MODÈLE DE SOMMERFELD ET WILSON



PHYSIQUE QUANTIQUE CORPUSCULAIRE

1. Modèle de Dalton

2. Modèle de Thomson

3. Modèle de Rutherford

4. Modèle de Bohr

4.1. Postulats de Bohr

4.2. Quantification

4.2.1. Rayon de Bohr

4.2.2. Formule de Balmer

4.3. Modèles des atomes hydrogénoïdes sans entraînement

4.4. Modèles des atomes hydrogénoïdes avec entraînement

4.5. Hypothese du neutron

5. Modèle de Sommerfeld-Wilson

6. Modèle relativiste de Sommerfeld

6.1. Moment magnétique

6.1.1. Magnéton de Bohr

6.1.2. Nombre quantique magnétique

6.2. Spin

6.3. Principe d'exclusion de Pauli

7. Couches électroniques

Pour élaborer leur modèle, Sommerfeld et Wilson firent appel à la dynamique classique pour généraliser le modèle de Bohr à des orbites de type képlérien (donc non uniquement circulaire mais elliptique dans le cas général).

Comme nous l'avons vu plus haut, dans le cas d'un système à deux corps sollicités par une force centrale, l'énergie totale du système est (nous négligeons l'énergie potentielle gravitationnelle) :

equation   (41.75)

Pour trouver l'expression de la trajectoire de la masse m, nous allons procéder exactement de la même manière que celle utilisée en astronomie (cf. chapitre d'Astronomie) pour déterminer les orbites képlériennes.

Ainsi, nous avons démontré dans le chapitre d'Astronomie que :

equation   (41.76)

avec:

equation  et equation   (41.77)

Il va sans dire que dans notre cas, il ne  s'agit plus d'un potentiel gravitationnel mais électrique. Ce qui nous amène à écrire pour notre problème:

equation   (41.78)

Encore nous reste-t-il à trouver l'expression de K sous forme quantifiée (selon les postulats de Bohr).

Attaquons-nous d'abord à déterminer l'expression du paramètre focal p de la trajectoire:

Dans notre problème actuel, l'énergie cinétique et potentielle exprimées en coordonnées polaires donnent (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

equation et equation   (41.79)

L'énergie totale de l'atome est donc donné par:

equation   (41.80)

De façon identique à celle de Bohr, Sommerfeld et Wilson appliquèrent la même forme de quantification pour le rayon-vecteur et l'étendirent à la quantification pour l'angle azimutal.

Soit les moments cinétiques:

equation et equation   (41.81)

Les quantités de mouvement s'obtiennent par dérivation du lagrangien par rapport aux coordonnées généralisées puisque (cf. chapitre de Mécanique Analytique):

equation   (41.82)

La quantification sur l'angle est immédiate, puisque equation est une constante du mouvement. Effectivement, le lagrangien L étant indépendant de equation (mais pas de equation), l'invariance du moment cinétique se traduit par l'équation de Lagrange:

equation   (41.83)

Ce qui nous donne:

equation   (41.84)

avec equation étant le "nombre quantique azimutal", pour rappeler qu'il est lié à la quantification de l'angle polaire.

De cette dernière relation nous obtenons aussi :

equation   (41.85)

Revenons maintenant à:

equation   (41.86)

ce qui nous donne:

equation   (41.87)

Attaquons-nous maintenant à déterminer l'excentricité e de la trajectoire (à ne pas confondre avec la notation de la charge électrique si possible !).

Ce qui nous donne:

equation   (41.88)

Pour déterminer la quantification du moment cinétique par rapport à la variable radiale, nous allons nous servir d'une substitution:

equation   (41.89)

En notant simplement r' la dérivée equation, l'intégrale s'écrit:

equation   (41.90)

où nous avons utilisé equation comme nous l'avons déjà démontré.

En reportant:

equation   (41.91)

dans l'intégrale du moment cinétique radial, nous obtenons (simple à obtenir):

equation   (41.92)

d'où nous déduisons compte tenu de equation que:

equation   (41.93)

ce qui nous amène à:

equation   (41.94)

et donc:

equation   (41.95)

Après quelques simplifications élémentaires nous obtenons finalement :

equation   (41.96)

equation, appelé également "nombre quantique radial" peut lui être nul! Car c'est le cas si equation , c'est-à-dire si la trajectoire est un cercle (cas particulier de Bohr). 

Nous introduisons alors un entier n appelé "nombre quantique principal" tel que:

equation   (41.97)

avec equation

Sommerfeld et Wilson montrent par là que les orbitales du modèle de Bohr doivent pouvoir êtres déterminées par ces deux nouveaux nombres quantiques:

exempleExemple:

Pour equation nous avons deux sous-orbitales possibles :

 equation   (41.98)

La valeur equation est impossible par définition car cela signifierait que le petit axe est nul (ellipse dégénérée en une droite) et l'électron ne peut traverser le noyau (dans le modèle classique en tout cas). Donc la plus petite valeur entière de equation possible est 1.

Il y a donc alors n orbites donnant le même terme spectral. Autrement dit, il y a n fois la même quantification d'énergie. Nous disons également que le niveau d'énergie (total) equation est "n fois dégénéré".

L'idée de Sommerfeld était de rendre compte de la richesse des spectres observés. De ce point de vue, les résultats sont décevants: la quantification de tous les degrés de liberté fait bien apparaître plus d'états (il faut maintenant deux nombres quantique pour spécifier complètement l'état, alors que le modèle de Bohr n'en considère qu'un) mais le degré supplémentaire ne fait qu'introduire une dégénérescence en énergie.

Pour résumer ce modèle, il y a donc exactement le même nombre de niveaux d'énergie et donc le même nombre de transitions d'états énergétiques possibles que celui de Bohr. Du point de vue spectral, la théorie de Sommerfeld-Wilson n'apporte rien de plus que celle de Bohr mis à part que les orbites sont elliptiques et n'explique donc pas l'étendue des spectres observés.

equation
  (41.99)

Au fait, l'idée à partir de maintenant va de reprendre le même modèle en y ajoutant les corrections relativistes. Le travail va nécessairement être plus long mais ô combien fructueux.


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