FILIATION RADIOACTIVE



PHYSIQUE NUCLÉAIRE

1. L'arme nucléaire

2. Nombre atomique, nombre de masse

3. Isotopes, nucléides, isotones

4. Système de masse atomique (u.m.a)

5. Radioactivité

5.1. Demi-vie d'isotope

6. Activité radioactive

7. Datation au Carbone 14

8. Filiation radioactive

8.1. Équilibre séculaire

8.2. Équilibre transitoire

8.3. Non-équilibre

9. Phénomènes radioactifs

9.1. Défaut de masse

9.1.1. Énergie moyenne par nucléon

9.2. Fusion nucléaire

9.3. Fission nucléaire

9.4. Désintégration Alpha

9.5. Désintégration Beta-

9.6. Désintégration Beta+

9.7. Capture électronique

9.8. Emission Gamma

9.9. Conversion interne

10. Radioprotection

10.1. Formule de Bethe-Bloch

10.2. Effet Compton

10.3. Effet Photoélectrique

10.4. Diffusion de Rutherford

10.5. Rayons-X et Gamma

10.5.1. Création de paire électron-positron

Définition: Une filiation radioactive (dite aussi "série de décroissance radioactive" ou encore "décroissance multiple") est par définition la stabilisation d'un noyau appelé "noyau mère" en une succession de désintégrations. Chaque étape est caractérisée par un état intermédiaire correspondant à un radionucléide appelé "nucléide fille" de l'élément mère. Nous avons :

equation   (44.35)

où * désigne un isotope radioactif donné, equation l'isotope stable de la filiation radioactive de l'élément mère equation (les éléments entre deux étant tous des nucléides instables).

exempleExemple:

Considérons le problème à 2 corps  (nous ne nous intéresserons pas aux cas supérieurs excepté sur demande). Supposons qu'à l'origine des temps, le premier descendant n'existe qu'en quantité négligeable:

Conditions Initiales (C.I.) à equation:

equation   (44.36)

La variation de l'élément mère (1) n'est donnée que par une contribution négative, la désintégration de 1. 

Nous avons:

equation   (44.37)

avec pour solution tenant compte des conditions initiales :

equation   (44.38)

La variation de l'élément descendant (2), c'est-à-dire la fille de 1, est donnée par une contribution positive (les atomes de 1 désintégrés) et une négative, la désintégration de 2. On a:

equation   (44.39)

il faut donc résoudre cette équation différentielle (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral).

Nous avons comme solution homogène (équation caractéristique ECAR):

equation   (44.40)

Nous tirons la solution de l'équation homogène comme:

equation    (44.41)

avec la lettre h pour signifier qu'il s'agit de la solution "homogène".

Déterminons maintenant la solution particulière de:

equation   (44.42)

La démarche consiste à poser que equation avec la lettre p pour "particulière".

En substituant nous trouvons :

equation   (44.43)

Car si nous avions equation nous aurions une égalité nulle ce qui est absurde et nous avons dès lors: 

equation   (44.44)

d'où nous tirons que :

equation   (44.45)

Finalement la solution générale est la somme de la solution homogène et de la particulière, ainsi:

equation   (44.46)

Appliquons les conditions initiales: 

equation   (44.47)

Finalement nous avons :

equation   (44.48)

Nous laisserons le soin au lecteur de tracer les graphiques de:

equation et equation   (44.49)

pour voir l'allure que cela à s'il en ressent le besoin.

equation étant nul pour equation et pour equation, obligatoirement il passe, comme l'activité equation, par un maximum. Soit equation le temps ou le maximum est observé, nous avons:

equation   (44.50)

d'où:

equation   (44.51)

La connaissance de equation est importante en particulier en médecine nucléaire où nous désirons administrer le produit 1 à des fins radiodiagnostics et minimiser les effets néfastes du/des produit(s) fille(s) de 1. Nous choisissons alors des produits tel que le temps equation soit supérieur au temps d'élimination biologique (voies d'élimination naturelle de l'organisme) de sa fille. Nous y reviendrons d'ici quelques paragraphes après avoir étudié les trois scénarios classique de la filiation radioactive:

ÉQUILIBRE SÉCULAIRE

Ce type de relation entre activité mère et fille intervient quand la demi-vie du noyau mère est beaucoup plus grande que celle du noyau fille. En d'autres termes, la décroissance du noyau mère est négligeable et l'activité du descendant tend vers celle du parent.

Nous avons alors dans ce cas particulier:

equation   (44.52)

Donc nous avons pour l'activité en utilisant la relation précédemment démontrée:

equation   (44.53)

Donc:

equation   (44.54)

Nous voyons aussi que dans le cas où equation et equation, nous avons:

equation   (44.55)

en d'autres termes, les activités mère et fille, deviennent équivalentes après un certain temps suffisamment grand. Par exemple, après un temps d'une demi-vie de l'isotope fille, nous avons déjà l'activité fille qui est égale à 50% de celle de l'activité mère:

equation   (44.56)

Si nous avons le cas où l'approximation suivante est acceptable:

equation   (44.57)

nous aurons alors:

equation

ÉQUILIBRE TRANSITOIRE

Ce type de relation entre activité mère et fille intervient quand la demi-vie du noyau mère est plus grande que celle du noyau fille (mais pas beaucoup beaucoup plus grand contrairement au cas de l'équilibre séculaire). En d'autres termes, la décroissance du noyau mère et l'activité des descendants sont égales à un facteur constant près (en d'autres termes, leurs courbes de décroissance radioactives sont parallèles après un temps suffisamment long).

Nous avons alors dans ce cas particulier:

equation   (44.58)

Donc nous avons pour l'activité en utilisant la relation précédemment démontrée:

equation   (44.59)

Après un temps suffisamment long il vient:

equation   (44.60)

où nous voyons que le facteur:

equation   (44.61)

et supérieur à l'unité. Donc après un temps suffisamment long, non seulement l'activité de l'isotope fille est parallèle à celle de la mère mais en plus elle lui est supérieure.

NON-ÉQUILIBRE

Ici le temps de demi-vie de l'élément-fils est supérieur à celui de l'élément mère. En d'autres termes nous avons l'hypothèse:

equation   (44.62)

L'activité de l'isotope fille croît alors dans l'échantillon suivant la relation démontrée au début:

equation   (44.63)

Finalement, après un temps suffisamment long, seule l'activité de l'élément fille restera, puisque l'activité de l'élément mère disparaît à un taux plus élevé selon:

equation

Après un temps equation, l'activité de l'élément fille atteindra une valeur maximale pour:

equation   (44.64)

Soit:

equation   (44.65)

Ce qui se simplifie en:

equation   (44.66)

Il vient alors immédiatement le résultat déjà démontré lors de l'exemple présenté plus haut:

equation   (44.67)

Enfin, considérons le cas extrême de la situation de non-équilibre qui consiste à considérer le cas où:

equation   (44.68)

En d'autres termes que l'élément fille n'est pas radioactif. Nous tombons alors sur le cas classique:

equation   (44.69)


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