui nous sera des plus utiles dans ce qui va suivre.

ORHTOGONALITÉ DES FONCTIONS PROPRES

Deux fonctions propres  et  associées à deux valeurs propres différentes sont orthogonales, c'est-à-dire que:

  (42.106)

Démonstration:

Partons avec la notation de de Dirac avec deux fonctions propres et deux valeurs propres associées:

  (42.107)

avec .

Nous multiplions respectivement les deux relations précédentes par , et nous intégrons pour obtenir le produit scalaire fonctionnel:

 
  (42.108)

Rappelons pour continuer que nous avons démontré que:

  (42.109)

donc si l'opérateur  est auto-adjoint (ce qui est le cas de l'hamiltonien comme nous l'avons montré), c'est-à-dire que , nous avons:

  (42.110)

Dès lors, en retranchant de la dernière relation le complexe conjugué de l'avant dernière, a étant supposé réel (ou un entier...), nous avons :

  (42.111)

ce qui montre bien que:

   (42.112)

puisque .

C.Q.F.D

Voyons la même démonstration mais avec la notation traditionelle et plus pédagogique donne:

  (42.113)

Si nous multiplions la première équation à gauche par , et la seconde équation par , et que nous intégrons sur la totalité de l'espace, nous obtenons les deux expressions suivantes:

  (42.114)

Si nous prenons le cas de fonctions réelles, nous pouvons écrire:

  (42.115)

L'opérateur H étant hermitique (auto-adjoint) comme nous l'avons démontré plus haut, nous avons:

  (42.116)

et comme  sont admis comme étant des fonctions réelles, nous avons aussi:

  (42.117)

Donc:

  (42.118)

S'écrit:

  (42.119)

Il vient alors:

  (42.120)

ce qui montre bien que  sont orthogonales selon la définition du produit scalaire fonctionnel.

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