MODÈLE DE BOHR



PHYSIQUE QUANTIQUE CORPUSCULAIRE

1. Modèle de Dalton

2. Modèle de Thomson

3. Modèle de Rutherford

4. Modèle de Bohr

4.1. Postulats de Bohr

4.2. Quantification

4.2.1. Rayon de Bohr

4.2.2. Formule de Balmer

4.3. Modèles des atomes hydrogénoïdes sans entraînement

4.4. Modèles des atomes hydrogénoïdes avec entraînement

4.5. Hypothese du neutron

5. Modèle de Sommerfeld-Wilson

6. Modèle relativiste de Sommerfeld

6.1. Moment magnétique

6.1.1. Magnéton de Bohr

6.1.2. Nombre quantique magnétique

6.2. Spin

6.3. Principe d'exclusion de Pauli

7. Couches électroniques

En 1913 Niels Bohr, qui a participé aux travaux de Rutherford sur la diffusion des particules equation(noyaux de 2 protons, 2 neutrons libres d'électrons), reprend le modèle de Rutherford mais y inclut 3 postulats fondamentaux:

POSTULATS DE BOHR

P1. L'électron n'émet pas de rayonnement lorsqu'il se trouve sur certaines orbites dites "orbites stationnaires". Cette affirmation est contraire aux théories de l'électrodynamique. Donc ceci implique que toutes les orbites ne sont pas autorisées et constitue une véritable révolution dans l'approche de la physique.

P2. Sur toute orbite stable la quantité de mouvement p intégrée sur le chemin r est un multiple entier de la constante de Planck h (postulat découlant du premier) tel que selon la quantification des échanges d'énergie étables par la relation de Planck. Ce postulat est parfois appelé "hypothèse quantique de Planck".

P3. La relation expérimentale (loi) de Planck :

equation   (41.11)

est valable pour l'émission ou l'absorption d'une radiation lors de la transition d'un électron d'un état énergétique equation ver un état equation (postulat qui solidifie le premier postulat).

Au fait, nous trouvons ici un concept révolutionnaire et indémontrable (aujourd'hui et à notre connaissance) qui consiste à quantifier certaines propriétés de la physique.

Continuons donc notre analyse :

QUANTIFICATION

Soit M la masse du noyau central de charge électrique +e et m la masse de l'électron en "orbite". Nous faisons l'hypothèse que equation et que la masse centrale est immobile (ce qui est évidemment faux dans la réalité).

Nous assimilons le mouvement circulaire de l'électron autour du noyau à celui d'un oscillateur harmonique (masse reliée à un ressort exerçant une force opposée proportionnelle à une constante de rappel equation afin de retenir l'objet lié).

Si l'oscillation a lieu dans un plan, son équation différentielle est (cf. chapitre de Mécanique Calssique) :

equation   (41.12)

Une solution (particulière) de cette équation (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) est :

equation   (41.13)

L'énergie cinétique du système étant donnée dès lors par:

equation   (41.14)

et l'énergie potentielle du système par (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) :

equation   (41.15)

Si nous notons v la fréquence d'oscillation du mouvement oscillatoire nous avons a bien évidemment (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) :

 equation   (41.16)

L'énergie totale du système s'écrit finalement après sommation et simplification (trigonométrie élémentaire):

equation   (41.17)

Nous admettons maintenant que l'électron lié ne peut occuper que certains niveaux d'énergie (premier postulat) selon la loi de Planck :

equation   (41.18)

Ce qui nous donne lorsque nous incluons la loi de Planck dans l'avant dernière relation:

equation   (41.19)

Nous remarquons ici que puisque l'énergie de l'électron est quantifiée l'amplitude de son mouvement l'est également.

Soit à présent l'intégrale de chemin suivante (attention la notation ambiguë entre la fréquence et la vitesse peut porter à confusion) dite également "intégrale d'action" (il s'agit au fait du moment cinétique) :

equation   (41.20)

et compte tenu de l'expression de la vitesse obtenue auparavant:

equation   (41.21)

Sur une période de révolution nous avons :

equation   (41.22)

Etant donné que (cf. chapitre de Trigonométrie):

  equation   (41.23)

L'intégration devient:

equation   (41.24)

comme equation (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) nous avons :

equation   (41.25)

Nous obtenons donc finalement:

equation   (41.26)

Compte tenu que equation et equation ainsi que equation:

equation   (41.27)

Finalement:

equation   (41.28)

Cette condition imposée par Bohr (2ème postulat) résulte de la quantification des échanges d'énergie (loi de Planck). Ce qui a pour conséquence d'imposer des niveaux stationnaires d'énergie que l'électron peut occuper autour du noyau.

Pour une orbite circulaire (rappelez-vous bien que nous considérons pour l'instant une orbite circulaire !) de rayon r le moment cinétique (oui l'intégrale d'action n'est au fait que le moment cinétique) sur la longueur de l'orbitale est donc:

equation   (41.29)

où bien en utilisant la notation traditionnelle du moment cinétique: 

equation   (41.30)

Le moment cinétique est donc quantifié !

MODÈLE DES ATOMES HYDROGENOÏDES SANS ENTRAINEMENT

Nous entendons par l'étude des "atomes d'hydrogénoïdes sans entraînement" lorsque nous considérons des atomes avec un unique électron de masse m en rotation autour d'un noyau central de charge equation et de masse M tel que equation (donc le noyau est supposé fixe).

Calculons les rayons des orbites stationnaires:

Sur son orbite stationnaire, l'électron est en équilibre car il y a un antagonisme exact entre la force coulombienne et la force centrifuge. Ceci doit se traduire par l'égalité des forces suivante :

equation   (41.31)

Nous posons à partir de maintenant (afin d'alléger l'écriture) que :

  equation   (41.32)

Ce qui nous permet d'écrire la relation :

equation   (41.33)

En recourant à la condition de quantification de Bohr et en élevant au carré:

equation   (41.34)

En divisant les deux dernières relations l'une par l'autre:

equation   (41.35)

nous obtenons :

equation   (41.36)

compte tenu de l'expression de k.

Le rayon des orbites autorisées pour l'électron est donc :

equation    (41.37)

avec equationet cette relation est communément appelée le "rayon de Bohr" pour equation.

Les orbites d'un atome selon ce modèle ressemblent donc à :

equation
  (41.38)

L'énergie de l'atome hydrogénoïde sans entraînement est donnée par la mécanique classique (cas d'une force centrale), somme de l'énergie cinétique et potentielle électrostatique :

equation   (41.39)

Avec :

equation   (41.40)

il vient :

equation   (41.41)

En y introduisant l'expression du rayon quantifié obtenu précédemment:

equation   (41.42)

Nous trouvons donc que l'énergie totale de l'atome considéré est quantifiée et négative (ce qui correspond à des états stables car il faut un apport de l'énergie pour les defaire) telle que:

equation   (41.43)

Entre deux niveaux, le passage d'un électron du niveau equation vers un niveau equation (nous préciserons comment lors de l'étude de l'effet photoélectrique plus loin) se traduit par l'émission d'une raie de fréquence donnée par l'expression de l'hypothèse de quantification de Planck :

equation   (41.44)

En fait, si nous admettons avec Bohr que les énergies d'un électron sur son orbite sont données par l'inverse du carré du nombre entier , la différence d'énergie entre deux orbites caractérisées par de grande valeurs de ces nombres entier tend vers zéro lorsque les nombres entiers tendent vers l'infini. Nous retrouvons alors un semblant de variation continue pour les énergies échangées par un atome avec le champ électromagnétique et la notion de trajectoire d'un électron prend alors à nouveau du sens.

En faisant appel à l'expression complète de l'énergie totale, nous trouvons alors la fréquence correspondante à la raie émise:

equation   (41.45)

la longueur d'onde émise s'en déduit aisément :

equation   (41.46)

La constante equation  (notée aussi equation selon les situations) est appelée la "constante de Rydberg".

Un électron qui occupe une orbite n est dans un "état stationnaire" si son énergie ne varie pas. En revanche, une transition directe equation equation s'accompagne de l'émission d'un photon dont l'énergie est donnée par le calcul de la fréquence comme nous allons le démontrer.

"L'énergie d'ionisation" est l'énergie qu'il faut fournir pour éloigner l'électron à l'infini de son orbite. Ainsi pour l'état fondamental de l'hydrogène, il faudrait poser equation et equation.

Le résultat obtenu par Bohr pour l'expression de la fréquence en fonction des niveaux d'énergie de l'électron et est un résultat formidable car le chimiste Bâlois Balmer avait en 1885 (28 ans auparavant) découvert expérimentalement que le spectre des raies de l'hydrogène suivait aussi cette loi.

Balmer avait remarqué que les raies spectrales étaient extrêmement fines. Cela laissait supposer que l'énergie n'était pas émise par les atomes d'une manière continue mais seulement à certaines fréquences bien précises. En outre, cette finesse des raies explique la précision avec laquelle il avait pu déterminer la constante de Rydberg.

Les chimistes avaient également constaté que chaque élément atomique possédait son propre spectre. Il était dès lors clair que toute théorie atomique devrait rendre compte de ces 2 caractéristiques et c'est ce que fit brillamment le modèle de Bohr à l'aide des postulats des niveaux d'énergies.

Nous définissons les séries suivantes du spectre de l'atome d'hydrogène :

- Pour la série avec equation et equation on obtient le résultat des mesures effectuées (le spectre) par Lymann en 1906 dans l'UV.

- Pour la série avec equation et equation on obtient le résultat des mesures effectuées (le spectre) par Balmer en 1885 dans le visible.

- Pour la série avec equation et equation on obtient le résultat des mesures effectuées (le spectre) par Paschen en 1908 dans l'infrarouge.

- Pour la série avec equation et equation on obtient le résultat des mesures effectuées (le spectre) par Brackett en 1928 dans l'infrarouge.

- Pour la série avec equation et equation on obtient le résultat des mesures effectuées (le spectre) par Pfund en 1924 dans l'infrarouge.

equation
  (41.47)

Les quatre raies principales de la "série de Balmer" (visible) sont les plus connues:

equation   (41.48)

Cependant une petite différence subsistait entre la constante de Rydberg théorique et pratique (connue avec très grande précision). Ceci va conduire à complexifier le modèle :

MODÈLE DES ATOMES HYDROGENOÏDES AVEC ENTRAÎNEMENT

Le noyau de l'atome possède une masse M que nous avons supposée immobile par simplification. En réalité l'ensemble noyau (M) et électron (m) tourne autour d'un centre de masse commun (évidemment!).

Hypothèses:

H1. L'atome hydrogénoïde est considéré comme un système isolé.

H2. Le noyau et l'électron gravitent chacun sur une orbite circulaire autour d'un centre commun : le "centre de masse" (cf. chapitre de Mécanique Classique).

H3. Ils ont même vitesse angulaire.

L'atome hydrogénoïde étant un système isolé, le mouvement du centre de masse est soit en mouvement rectiligne et uniforme soit au repos. Il est donc licite d'y placer un système de repère inertiel.

equation
  (41.49)

La définition du centre de masse dans un système de laboratoire est donnée par le théorème du centre de masse (cf. chapitre de Mécanique Classique):

equation   (41.50)

L'étude présente sera effectuée par rapport au centre de masse, la relation précédente devient donc:

equation   (41.51)

De la relation précédente, en prenant la norme et la valeur absolue il vient que: 

equation   (41.52)

La distance entre le noyau et l'électron demeurant constante et égalant equation nous écrivons :

equation   (41.53)

Nous en déduisons trivialement que:

equation et equation   (41.54)

En appliquant la loi de la dynamique, nous écrivons que la somme des forces sollicitantes (électrostatique et centrifuge) de l'électron (uniquement) s'équilibrent tel que:

equation   (41.55)

Que nous pouvons écrire en isolant equation:

equation   (41.56)

Nous retrouvons l'expression de la masse réduite bien connue dans un système à deux corps :

equation   (41.57)

Attaquons-nous maintenant à la détermination de l'énergie totale de l'atome:

L'énergie cinétique de l'atome est la somme des énergies cinétiques du noyau (N) et de l'électron (e) tel que:

equation   (41.58)

Comme equation avec comme hypothèse que la pulsation est identique pour le noyau et l'électron:

equation   (41.59)

Avec les relations des différents rayons déterminées précédemment :

equation   (41.60)

et connaissant l'expression de la pulsation:

equation   (41.61)

Par ailleurs, de l'avant dernier développement nous tirons une relation dont nous allons faire usage plus loin :

equation   (41.62)

L'énergie potentielle de l'électron par rapport au centre de masse étant donnée par (cf. chapitre d'Électrostatique):

equation   (41.63)

L'énergie totale de l'atome hydrogénoïde est alors :

equation   (41.64)

Par rapport au centre de masse, le moment cinétique total est la somme des moments cinétiques de l'électron equation et du noyau equation (rappelons que le moment cinétique est aussi souvent noté par la lettre L).

equation   (41.65)

La parenthèse de la dernière égalité a déjà fait l'objet d'un calcul précédemment et nous avons donc:

equation   (41.66)

c'est ici que Bohr introduit sa condition de quantification :

equation   (41.67)

or, nous connaissons l'expression détaillée de la pulsation :

equation   (41.68)

Le rayon quantifié a donc pour expression :

equation   (41.69)

L'énergie totale de l'atome devient finalement :

equation   (41.70)

Soit de manière condensée :

equation   (41.71)

A partir de cette dernière relation, nous pouvons déterminer facilement l'expression (comment nous l'avons déjà fait) des longueurs d'ondes émises par une désexcitation de l'électron d'un orbite equation à equation.

Remarque: Il convient bien évidemment de rendre compte que ce modèle est plus précis que le précédent.

HYPOTHÈSE DU NEUTRON

Les résultats de spectroscopie sont connus avec très grande précision, par conséquent les constantes de Rydberg également (car dépendante de la masse de l'élément atomique étudié).

Les deux raies bleues mesurées de la série de Balmer de l'hydrogène noté H (equation composé d'un proton et d'un électron) et du deutérium D (isotope de l'hydrogène composé d'un neutron en plus) présentent une différence de longueur d'onde de equation Angström.

La longueur d'onde appartenant à la série de Balmer s'exprime dès lors (avec la correction du centre de masse vue précédemment) comme:

equation   (41.72)

Cette dernière expression écrite successivement pour l'hydrogène et le deutérium mène à:

equation et equation   (41.73)

Nous rappelons que la masse de l'électron nous est connue. Ce qui est intéressant c'est que deux éléments ont des propriétés chimiques identiques mais des raies différentes. Les scientifiques de l'époque se demandaient pourquoi et ayant (que) le modèle de Bohr à leur disposition ils ont pu conclure que cette différence dans les raies venait d'après les deux dernières relations de la différence de la masse du noyau de l'atome après avoir élaboré le modèle avec entraînement de l'atome hydrogénoïde.

Encore fallait-il déterminer cette différence de masse et expliquer sa provenance!

Nous avons donc:

equation   (41.74)

ce qui montra aux scientifiques de l'époque que le noyau de deutérium est formé de 2 particules de masse équivalente à celle du proton. Donc par déduction logique, ce noyau se doit d'être composé d'un proton (ce que l'on sait évidemment!) et d'une particule neutre.

Cette hypothèse et celle du "neutron", qui fut découvert ultérieurement de manière expérimentale en 1932 par Chadwick.

D'ailleurs vous pouvez vérifier dans votre table des isotopes (si vous en avez une...) que la différence de masse atomique (notion que nous verrons lors de notre étude de la physique nucléaire) est de 0.5001 !!!


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