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COURS DE PHYSIQUE QUANTIQUE ONDULATOIRE

Fille de l'ancienne théorie des quanta (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire), la physique quantique ondulatoire appelée aussi "mécanique quantique" constitue le pilier d'un ensemble de théories physiques que nous regroupons sous l'appellation générale de "physique quantique".

Cette dénomination s'oppose à celle de la physique classique, celle-ci échouant dans sa description du monde microscopique (atomes et particules) ainsi que dans celle de certaines propriétés du rayonnement électromagnétique (voir typiquement les expériences des fentes de Young dans le chapitre d'Optique Ondulatoire) ou des semi-conducteurs (voir typiquement l'Effet Hall dans le chapitre d'Électrocinétique).

La mécanique quantique a repris et développé l'idée de dualité onde-corpuscule introduite par De Broglie et Bohr consistant à considérer les particules de matière non pas seulement comme des corpuscules ponctuels, mais aussi comme des ondes, possédant une certaine étendue spatiale (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire). Ces deux aspects onde/corpuscule des particules ("quanton"), mutuellement exclusifs, ne peuvent être observés simultanément. Si nous observons une propriété ondulatoire, l'aspect corpusculaire disparaît et réciproquement.

A ce jour, aucune contradiction n'a pu être décelée entre les prédictions de la mécanique quantique et les tests expérimentaux associés. Ce succès a hélas un prix : la théorie repose sur un formalisme mathématique assez abstrait, qui rend son abord assez difficile. Ce qui est plus difficile encore c'est qu'il est très difficile, voir impossible, de présenter ce domaine de la physique de manière pédagogique linéaire... Ceci à pour conséquence que bon nombre d'ouvrages à son sujet (dont le présent texte ne serait être exclu), qu'ils s'adressent à des spécialistes ou non, voient leur explications ou textes soumis à de nombreuses critiques d'interprétations, de relecture et de compléments.

Pour en sortir il est favorable de prendre pour base le "principe d'objectivité" du à Heisenberg qui est à la base de la "mécanique quantique standard" : existe ce qui est expérimentalement observable.

Ce principe est admis par la majorité des physiciens, mais non la totalité. Un électron est il présent à plusieurs endroits? Pour que cela soit recevable il faut une expérience qui le trouve à plusieurs endroits, ce qui est impossible donc nous ne sommes pas tenu de répondre à la question! Dire qu'il est à plusieurs endroits avant que nous l'observions n'est pas recevable en physique: principe d'objectivité. D'une manière générale, nous allons donc aussi renoncer à la notion de trajectoire et de mouvement, ce qui va permettre, de lever la contradiction du freinage par rayonnement (cf. chapitre d'Électrodynamique) : car il n'y a plus de mouvement au sens classique. Les notions de vitesse et d'accélération perdent tout sens à cette échelle!

Une minorité de physiciens nient ce principe et ont fondé une mécanique quantique non standard avec des grandeurs classiques ce qui explique que l'on puisse trouver surtout dans les revues de vulgarisation des exposés qui s'écartent de la mécanique quantique standard (celle de la majorité des physiciens). Cette version non standard donne les mêmes prévisions pour tout expérience réalisable, c'est donc un modèle possible.

En conclusion la mécanique quantique est une théorie inachevée dans laquelle beaucoup de points sont assez obscurs.

POSTULATS

Contrairement à la majorité des ouvrages sur le sujet, nous sommes pédagogiquement (et non pas techniquement!) très peu convaincus quant à l'impact de la présentation des postulats de la mécanique quantique au début de son étude dans les classes. Nous nous permettons d'exposer nos raisons (expérience faite):

1. Ils peuvent se déduire de raisonnements mathématiques simples et logiques (algèbre élémentaire et probabilités) fondées sur les postulats de la physique quantique corpusculaire et du principe de complémentarité et découlent donc d'une évolution de cette dernière. Même si rigoureusement la démarche est fausse au moins elle est pédagogique!

2. Ces postulats sont indigestes, voir incompréhensibles si la mécanique quantique (son formalisme et son vocabulaire) n'a pas été d'abord appréhendée par un certain nombre d'exercices ou d''un usage régulier.

Nous pouvons alors considérer que les seuls éléments non démontrables théoriquement (à notre connaissance) qui auraient leur place au rang de postulat seraient : le principe de complémentarité de De Broglie (nous en parlerons plus tard), la loi de Planck (déjà vue au chapitre précédant) et la mesure d'un observable.

Cependant..., dans l'objectif de respecter la tradition, et surtout de respecter la méthodologie scientifique, nous avons choisi de quand même présenter ces postulats en début de ce chapitre mais sans trop insister dessus. Nous conseillons cependant vivement au lecteur non averti, de lire ceux-ci sans trop chercher à les comprendre mais simplement de penser à y revenir régulièrement pendant la lecture du chapitre. Dès lors, tout deviendra probablement plus limpide et la lumière sera...

1ER POSTULAT : ÉTAT QUANTIQUE

L'état d'un système quantique classique est spécifié par les coordonnées généralisées (cf. chapitre de Mécanique Analytique) et est complètement décrite par une fonction notée en toute généralité:

  (42.1)

dite "fonction d'état" ou "fonction d'onde", dont le module au carré (multiplication de la fonction par son conjugué) donne la densité de probabilité de trouver instantanément le système dans la configuration au temps t (si le système est dépendant du temps):

  (42.2)

ce que nous justifierons plus loin!

En corollaire, la particule étant nécessairement située quelque part dans l'espace entier, nous avons la condition de normalisation que l'intégrale sur tout l'espace vaut :

  (42.3)

à un facteur de phase près. En d'autres termes doit être normée, ce que nous appelons traditionellement la "condition de normalisation de De Broglie".

Rapellons qu'un "facteur de phase" est un facteur complexe constant de module unitaire. Nous pouvons l'écrire (selon ce que nous avons étudié dans le chapitre des Nombres lors de notre étude des nombres complexes) , où est un angle quelconque, appelé la "phase" (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire). Nous démontrerons aussi plus loin en toute rigueur pourquoi celui-ci n'a aucune influence.

Nous pouvons formuler ce postulat de manière un peu plus formelle car comme nous le verrons dans plusieurs exemples, la fonction d'onde est souvent un polynôme complexe qui peut dès lors s'exprimer dans l'espace de Hilbert des polynômes. Cela donne dès lors dans le langage du formalisme bra-ket de Dirac (voir plus loin les détails) la définition suivante:

Le vecteur d'état "ket" représenté par appartenant à l'espace vectoriel (espace de Hilbert) définit l'état du système quantique à l'instant t. Ce vecteur d'état possède toutes les propriétés mathématiques requises par la physique quantique et en particulier le produit scalaire du vecteur par le vecteur dual (conjugué complexe) "bra" qui doit satisfaire le produit scalaire fonctionnel :

  (42.4)

Pour résumer ces derniers paragraphes, les deux relations:

  (42.5)

et:

  (42.6)

sont donc équivalentes!

2ÈME POSTULAT : ÉVOLUTION TEMPORELLE D'UN ÉTAT QUANTIQUE

Si le système n'est par perturbé, l'évolution (supposée non relativiste!) de son état est gouvernée par l'équation de Schrödinger d'évolution (dépendante du temps donc) :

  (42.7)

Cette relation signifie simplement que c'est l'opérateur "énergie totale" ou "hamiltonien" H du système, qui est responsable de l'évolution du système dans le temps. En effet, la forme de l'équation montre qu'en appliquant l'hamiltonien à la fonction d'onde du système, nous obtenons sa dérivée par rapport au temps c'est-à-dire comment elle varie dans le temps.

Dans cette dernière relation, H est l'opérateur l'hamiltonien (énergie totale) du système que nous démontrerons comme valant dans un cas particulier et simple :

  (42.8)

Dans le cas où le potentiel est indépendant du temps (correspondant à un système conservatif en mécanique classique), il existe (nous le verrons dans des exemples) un ensemble de solutions particulières indépendantes du temps et satisfaisant (relation dont nous démontrerons la provenance) :

  (42.9)

où est appelée une "fonction propre" (en analogie avec les vecteurs propres vu en algèbre linéaire) de l'hamiltonien/opérateur H avec valeur propre/observable.

Ces solutions particulières décrivent alors des états spéciaux appelés "états stationnaires" (puisque indépendants du temps...), dont nous démontrerons plus tard les propriétés et l'origine du nom, et qui forment une base orthogonale.

L'équation aux valeurs propres précédente est souvent appelée "équation de Schrödinger indépendante du temps". Elle définit les états stationnaires et n'a un sens bien évidemment que si le système est conservatif.

C'est surtout l'équation de Schrödinger indépendante du temps qui concerne la chimie quantique et la chimie moléculaire (sujets que nous traitons dans la section de Chimie du site en détails). Nous cherchons en effet à obtenir les fonctions d'onde décrivant les états stationnaires, et surtout l'état de la plus basse énergie, "l'état fondamental", des atomes et des molécules. Les transitions observées en spectroscopie s'effectuant entre ces états stationnaires (nous le démontrerons plus loin), leur détermination est donc un prérequis pour l'étude de la spectroscopie. Cependant, il faut bien se rappeler que c'est l'équation d'évolution de Schrödinger, qui est (dans un premier temps...) l'équation fondamentale de la physique quantique ondulatoire non relativiste : elle joue le même rôle que l'équation de Newton en mécanique classique, soit celui d'une équation de mouvement (voir la démonstration du théorème d'Ehrenfest plus bas).

3ÈME POSTULAT : OBSERVABLES ET OPÉRATEURS

A chaque propriété physique mesurable (observable) d'un système notée par exemple:

  (42.10)

où sont les coordonnées généralisées et les moments généralisés conformément aux notation adoptées dans le chapitre de Mécanique Analytique, correspond un opérateur linéaire (donc cela peut être aussi un matrice!), apppelé "opérateur hermitique", noté fréquemment avec un circonflexe tel que pour l'exemple choisi celui-sera noté:

  (42.11)

qui intervient toujours dans le calcul théorique d'un propriété physiquement mesurable.

Pour faire simple..., un opérateur hermitique en physique quantique est une expression mathématique telle que si on prend son conjugué complexe (ou sa matrice adjointe si l'expression mathématique est une matrice) alors le calcul théorique de la valeur mesurable est toujours donné par la même expression.

Exemples:

Voici les plus connus dont nous démontrerons l'origine dans le présent chapitre et celui de Physique Quantique Relativiste:

E1. Coordonnées :

  (42.12)

dont nous verrons un exemple pratique avec le théorème d'Ehrenfest dans le présent chapitre.

E2. Quantité de mouvement :

  (42.13)

dont nous verrons aussi plusieurs exemples pratiques (dont avec le théorème d'Ehrenfest).

E3. Moment cinétique :

  (42.14)

E4. Les matrices de Pauli:

  (42.15)

Nous verrons par ailleurs que certains opérateurs ne sont pas commutatifs et qu'ils obéissent à ce que nous appelons des "relations d'anti-commutation" (qui sont à l'origine des principes d'incertitudes de Heisenberg).

Exemple (que nous démontrerons plus loin!):

  (42.16)

Nous verrons par ailleurs trivialement à l'aide d'un cas pratique que deux observables A, B dont les opérateurs respectifs commutent tel que :

  (42.17)

possèdent une base de vecteurs propres commune. Nous disons alors qu'ils sont simultanément mesurables avec précision (dans le cas contraire nous avons une incertitude... de Heisenberg). Les deux grandeurs A, B peuvent alors être appelées "observables compatibles" (O.C).

L'ensemble des O.C. attachées à un système physique constituent un "ensemble complet d'observables compatibles" (ECOC).

4ÈME POSTULAT : MESURE D'UNE PROPRIÉTÉ

La conséquence du postulat précédent est que la mesure de donne donc toujours une valeur propre de l'opérateur hermitique associé, . En d'autres termes, les seules valeurs observables de la propriété sont les valeurs propres de l'opérateur !

Les vecteurs propres et les valeurs propres d'un opérateur ont une signification spéciale: les valeurs propres sont les valeurs pouvant résulter d'une mesure idéale de cette propriété, les vecteurs propres étant l'état quantique du système lors de cette mesure.

C'est à cause de ce postulat qu'il est important de s'assurer que toute propriété physique soit représentée par un opérateur hermitique. En d'autres termes, l'hermiticité de assure que ses valeurs propres (notées par exemple: ) sont réelles

5ÈME POSTULAT : MOYENNE D'UNE PROPRIÉTÉ

Ce postulat est le moins intuitif et le plus difficile à démontrer (nous le démontrerons par l'exemple lors de l'étude du théorème d'Ehrenfest). Son énoncé est le suivant :

La valeur moyenne (espérance) d'une propriété physique , quand le système se trouve dans l'état décrit par la fonction est donnée par :

  (42.18)

Une expression équivalente et que je trouve compliquée est la suivante : la probabilité de trouver la valeur propre (de l'opérateur hermitique ), lors d'une mesure de la propriété effectuée au temps t sur le système quantique préparé dans l'état décrit par la fonction , est donnée par le carré du module de la projection de la fonction sur la fonction propre associée à la valeur propre (et son opérateur):

  (42.19)

où la "projection" (ou "représentative") est définie par :

  (42.20)

l'indice k étant ici pour indiquer qu'il peut y avoir pour certains opérateurs plusieurs valeurs et vecteurs propres.

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