ÉQUATION D'EULER-LAGRANGE DES CHAMPS



PHYSIQUE QUANTIQUE DES CHAMPS

1. Potentiel de Yukawa

1.1. Champs massiques

1.2. Champs non-massiques

2. Equation d'Euler-Lagrange des champs

2.1. Lagrangien de Klein-Gordon

2.2. Lagrangien du champ électromagnétique

2.3. Lagrangien de Dirac

3. Théories de jauges

3.1. Invariance jauge globale

3.2. Invariance jauge locale

La façon dont la théorie des champs fut introduite à partir des particules élémentaires par Dirac est connue pour des raisons historiques sous l'appellation de "deuxième quantification".

Il est peut-être utile de mettre en évidence une possible source de confusion : les champs ne sont pas liés à la dualité onde-corpuscule. Ce que nous entendons par "champ" est un concept qui permet la création ou l'annihilation de particules en tout point de l'espace comme nous le verrons dans les développements mathématiques.

Rappelons que nous avons défini en physique quantique ondulatoire lors de l'étude de l'équation d'évolution de Schrödinger l'opérateur d'Heisenberg, nécessaire à la condition de normalisation de De Broglie :

equation   (45.31)

En dérivant cet opérateur par rapport au temps, nous avons trivialement :

equation   (45.32)

où rappelons-le, le commutateur de deux opérateurs est donné (comme nous l'avons déjà vu lors de notre étude des opérateurs adjoints et hermitiques en physique quantique ondulatoire) par définition par :

equation   (45.33)

C'est l'hamiltonien H qui fait interruption en premier dans la relation précédente. Mais nous pouvons tout aussi bien lui substituer un hamiltonien dépendant du temps H(t) tel que:

equation   (45.34)

Maintenant, nous pouvons substituer equationpar des observables connus tels que:

equation   (45.35)

dites "équations du mouvement de Heisenberg". Ce qui est intéressant dans les deux relations obtenues précédemment, c'est la façon avec laquelle se réalise la jonction entre la physique quantique et la mécanique classique. Effectivement, nous avions démontré au chapitre de Mécanique Analytique que les relations ci-dessous sont et seront toujours valables quelque soit le domaine étudié :

equation   (45.36)

ainsi que :

equation   (45.37)

et:

equation   (45.38)

La généralisation à plusieurs degrés de liberté est immédiate et nous donne l'ensemble les relations (nous allégeons les écritures en omettant l'écriture de la dépendance à la variable temporelle):

equation   (45.39)

Nous avons encore besoin de deux autres relations importantes que nous allons de suite déterminer. D'abord, d'après les définitions des commutateurs, il est inutile de démontrer que (trivial) :

equation   (45.40)

Par contre, il est un peu plus subtil de démontrer la valeur de equation (nous plaisantons...). Rappelons que nous avions démontré lors de notre étude des opérateurs linéaires fonctionnels que (nous nous restreignons au cas de la coordonnée x ici):

equation   (45.41)

et que q représente une coordonnée généralisée (x par exemple...). Nous avons donc (résultat déjà démontré dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire...):

equation   (45.42)

Les deux dernières relations peuvent être généralisées à toutes les composantes voulues telles que:

equation   (45.43)

avec rappelons-le (cf. chapitre de Calcul Tensoriel):

equation   (45.44)

qui est le symbole de Kronecker.

Pour en arriver enfin à la théorie quantique des champs, il nous faut encore généraliser à une infinité continue de degrés de liberté. En effet, même le plus simple des champs est caractérisé, à un instant t, par une infinité continue de quantités :

equation   (45.45)

pout tout equation.  Nous pourrions donc imaginer représenter la fonction equation par ses valeurs equation en un ensemble discret de points equation que nous rendrons en fin de compte infiniment dense (prenez garde au fait que nous utilisions la notion de densité !). Nous pouvons aussi travailler, pour commencer, non pas dans tout l'espace, mais dans un volume fini que nous finirons par rendre très grand. En procédant ainsi, nous pouvons trouver comment généraliser le formalisme canonique et le processus de quantification. Au niveau formel, nonobstant de subtiles questions de convergences (voir les parties mathématiques du site), la généralisation aux systèmes continus consiste principalement à remplacer les sommes sur des indices n par des intégrales sur des arguments equation, et les deltas de Kronecker par des deltas de Dirac (sur l'espace-temps) :

equation   (45.46)

En considérant alors le principe variationnel comme nous l'avons étudié en mécanique analytique:

equation   (45.47)

et le principe de moindre action nous imposant :

equation   (45.48)

où le lagrangien sera maintenant une fonction du champ equation et de dérivée par rapport au champequation (puisqu'il n'y a pas de notion de quantité de mouvement pour un champ !).

Si nous divisons la relation précédente par equation nous obtenons :

equation   (45.49)

ce qui nous donne le droit d'écrire:

equation   (45.50)

et en imposant une analogie avec un concept de champ :

equation   (45.51)

equation et equation .

Finalement, comme tous les termes suivants sont nuls, ils sont égaux (nous faisons intervenir l'équation d'Euler-Lagrange démontrée en mécanique analytique) :

equation   (45.52)

en analogie avec le champ equation nous obtenons:

equation   (45.53)

Cette écriture étant peu commode, on prend pour habitude décrire les différentielles partielles (en utilisant les unités naturelles de la physique) aux composantes equation sous la forme equation ce qui nous donne finalement :

equation   (45.54)

et qui nous amène aussi à écrire le principe de moindre action sous la forme suivante :

equation   (45.55)

Avec l'action des champs notée plus traditionnellement :

equation   (45.56)

ou encore pour différencier lagrangien et densité lagrangienne (nous "stylisons" parfois de le L):

equation   (45.57)

à comparer à l'action de la particule :

equation   (45.58)

En analogie avec equation nous écrirons:

equation   (45.59)

et en analogie avec equation  nous écrirons :

equation   (45.60)

mais un champ est un milieu continu. La somme sigma n'est donc plus adaptée et il faut passer à une intégration sur tout l'espace-temps telle que:

equation   (45.61)

En analogie avec les équations du mouvement de Heisenberg, nous écrivons:

equation   (45.62)

Passons maintenant à la théorie quantique en postulant des champs d'opérateurs de Heisenberg correspondants. Rappelons que nous avions obtenu plus haut que:

equation et equation   (45.63)

ce qui nous donne:

equation et equation   (45.64)

Si nous résumons un peu le tout et que nous affichons la comparaison avec la physique quantique ondulatoire, nous avons finalement :

1. En physique quantique ondulatoire (c'est joli à regarder non?) :

equation   (45.65)

2. Et l'équivalent en physique quantique des champs (alors là... ça devient de l'art!) :

equation   (45.66)

Et le tour est joué! Nous venons de passer les paramètres de la physique quantique où les corps ponctuels sont décrits par des fonctions d'onde, à une physique quantique ou les corps ponctuels deviennent des champs continus.

Il ne reste plus qu'à appliquer ce schéma général à des exemples concrets :

Nous allons commencer par un premier exemple en tenant compte de l'aspect relativiste. Ainsi, la densité lagrangienne non triviale que nous puissions construire est de la forme (vous allez de suite voir à quoi elle va mener, ce qui confirmera sa validité - par ailleurs, le développement qui va suivre aurait très bien pu être présenté dans l'autre sens) :

equation   (45.67)

que les physiciens appellent "champ scalaire pour une particule libre et sans spin" ou "lagrangien de Klein-Gordon" pour une particule sans spin où nous utilisons les notations condensées habituelles :

equation   (45.68)

et les unités naturelles :

equation   (45.69)

calculons l'équation d'Euler-Lagrange y relative (trivial):

equation   (45.70)

d'où l'équation du mouvement :

equation   (45.71)

Rappelons qu'en physique quantique ondulatoire nous avions obtenu pour l'équation de Klein-Gordon libre :

equation   (45.72)

En adoptant les unités naturelles, nous avons donc :

equation   (45.73)

et en travaillant dans l'espace de Minkowski comme cela se fait souvent en relativité tel que :

equation   (45.74)

L'équation de Klein-Gordon libre s'écrit alors :

equation   (45.75)

Nous avons donc finalement à comparer l'équation du mouvement du champ et l'équation de Klein-Gordon libre :

equation et equation   (45.76)

et c'est ici qu'on peut éventuellement ressentir un frisson dans le dos et rester admiratif face à la puissance du formalisme mathématique ouvrant de nouvelles perspectives sur la manière de voir les rouages de l'Univers....

Et encore... mieux...vous allez voir, nous allons le faire un peu à l'aveugle et... alors là ! Considérons maintenant le lagrangien suivant (que nous supposerons obtenu par bricolage successifs... mais à nouveau nous aurions pu faire le développement dans l'autre sens) se voulant exprimer "l'interaction d'un champ électromagnétique avec une densité courant" :

equation   (45.77)

où nous y reconnaissons les tenseurs du champ électromagnétique démontrés et déterminés dans le chapitre d'Électrodynamique et pour lesquels, rappelons-le :

equation   (45.78)

Dans ce lagrangien, traitons le potentiel vecteur comme le champ tel que :

equation   (45.79)

Dès lors en décomposant les développements, nous obtenons très facilement :

equation et equation et equation   (45.80)

Dans un premier temps, le lecteur vérifier en faisant un peu de calcul tensoriel élémentaire que :

equation   (45.81)

Puis :

equation   (45.82)

Dès lors, l'équation du champ s'écrit :

equation   (45.83)

d'où :

equation   (45.84)

Aïe que c'est beau mais que c'est beau!!! Nous retrouvons donc l'équation de Maxwell avec sources avec le même lagrangien du champ (cf. chapitre d'Électrodynamique). Ainsi, ce lagrangien sans masse est assimilé au lagrangien du champ vectoriel de spin 1 assimilé aux bosons.

Rappelons maintenant que nous avions obtenu dans le chapitre d'Électrodynamique l'action suivante pour une particule chargée dans un champ électromagnétique (avant un long développement qui nous avait amené au tenseur du champ électromagnétique) :

equation   (45.85)

et en se rappelant que (cf. chapitre d'Électrodynamique) :

equation   (45.86)

il vient :

equation   (45.87)

Donc la densité lagrangienne correspondante est donc :

equation   (45.88)

Nous avons donc finalement :

1. Le lagrangien (densité lagrangienne) d'une particule chargée dans un champ électromagnétique (que nous venons d'obtenir) :

equation   (45.89)

2. Le lagrangien (densité lagrangienne) de tout à l'heure (qui nous a permis de retomber sur les équations de Maxwell sans source) :

equation   (45.90)

Remarque: Attention, par construction, ce n'est pas un problème de retomber seulement sur les équations de Maxwell sans sources avec ce lagrangien car implicitement, le tenseur equation sous-tend toutes les équations de Maxwell comme nous l'avons vu en électrodynamique et sa présence dans le lagrangien suffit donc à ce que toutes les propriétés du champ électromagnétique soient pris en compte.

Dès lors, il est naturel d'écrire le "lagrangien (densité lagrangienne) total du champ électromagnétique" :

equation   (45.91)

Continuons maintenant notre bonhomme de chemin avec l'équation de Dirac libre! Rappelons que nous avions obtenu dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste l'équation de Dirac libre sous la forme (fondamentalement rappelons qu'il s'agit d'une équation relativiste) :

equation   (45.92)

Maintenant rappelons (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) que equation. Dès lors, il vient :

equation   (45.93)

Or, equation et il est super facile de vérifier (ne pas oublier que nous utilisons la forme représentative de Dirac des matrices de Pauli !!!)equation ce qui nous amène à écrire :

equation   (45.94)

Il est alors commode d'introduire "l'adjoint de Dirac" :

equation   (45.95)

Remarque: Rappelons que equation est une matrice colonne et equation une matrice ligne. Il vient donc que equationest aussi une matrice ligne!

Utilisant le fait que dans la représentation de Dirac equation nous pouvons écrire :

equation   (45.96)

en simplifiant les equation il vient l'équation de Dirac libre adjointe :

equation   (45.97)

Ce que nous notons traditionnellement:

equation   (45.98)

La notation equation signifiant que l'opérateur equation opère sur equation vers la gauche tel que :

equation   (45.99)

Remarque: Certains auteurs écrivent equation mais ceci est faux car equation est une matrice ligne comme nous l'avons fait remarquer plus haut!!!

Finalement nous avons pour les équations de Dirac libres:

equation   (45.100)

Supposons maintenant que le "lagrangien du champ spinoriel de Dirac libre" soit de la forme (parce que finalement c'est le lagrangien qui nous intéresse) :

equation   (45.101)

où nous avons posé equation. Il s'agit donc du lagrangien du champ spinoriel pour les particules de spin 1/2 qui sont donc des fermions libres.

En considérant les quantités equation comme indépendantes (c'est ce qu'elles sont de toute façon puisque orthogonales) et choisissant le champ spinoriel comme equation, nous avons :

equation   (45.102)

Le deuxième terme est nul puisque le lagrangien de Dirac ne contient pas de termes en equation. De fait il reste :

equation   (45.103)

Nous retombons donc bien sur l'équation de Dirac libre (le même développement pouvant être fait pour l'équation de Dirac libre adjointe)! Ainsi, dans ce cadre, la seule manière d'expliquer les propriétés quantiques de la matière comportant des particules avec spin est de faire intervenir des champs equation représentant des particules chargées électriquement, les électrons et positrons comme nous le savons. Nous appelons alors ces entités des "champs (spinoriels) de Dirac".


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