Cours de physique quantique des champs



PHYSIQUE QUANTIQUE DES CHAMPS

1. Potentiel de Yukawa

1.1. Champs massiques

1.2. Champs non-massiques

2. Equation d'Euler-Lagrange des champs

2.1. Lagrangien de Klein-Gordon

2.2. Lagrangien du champ électromagnétique

2.3. Lagrangien de Dirac

3. Théories de jauges

3.1. Invariance jauge globale

3.2. Invariance jauge locale

Avant la formulation de la physique quantique, les particules et les champs étaient considérés comme des entités distinctes mais liées; les particules possèdent certaines caractéristiques intrinsèques (comme la masse et la charge électrique) et produisent les champs (gravitationnels et électromagnétiques). Chaque champ de force émane des particules et remplit l'espace autour d'elles. Les champs emmagasinent et peuvent transporter de l'énergie; ils sont, en ce sens, des milieux continus réels qui lient les particules et communiquent les interactions entre elles. On considérait que les particules étaient composées de matière et les champs étaient composés d'énergie. La notion de champ de force était l'alternative du 19ème siècle à l'ancienne action à distance assez mystérieuse. Des particules qui ne réagissent à aucun champ de force ne sont pas observables et physiquement n'ont aucun sens. De même, des champs de force qui n'agissent pas sur aucune particule sont également sans signification. Les notions de particules et de champs n'ont donc un sens que lorsqu'elles sont reliées.

La notion de champ a commencé à être modifiée fondamentalement avec l'introduction par Albert Einstein du concept de photon. Selon cette nouvelle conception, le champ électromagnétique n'a pas son énergie distribuée d'une façon continue dans l'espace. Le photon est le "quantum du champ électromagnétique". Il transporte l'énergie et la quantité de mouvement du champ. L'interaction électromagnétique de deux particules chargées et le transfert de l'énergie et de la quantité de mouvement d'une particule à l'autre doivent avoir donc lieu par l'échange des quanta d'énergie électromagnétique, les photons. La théorie de telles interactions (entre particules chargées), appelée "électrodynamique quantique" (Q.E.D.), a été la première application réussite de ces idées (elle permet de démontrer la structure fine du modèle de Sommerfeld, expliquer le spin de l'électron..) et c'est à elle que nous allons nous intéresser ici.

Remarque: La théorie quantique des champs est l'application de la mécanique quantique aux champs. Elle fournit un cadre largement utilisé en physique des particules et en physique de la matière condensée. Les bases de la théorie quantique des champs furent développées entre 1935 et 1955, principalement par Paul Dirac, Wolfgang Pauli, Sin-Itiro Tomonaga, Julian Schwinger, Richard Feynman, et Freeman Dyson.

Avant de nous lancer dans des calculs complexes (voir plus loin), montrons que l'approche proposée précédemment peut-être considérée à l'aide d'un formalisme fort simple comme exploitable. Considérons à ce titre la figure ci-dessous (représentation de la collision élastique de deux électrons) :

equation
  (45.1)

Cette figure est appelée un "diagramme de Feynmann" (nous n'allons pas plus dans les détails mathématiques pour l'instant). Supposons que les deux électrons se déplacent initialement à la même vitesse. Ils s'approchent d'abord puis s'éloignent l'un de l'autre le long d'une droite dans l'espace qui est projetée sur l'axe des temps, dans le sens des temps croissants. L'électron à gauche émet un photon (la ligne ondulée), et pendant un certain temps equation, il y a deux électrons et un photon. L'électron à droite absorbe ensuite le photon et l'interaction est momentanément terminée; d'autres photons feront par la suite l'aller et retour entre les électrons. La force moyenne est proportionnelle au taux de transfert de la quantité de mouvement due à l'échange des photons. La probabilité de l'émission ou de l'absorption de photons par une particule est reliée à sa charge. La force doit donc être proportionnelle au produit des charges en interaction (en accord avec la loi de Coulomb). Pensez à la force de répulsion entre deux astronautes flottant dans l'espace et échangeant une balle dans un sens puis dans l'autre. Cependant, le phénomène inverse d'attraction ne peut être visualisé de cette manière mais uniquement sous forme mathématique formelle.

La collision présentée dans la figure ci-dessus est élastique; l'énergie de chacun des électrons est inchangée dans la collision. Malgré cela, pendant un temps equation, le système contient une quantité d'énergie supplémentaire hv correspondant au photon. Pendant ce temps equation, la conservation de l'énergie est apparemment violée! Peut-on tolérer cette situation? La réponse, donnée par la physique moderne, est oui; mais elle ne peut jamais être observée. Autrement dit, il y a toujours une certaine incertitude equation sur la valeur mesurée de l'énergie d'un système. Le principe d'incertitude de Heisenberg impliquant (voir démonstration dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) que :

equation   (45.2)

Une violation de la loi de conservation de l'énergie jusqu'à une quantité equation sera cachée par l'incertitude sur l'énergie à condition que le temps disponible pour faire l'observation equation soit suffisamment grand tel que

equation   (45.3)

évidemment une valeur inférieure à equation satisfait également la condition. Nous pouvons donc écrire:

equation   (45.4)

L'incertitude sur l'énergie dépasse l'énergie d'un photon d'énergie hv si le photon existe pendant un temps plus court que:

equation   (45.5)

Ce photon est alors observable sur une distance maximale de :

equation   (45.6)

et comme la fréquence peut être arbitrairement petite, la portée de la force transmise par le photon sans masse est illimitée. Il peut paraître dans cette relation que la portée est limitée pour un photon libre. Mais ce serait oublier (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) qu'un photon libre n'existe pas car il aurait une fréquence totalement indéterminée. Donc la distance d'interaction le serait aussi.

Ces quanta d'échanges, qui sont inobservables, sont appelés des "photons virtuels". Comme les photons ne sont pas chargés nous disons aussi que l'interaction s'effectue par "courant neutre".

Une approche beaucoup plus satisfaisante et celle qui consiste à utiliser la masse comme terme d'énergie:

equation   (45.7)

à l'aide de cette relation, il est possible de connaître le temps pendant lequel une particule virtuelle peut parcourir une distance qui correspondrait à :

equation   (45.8)

Nous verrons plus loin comment déterminer approximativement la masse des particules virtuelles qui interviennent dans les forces nucléaires ce qui nous permettra d'estimer la durée des interactions comme étant de l'ordre de equation.

Vers la fin des années 1920, il était devenu clair qu'on pouvait considérer chacune des particules connues (proton, électron, etc.) comme le quantum d'un champ spécifique. Dans cette vision, il y a un champ d'électron, un champ de proton, et ainsi de suite comme nous le démontrerons plus loin (l'Univers serait donc un ensemble de champs unifiés). Un objet quelconque est en réalité un ensemble de manifestations observables des quanta des champs.

Par ailleurs, nous avons vu que l'écriture des équations d'onde pour des particules relativistes (équation de Dirac et équation de Klein-Gordon vue en physique quantique relativiste) amènent des problèmes insolubles classiquement, notamment des énergies négatives. En fait, cette approche n'est pas justifiée car d'après l'équation d'Einstein masse et énergie sont équivalentes et si l'on rajoute à cela le principe d'incertitude d'Heisenberg énergie-temps nous constatons qu'un nombre infini de particules peuvent être créées ou annihilées, d'où la nécessité d'un modèle ne prenant plus en compte les propriétés d'une seule particule mais d'un ensemble de particules, aussi bien réelles que virtuelles.

Remarque: Quand Fermi formula sa théorie des interactions faibles en 1932, il la fonda sur les mêmes principes que l'électrodynamique quantique (c'est une des raisons pour laquelle la QED est appelée "bijou de la physique" - le modèle standard est calqué sur cette théorie par ailleurs). Deux ans plus tard, le physicien japonais H. Yukawa proposa que l'interaction faible était due à l'échange d'un boson virtuel massif.

POTENTIEL DE YUKAWA

Le meilleur pour argumenter l'exemple des quantums reste la "démonstration" de la loi de Coulomb (et de Newton) à partir des résultats que nous avons obtenu en physique quantique ondulatoire (nous devons ces développements à Yukawa).

Soit l'équation de Klein-Gordon libre (cf. chapitre Physique Quantique Ondulatoire):

equation   (45.9)

cette équation décrit la dynamique d'amplitude de présence d'une particule sans spin dans le temps dans un potentiel donné.

Considérons une composante de equation statique (indépendante du temps) à symétrique sphérique:

equation   (45.10)

L'équation de Klein-Gordon se réduit alors à:

equation   (45.11)

Si nous divisons des deux côtés de l'égalité par equation:

equation   (45.12)

Rappel (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) de notation du Laplacien du champ scalaire:

equation   (45.13)

et soit son expression en coordonnées sphériques où equation est identifié à l'origine du champ (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

equation   (45.14)

Comme le champ U(r) est à symétrie sphérique (dépendant de r uniquement) le Laplacien se réduit à:

equation   (45.15)

Donc l'équation du champ U(r) s'écrit:

equation   (45.16)

Cette équation différentielle à pour solution (on devine assez facilement que l'exponentielle est une solution possible):

equation   (45.17)

C est une constante d'intégration.

Dans le cadre de l'utilisation des unités naturelles (ce qui est le plus fréquent à ce niveau dans la littérature scientifique) ce potentiel s'écrit :

equation   (45.18)

et se nomme "potentiel de Yukawa".

Le lecteur remarquera que mise à part la distance r, l'autre variable dans l'exponentielle est la masse (les autres termes étant des constantes universelles). Conséquence : le potentiel de Yukawa est aussi bien un "champ scalaire" dans le cas où la masse est nulle (voir l'exemple ci-après) qu'un "champ massique" dans le cas où la masse est non nulle !

Cela nous amène à l'hypothèse suivante : si c'est le champ électrique qui maintient les particules chargées entre elles dans l'atome (voir le traitement du champ non-massique ci-dessous), c'est le champ massique qui maintient les particules non chargées entre elles dans l'atome.

Autrement dit, si des particules interagissent par l'intermédiaire d'un champ massique de masse equation(au lieu d'interagir avec des photons de masse nul), leur force mutuelle va décroître exponentiellement (ce qui est très rapide).

CHAMPS MASSIQUES

Le physicien H. Yukawa proposa donc en 1935 que la force nucléaire devait sa très courte portée au fait qu'elle était transmise par des particules massives (plus la masse du quanta échangé est grande plus la portée de l'interaction est réduite), décrites par le champ massique ci-haut.

Remarque: Dans le cadre historique de l'époque ces particules hypothétiques étaient les "mésons". Mais nous verrons que cette hypothèse ne tiendra pas la route très longtemps.

Voyons cela de plus près. Notons le potentiel de Yukawa sous la forme suivante :

equation   (45.19)

avec :

equation   (45.20)

Cette notation n'est pas innocente car comme nous le verrons en détails plus loin, lorsque equation (cas de l'interaction électromagnétique et gravitationnelle) alors equation et nous retrouvons alors la loi fondamentale de l'électrodynamique ou de la gravitation où la particule d'interaction est le photon (masse nulle) pour la première et respectivement le graviton pour la deuxième.

Ainsi, en supposant que le rayon de l'interaction nucléaire forte (cohésion des nucléons entre eux) est equation et celui de l'interaction nucléaire faible (qui serait à l'origine de la désintégration bêta comme nous l'avons précisé dans le chapitre de Physique Nucléaire) equation, nous avons alors les énergies de liaisons des interactions ainsi leur masse approximative immédiatement :

- Pour "l'interaction nucléaire forte" :

equation   (45.21)

soit environ 220 fois la masse de l'électron et 1/9 de la masse du proton.

Deux ans après cette prédiction de Yukawa, les physiciens découvrirent une particule correspondant à cette masse : le méson equation. Il s'avérera plus tard que ce n'était pas la bonne particule mais une particule de même type que l'électron, soit un lepton et donc un fermion (ce ne peut donc être une particule messagère). De plus, les expériences de diffusions et de collisions avec des protons, deutérons, etc... à des énergies de plus en plus hautes ont montrées qu'il y avait une modification de l'intensité/forme de l'interaction forte incompatible avec l'hypothèse d'un seul méson. De plus les résonnances hadroniques montraient qu'il existait des états excités des mésons ce qui est difficile à imaginer pour des particules considérées comme fondamentales en analogie avec le photon!!

Les particules détectées dans les laboratoires et qui semblaient être les meilleures candidates à l'époque (car il y en avait plusieurs...) de l'interaction nucléaire forte étaient les "pions" (ou "mésons pi") qui se présentent sous trois formes :

equation    (45.22)

et qui sont 270 fois plus massifs que l'électron. Donc cette différence de masse indique bien que le modèle de Yukawa n'est pas tout à fait exact.

Avant la découverte des quarks (dont sont constitués les mésons), les mésons étaient donc considérés comme les vecteurs de l'interaction forte.

- Pour "l'interaction nucléaire faible" :

equation   (45.23)

Il s'agit donc d'une masse colossale, une centaine de fois la masse du proton! Les vecteurs d'interactions ont des candidats qui ont été mis en évidence en 1983 dans les accélérateurs du CERN. Ces particules messagères de l'interaction nucléaire faible se nomment les "bosons intermédiaires" equation.

Ces observations amenèrent l'hypothèse que la théorie de Yukawa n'était pas une théorie assez fondamentale quoiqu'elle représente bien certaines de ses propriétés...

CHAMPS NON-MASSIQUES

Imaginons maintenant un champ scalaire à symétrique sphérique statique, dont le photon (particule sans spin) est l'hypothétique quantum d'échange.

Comme la masse du photon est nulle, l'expression de U(r) se réduit à:

equation   (45.24)

Si nous interprétons U(r) comme le potentiel électrostatique source d'une quantité equation de charges élémentaires q alors la constante C dans notre système métrique vaut:

equation   (45.25)

Tel que:

equation   (45.26)

Comme nous avons:

equation   (45.27)

Il en découle:

equation   (45.28)

Ce qui nous donne:

equation   (45.29)

Conclusion: Si un particule se trouve dans un champ de potentiel à symétrique sphérique U(r) dont le photon est supposé être initialement le quantum d'interaction alors nous avons affaire à un champ électrostatique dont l'expression est identique à la loi Coulomb (ceci valide donc encore une fois de façon magistrale la théorie de la physique quantique ondulatoire).

Remarque: Le photon est donc bien le quantum d'interaction du champ électrique à symétrie sphérique (lorsque les charges ont une vitesse relativiste le champ électrique n'est pas à symétrie sphérique et les équations deviennent un peu plus compliquées - voir le chapitre de Relativité Restreinte) et nous ne devrions plus parler de charge électrique mais de "transparence" aux photons. Effectivement, le neutron étant neutre globalement celui-ci ne devrait pas interagir avec le champ électrique, mais comme il est composé de particules chargées (les quarks) les expériences mettent en évidence une affluence en présence du champ électromagnétique (dont le photon est le quantum d'interaction).

Ceci dit, en appliquant le même raisonnement nous pouvons de même retrouver le potentiel gravitationnel de Newton :

equation   (45.30)

Ce qui impliquerait que le quantum d'interaction du champ gravitationnel est aussi sans masse (dans le cas des petites masses du moins étant donné que nous savons que le potentiel de Newton n'est qu'une approximation de la relativité générale dans le cas des petites masses) et sans spin. Etant donné que le champ gravitationnel ne semble pas interagir avec la présence d'un champ magnétique ou électrostatique, cela nous amène à émettre l'hypothèse que le quantum d'interaction n'est pas le photon et à supposer qu'une autre particule, que nous appellerons "graviton", en est le messager.


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