THÉORIES DE JAUGE



PHYSIQUE QUANTIQUE DES CHAMPS

1. Potentiel de Yukawa

1.1. Champs massiques

1.2. Champs non-massiques

2. Equation d'Euler-Lagrange des champs

2.1. Lagrangien de Klein-Gordon

2.2. Lagrangien du champ électromagnétique

2.3. Lagrangien de Dirac

3. Théories de jauges

3.1. Invariance jauge globale

3.2. Invariance jauge locale

Nous allons voir maintenant une approche simple d'un outil qui a révolutionné l'approche de la physique moderne des particules au milieu du 20ème siècle et qui a valu plusieurs prix Nobel a ceux qui y ont contribué.

Nous conseillons très fortement avant de lire ce qui va suivre que le lecteur aille jeter aussi un coup d'oeil préalable sur le sous-chapitre de théorie des Jauges du chapitre d'Électrodynamique car c'est un premier exemple d'une invariance de jauge faisant apparaître un champ (le potentiel vecteur) indispensable pour expliquer certains phénomènes à l'échelle quantique comme l'explicite clairement l'équation de Pauli (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste).

Depuis le début des années 80, les magazines de vulgarisation parlent beaucoup en physique quantique des théories de jauge. Les interactions électromagnétiques et les interactions faibles sont décrites conjointement par une théorie de jauge élaborée par Glashow, Weinberg et Salam. Les interactions fortes semblent aussi correctement décrites par une théorie de jauge. C'est dans le cadre de ces théories de jauge que les physiciens théoriciens tentent d'unifier les diverses interactions fondamentales de la nature. Il convient donc, même dans un site qui traite de manière élémentaire de physique quantique, de parler de théorie de jauge dans le cadre de ce domaine.

Pour ce faire, nous considérerons déjà comme connu le contexte qui mena à la découverte de l'invariance de jauge dans le cadre de l'électrodynamique (voir chapitre du même nom pour les détails) et ferons un rapprochement avec certains développements vus dans le chapitre de Relativité Générale et le rôle qu'a joué Weyl dans la mise en évidence des principes fondamentaux d'une théorie de jauge.

Rappelons que la relativité restreinte et générale reposent sur le postulant qu'il n'existe dans l'univers aucun référentiel absolu. Nous avons vu dans le chapitre de Relativité Restreinte en long et en large que les relations qui permettent de passer les lois de la physique d'un repère à l'autre ne dépendent que da la vitesse relative entre les référentiels. Ainsi, la relativité restreinte est une théorie à symétrie globale. Nous avons également vu en long et en large dans le chapitre de Relativité Générale que la connexion affine est le lien entre les référentiels de la théorie locale (approximation des champs faibles) qu'est la relativité générale.

En 1919 eut lieu la première observation expérimentale de la déviation de la lumière d'une étoile par le champ gravitationnel du Soleil. Cette confirmation spectaculaire de la théorie de la relativité générale inspira Hermann Weyl, qui proposa la même année une conception révolutionnaire de l'invariance de jauge: Si les effets d'un champ gravitationnel peuvent être décrits par une connexion exprimant l'orientation relative entre des référentiels locaux de l'espace-temps, d'autres forces de la nature telles-que l'électromagnétisme peuvent-elles être associées aussi à des connexions similaires?

Nous considérons deux types de symétrie de jauge: l'une dite "jauge globale" et l'autre dite "jauge locale". Elles se distinguent par le paramètre caractérisant le changement de phase de la fonction d'onde (nous verrons cela en détails un peu plus loin).

INVARIANCE DE JAUGE GLOBALE

Nous allons donc étudier l'invariance de jauge à partir de l'équation de Schrödinger et montrer que même si les résultats peuvent paraître déroutants (dans le cadre d'applications complexes) il n'en reste pas moins mathématiquement corrects.

Remarque: L'invariance de jauge globale est rigoureusement nommée "symétrie globale".

Considérons donc l'équation de Schrödinger:

equation   (45.104)

avec comme nous l'avons montré:

equation   (45.105)

avec equation. Soit dans le cas d'une particule libre:

equation   (45.106)

Cette équation est manifestement invariante dans la transformation qui fait passer de equation à equation avec:

equation   (45.107)

g est une constante de couplage (pour assurer l'homogénéité des unités et l'amplitude) étant considérée comme un nombre réel et equation un paramètre réel indépendant des coordonnées (dans un premier temps...) d'espace et de temps.

equation   (45.108)

devient:

equation   (45.109)

et comme equation ne dépend ni de equation alors:

equation   (45.110)

Soit après simplification:

equation   (45.111)

La forme de l'équation est restée la même lorsque nous avons fait le changement de equation en equation.

Ainsi, la description d'un système libre n'est pas affectée par le changement de phase globale. En langage de la théorie des groupes (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste), nous parlons d'invariance sous le groupe U(1) des phases.

En d'autres termes pour parler comme les physicens...:

equation   (45.112)

définit une transformation de jauge par la rotation equation (le paramètre au sens des groupes de Lie).

L'ensemble des rotations forment un groupe nommé U(1) que l'usage appelle le groupe de jauge (isomorphe de SO(2)).

L'ensemble des equation forment une représentation monodimensionnelle du groupe U(1) que nous appelons  la représentation g. Il y a bien entendu une infinité de représentation g (autant qu'il y a de valeurs de g!).

Comme le paramètre equation ne dépend pas de la position et du temps, nous disons que le système est invariant par transformation de jauge globale (partout en même temps) ou simplement un invariant de U(1) dans le temps et l'espace.

INVARIANCE DE JAUGE LOCALE

Mais mais... soit l'invariance de jauge globale montre que nous avons une équation qui reste valable dans le cadre d'un changement de phase fixe. Mais maintenant dans un laboratoire cette équation de Schrödinger doit être valable même si la phase dépend de la position et de du temps. Cette contrainte s'appelle une "invariance locale".

Nous considérons ainsi que equation est une fonction equation et l'idée bien évidemment est de vérifier si l'équation de Schrödinger reste invariante dans la transformation:

equation   (45.113)

Il est dès lors évident que l'équation de Schrödinger:

equation   (45.114)

n'est plus invariante. Effectivement nous voyons rapidement que rien que l'opérateur equation dans l'hamiltonien va poser problème en faisant apparaître des termes gênants qui ne s'annuleront pas:

equation
  (45.115)

Pour contourner ce problème nous introduisons le champ de force associé au potentiel vecteur et au potentiel électrique et nous verrons qu'il garantit l'invariance locale (dons il est impossible de différencier un changement de phase de la présence d'un champ de force de ce type). Donc l'invariance locale impose que la particule ne soit plus libre (il n'existe donc pas de particules chargées libres!).

Pour cela reprenons l'hamiltonien de l'équation de Pauli (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste):

equation   (45.116)

et négligeons l'interaction entre le spin et le champ magnétique tel que l'hamiltonien devienne:

equation   (45.117)

Soit:

equation   (45.118)

Nous avons donc l'équation de Schrödinger suivante:

equation   (45.119)

Ce qui par rapport à l'équation de Schrödinger libre:

equation   (45.120)

fait intervenir les correspondances suivantes:

equation   (45.121)

Considérons la transformation de jauge (cf. chapitre d'Électrodynamique) en notant dorénavant le potentiel électrique par la lettre V :

equation   (45.122)

equation.

D'abord, nous voyons alors immédiatement que les opérateurs sont invariants. Effectivement:

equation   (45.123)

Or, si g est posé comme étant  equation et f comme étant equation alors nous avons:

equation   (45.124)

Soit tout simplement:

equation   (45.125)

De même en sachant maintenant que f est equation:

equation   (45.126)

Nous avons donc:

equation   (45.127)

Soit:

equation   (45.128)

La relation:

equation   (45.129)

devient alors avec les nouvelles correspondances:

equation   (45.130)

et avec les développements antérieurs nous avons donc:

equation   (45.131)

Soit:

equation   (45.132)

Ce qui donne après simplification:

equation   (45.133)

Ainsi, en demandant l'invariance de jauge nous avons fait apparaître une interaction... et nous savons bien qu'elle est cette interaction!

L'équation de Schrödinger d'une particule se déplaçant dans un champ électromagnétique est donc invariante sous la transformation locale de phase. La phase d'une fonction d'onde est bel et bien une nouvelle variable locale au sens de Weyl et le potentiel électromagnétique peut être interprété, suivant Weyl, comme une connexion reliant les phases en différents points.

Nous en concluons que le champ électromagnétique est une conséquence de l'invariance de jauge locale fondée sur le groupe U(1), groupe des matrices unitaires à une dimension (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste). L'intérêt qui existe est de construire des théories de jauge sur des groupes plus compliqués (non-abéliens): ces théories sont appelées "théories de Yang-Mills".

Maintenant allons un tout petit peu plus loin mais sans trop approfondir... Nous avons montré plus haut que le lagrangien de l'équation de Dirac libre était:

equation   (45.134)

Or, cette équation ne faisant pas apparaître le champ électromagnétique on se doute très fortement qu'elle n'est pas invariante à une jauge locale...

Or, l'équivalent de l'opérateur divergence equation dans l'équation de Schrödinger libre est la dérivée covariante equation . Donc au même titre que nous avons associé pour l'invariance locale de jauge de l'équation de Schrödinger libre:

equation   (45.135)

Il est tentant de combiner le tout en un nouvel opérateur:

equation   (45.136)

avec :

equation

Le lagrangien de l'équation de Dirac libre s'écrirait alors:

equation   (45.137)

Soit:

equation   (45.138)

avec:

equation   (45.139)

Il ne reste plus qu'à rajouter le terme du champ pour et nous avons le lagrangien total de l'équation de Dirac (cela aurait été relativement dur de le trouver d'une autre manière...):

equation   (45.140)

qui correspond aux équations de Dirac-Maxwell et qui est le "lagrangien de l'électrodynamique quantique des champs" ou à gauche nous avons le terme des fermions et à la droite la partie d'interaction des bosons de masse nulle (photons).

Donc le fait d'avoir rajouter sur le lagrangien libre une condition d'invariance par des transformations locales, nous a amené à une théorie avec interaction que nous pouvons écrire avec plus de rigueur et sous forme développée:

equation   (45.141)

ou encore en unités naturelles et avec la charge de l'électron:

equation   (45.142)

L'électrodynamique a fait défaut cependant dans les années 1940 pour décrire bon nombre de particules mises en évidence par les accélérateurs. Certes, d'une certaine manière elle a été étendue pour décrire de nouvelles particules. Mais beaucoup d'entre elles semblaient jouir de propriétés dont l'électrodynamique quantique ne pouvait rendre compte.

Au fait la raison est simple... c'est une théorie dans laquelle aucune solution exacte n'est connue, une situation qui perdure jusqu'à nos jours (2008). La seule méthode de calcul disponible est appelée développement perturbatif. L'idée est essentiellement la même que celle du développement limité que l'on pratique dans le domaine de calcul différentiel. En l'occurrence, si nous ne savons pas calculer la valeur d'une fonction, nous la décomposons en une séquence de polynômes et l'approximation s'affine au fur et à mesure que nous prenons en compte des termes de degrés de plus en plus élevés. Un tel développement en série commence par un terme d'ordre zéro, qui est juste la valeur de la fonction inconnue en un certain point où l'on sait calculer cette fonction.

Dans le cas du développement perturbatif de l'électrodynamique quantique, le terme d'ordre zéro représente la propagation pure, sans interaction (l'intensité de l'interaction entre l'électron et le champ magnétique est mise à zéro). Dans cette approximation, l'électrodynamique quantique est une théorie des particules libres et elle est exactement calculable. Nous avons des électrons, des positons et des photons mais ils se croisent sans s'influencer. Le terme suivant dans le développement en série, celui du premier ordre, est aussi exactement calculable. Dans cette approximation, la théorie semble refléter assez fidélement le monde réel. Des phénomènes physiques très intéressants apparaissent dans cette approximation de premier ordre de la théorie réelle de l'interaction photon-électron et la théorie s'accorde bien avec les résultats expérimentaux.

Malheureusement on eu tôt fait de découvrir que le calcul des termes de second ordre et des termes plus élevés semblait dénué de sens jusqu'à donner des valeurs infinies... aujourd'hui il n'existe encore que des méthode de résolution approximatives et non totalement satisfaisantes dès lors il a été obligé de chercher une autre technique d'approximation se basant sur une renormalisation des équations... et les résultats sont extraordinairement bons mais au fond cela sent un peu le bricolage sur mesure quand même...