DIFFUSION DE RUTHERFORD



PHYSIQUE NUCLÉAIRE

1. L'arme nucléaire

2. Nombre atomique, nombre de masse

3. Isotopes, nucléides, isotones

4. Système de masse atomique (u.m.a)

5. Radioactivité

5.1. Demi-vie d'isotope

6. Activité radioactive

7. Datation au Carbone 14

8. Filiation radioactive

8.1. Équilibre séculaire

8.2. Équilibre transitoire

8.3. Non-équilibre

9. Phénomènes radioactifs

9.1. Défaut de masse

9.1.1. Énergie moyenne par nucléon

9.2. Fusion nucléaire

9.3. Fission nucléaire

9.4. Désintégration Alpha

9.5. Désintégration Beta-

9.6. Désintégration Beta+

9.7. Capture électronique

9.8. Emission Gamma

9.9. Conversion interne

10. Radioprotection

10.1. Formule de Bethe-Bloch

10.2. Effet Compton

10.3. Effet Photoélectrique

10.4. Diffusion de Rutherford

10.5. Rayons-X et Gamma

10.5.1. Création de paire électron-positron

Considérons la diffusion qu'une particule chargée subit quand elle est soumise à une force électrostatique répulsive inversement proportionnelle au carré de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou centre de force. Ce problème est particulièrement intéressant en raison de son application à la physique atomique et nucléaire. Par exemple, quand un proton, accéléré par une machine telle qu'un cyclotron, passe près d'un noyau de la matière de la cible, il est dévié sous l'action d'une force de ce type, provenant de la répulsion électrostatique du noyau (c'est la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion coulombienne).

equation
  (44.211)

Soit O un centre de force et A une particule lancée contre O d'une grande distance avec la vitesse equation (voir figure ci-dessus). Nous choisirons l'axe des X passant par O et parallèle à equation. La distance b, appelée "paramètre de choc", est la distance l'axe X des abscisses et le point A. En supposant que la force entre A et O est répulsive et centrale, la particule suivra AMB. La forme de la courbe dépend de la manière dont la force varie avec la distance. Si la force est inversement proportionnelle au carré de la distance, c'est-à-dire si :

equation   (44.212)

la trajectoire est une hyperbole. Avec bien évidemment (cf. chapitre d'Électrostatique):

equation   (44.213)

Quand la particule est en A son moment cinétique est equation. Dans une position quelconque telle que M, son moment cinétique, est (cf. chapitre de Mécanique Classique) aussi donné par equation. Comme le moment cinétique doit rester constant puisque la force est centrale :

equation   (44.214)

L'équation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant l'équation par :

equation   (44.215)

En éliminant equation à l'aide de l'avant dernière équation nous pouvons écrire :

equation   (44.216)

Pour trouver la déviation de la particule, nous devons intégrer cette équation depuis l'une des extrémités de la trajectoire jusqu'à l'autre. En A la valeur de equation est nulle car le mouvement initial est parallèle à l'axe des X et nous avons aussi equation. En equationnous avons equation et equation. Remarquons qu'en B la vitesse est de nouveau equation car, par symétrie, la vitesse perdue quant la particule s'approche de O doit être regagnée quand elle s'en éloigne. Alors :

equation   (44.217)

Ce qui donne :

equation   (44.218)

Rappelons (cf. chapitre de Trigonométrie) que :

equation   (44.219)

Ce qui nous donne :

equation   (44.220)

Soit de manière plus détaillée :

equation   (44.221)

Cette relation donne l'angle de déviation equation en fonction du paramètre de choc b.

Ce qui nous donne aussi :

equation   (44.222)

Bien évidemment, dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la relation mais on perd en généralisation.

Cette équation est appliquée à l'analyse de la déviation de particule chargée par les noyaux. Remarquons que ce résultant n'est valable que pour une force inversement proportionnelle au carré de la distance. Si la force dépend de la distance selon une autre loi, l'angle de déviation satisfait à une autre équation. Les expériences de déviation sont donc très utiles quant nous voulons déterminer la loi de force dans les interactions entre particules.

equation
  (44.223)

Dans les laboratoires de physique nucléaire, on fait des expériences de diffusion en accélérant des électrons, des protons ou d'autres particules au moyen d'un cyclotron, d'un accélérateur de Van de Graaf ou de quelque autre dispositif semblable, et en observant la distribution angulaire des particules déviées.

Il est clair qu'une particule incidente dans une surface définie par un rayon comprise entre b et b + db sera respectivement compris dans l'angle solide de diffusion :

equation   (44.224)

avec (cf. chapitre de Trigonométrie) equation.

equation
  (44.225)

La "section efficace" étant définie par :

equation   (44.226)

En combinant cette relation avec :

equation, equation   (44.227)

Nous avons donc pour la "section (différentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)":

equation   (44.228)

A l'aide de la diffusion de Rutherford/Coulomb, Rutherford a pu déterminer une approximation de la taille du noyau de l'atome comme nous l'avons fait remarque au début du chapitre de Physique Quantique Corpusculaire. Le raisonnement appliqué est le suivant pour déterminer une borne inférieure du rayon du noyau :

L'énergie totale d'un système en rotation est l'énergie cinétique de translation sommée à l'énergie cinétique de rotation, sommé à l'énergie potentielle. Ce qui nous donne :

equation   (44.229)

en notant L le moment cinétique donné par equation nous avons :

equation   (44.230)

d'où :

equation   (44.231)

Il en résulte donc :

equation   (44.232)

D'où l'angle associé à deux distance radiales equation est donné par :

equation   (44.233)

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel centre U(r). La particule incidente possède une vitesse initiale :

equation en equation avec equation et equation   (44.234)

par symétrie à nouveau.

equation
  (44.235)

L'angle equation est l'angle de déflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur à la distance minimum equation.

Revenons-en à nos équations où le moment cinétique est lié au paramètre d'impact par la relationequation ou encore :

equation   (44.236)

Nous pouvons donc écrire après simplifications :

equation   (44.237)

où nous avons posé equation (l'énergie de rotation et du potentiel considérés comme négligeables par rapport par rapport à l'énergie cinétique) et:

equation   (44.238)

La distance minimale d'approche est donc déterminée par la plus grand zéro du dénominateur :

equation   (44.239)

c'est-à-dire (trivial) :

equation   (44.240)

Nous avons donc :

equation   (44.241)

Comme nous le voyons dans cette dernière relation, la particule incidente subira une collision frontale lorsque equation. Dès lors, la valeur de l'approche maximale est :

equation   (44.242)

L'expérience de Rutherford permit d'estimer la taille du noyau atomique. En effet, les particules a qui ont rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180° (nous parlons alors de "rétrodiffusion"), sont celles qui se sont approchées le plus près de ce dernier. Puisque nous avons :

equation   (44.243)

avec une énergie cinétique initiale de 7.7 [MeV], Rutherford trouva pour le rayon de l'atome d'or (Z=79) avec des particules alpha (Z=2) une valeur de :

equation   (44.244)

RAYONS-X ET GAMMA

La différence fondamentale de ce type de rayonnement, par rapport aux equation, est qu'il n'est pas porteur de charge électrique et n'a donc pas d'interaction coulombienne avec le cortège électronique du milieu traversé. Par conséquent, le photon suit un chemin rectiligne sans perte d'énergie jusqu'à ce qu'il rencontre sur sa trace une particule (électron, noyau) où il va faire une interaction modifiant profondément son état.

Le rayonnement gamma est une radiation électromagnétique de haute énergie produite par un phénomène nucléaire, alors que les rayons-X sont des radiations électromagnétiques de haute énergie produites lors de phénomènes atomiques ou moléculaires. Le photon est la particule élémentaire qui est associée à ces ondes électromagnétiques. Les photons gamma et X sont donc de même nature mais d'origines différentes, ils ont donc des propriétés identiques qui dépendent de leur énergie.

Rappelons que :

equation   (44.245)

En traversant la matière un photon peut interagir avec :

- Un des électrons de l'atome rencontré

- Le noyau de l'atome

- Le champ électrique des particules atomiques chargées

- Le champ mésique des nucléons (interaction forte)

Le résultat de l'interaction peut être schématisé comme :

- le photon est dévié en conservant son énergie, il y a alors "diffusion totale" de l'énergie et le processus est dit "cohérent" (élastique)

- le photon est dévié et son énergie diminuée, il y a alors "diffusion partielle" de l'énergie, l'autre partie est absorbée par la matière, les processus est dit alors "incohérent" (inélastique)

- le photon disparaît, il y a "absorption (totale)" de son énergie par la matière.

Nous pouvons démontrer que les caractéristiques macroscopiques de ces interactions dans le cadre d'un faisceau fin et collimaté conduisent à une loi exponentielle d'atténuation du rayonnement photonique dans la matière. Cela signifiant que pour les photons il n'y a pas de parcours fini (!) comme pour les particules chargées; on ne pour jamais assurer qu'à une distance donnée tout les photons d'un faisceau aient subi une interaction.

Le nombre de particules interagissant avec la matière dépend évidemment de l'intensité I et du type de matière traversée (caractérisée par le "coefficient d'atténuation linéique" equation) et de son épaisseur x.

Nous avons :

equation   (44.246)

le signe "-" étant là pour mettre en évidence une diminution. Nous résolvons facilement cette équation différentielle (c'est simplement la loi de Beer-Lambert que nous avons déjà vu dans le chapitre d'Optique Géométrique) :

equation   (44.247)

avec equation l'intensité initiale ou "débit de fluence" et equation le coefficient d'atténuation linéique equation qui tient compte de toutes les effets d'atténuation possible.

Remarque: Souvent dans les tables, nous trouvons le coefficient d'atténuation massique equation exprimé en equation. Nous avons alors :

equation   (44.248)

Dans le cas d'un absorbant contenant plusieurs éléments chimiques homogènement distribués, le coefficient d'atténuation vaut :

equation ou equation   (44.249)

equation est le coefficient d'absorption de l'absorbant, equation le coefficient d'absorption de l'élément i, equation la masse volumique de l'absorbant, equation la masse volumique de l'élément i, equation étant la fraction massique de l'élément i dans l'absorbant.

Faisons maintenant un approche microscopique : soit un faisceau de equation frappant perpendiculairement la surface d'un matériau d'épaisseur dx et de densité atomique equation. Si nous considérons les particules frappant la surface A, ces dernières peuvent théoriquement rencontrer equation atomes cibles dans cette couche. Le nombre de particules interagissant sera proportionnel à l'intensité fois ce nombre et nous aurons :

equation   (44.250)

equation est la constante de proportionnalité, appelée "section efficace microscopique". Ces unités sont souvent exprimées en "barn" (equation).

Remarques:

R1. La densité atomique N est égale à equationequation es la densité en equation de la cible, equation le nombre d'Avogadro (equation) et M est la masse molaire de la cible exprimée en equation.

R2. Si nous admettons que les centres de diffusion sont les électrons et non pas les atomes cibles, alors il faut remplacer N par equation.

D'où nous obtenons :

equation   (44.251)

En identifiant l'aspect macro et microscopique, nous voyons que equation joue le même rôle que equation et que nous trouvons que la section efficace peut s'écrire comme :

equation   (44.252)

et dans l'hypothèse où l'électron constitue une "sphère d'action" présentant une surface frontale equation, equation étant le rayon de la sphère d'action alors :

equation   (44.253)

et nous avons :

equation   (44.254)

Par définition, nous appelons coude de demi-atténuation CDA l'épaisseur du matériau le débit de fluence I d'un facteur deux. Ainsi :

equation   (44.255)

En radiprotection, nous utilisons parfois la notion de couche d'atténuation aux dixième TVL (Tenth Value Layer) donnée par :

equation   (44.256)

Nous faisons usage parfois aussi de la "longueur de relaxation", qui représente l'épaisseur à partir de laquelle l'intensité d'un faisceau monoénergétique est diminuée d'un facteur e, et qui est donc donnée par :

equation   (44.257)

Cette valeur est beaucoup plus utile que les autres car c'est aussi la distance moyenne à laquelle a lieu la première collision du photon.

Remarque: L'irradiation gamma est anecdotiquement utilisée dans le cadre de la conservation du patrimoine des objets organiques. Effectivement, lors de la découverte des archéologues d'oeuvres ou vestiges anciens, ces derniers sont attaqués par des micro-organismes qui vont détruire ces objets avec le temps. Le rayonnement gamma va permettre, sans détruire les objets, de tuer par irradiation gamma tous ces micro-organismes. L'exemple le plus connu étant l'irradiation de la momie de Touthankamon pendant 10 heures dans les laboratoires du CEA.

Les causes microscopiques connues de l'atténuation d'un faisceau de photons (neutre au point de vue coulombien) qui méritent notre attention dans la détermination de leur dans le domaine d'énergie des photons gamma ou rayons X sont au nombre de sept :

- Diffusion cohérente de Thomson

- Diffusion cohérente de Rayleigh

- Diffusion cohérente de Delbruck

- Diffusion cohérente de Compton (déjà vu partiellement plus haut)

- Absorption photoélectrique (déjà partiellement vu plus haut)

- Réaction photonucléaire

- Création de paire d'électron-positrons (déjà partiellement vu plus haut)

Bien que nous pussions à ce jour parler de ces effets, il nous est impossible dans l'état actuel du site de présenter le formalisme mathématique permettant de déterminer la section efficace de chacune des ces diffusions.

CRÉATION PAIRES ÉLECTRON-POSITRON

Au cours de la création de paires, le photon absorbé dans le champ électrique du noyau peut générer une paire électron-positron. Pour que l'interaction puisse avoir lieu, il faut que l'énergie du photon soit supérieure à equation (1.02 [MeV]), soit l'énergie au repos de la paire électron-positron.

Cet effet est important pour les hautes énergies et les numéros atomiques élevés. Le positron créé est freiné dans la matière tout comme un électron et, en fin de parcours, il s'annihile avec un électron pour donner lieu à deux photons de 0.511 [MeV] (photons d'annihilation) émis presque à 180° (tout la quantité de mouvement est transformée en énergie d'où la valeur de l'angle, ainsi la quantité de mouvement finale est nulle).

La création de paire coûte évidemment au moins l'énergie de masse de l'électron et du positron, soit equation. Le solde d'énergie se répartit ensuite dans l'énergie cinétique des deux particules :

equation   (44.258)

La nécessité de satisfaire simultanément aux conditions de conservation de l'énergie masse et de la quantité de mouvement d'autre part imposent à l'effet de matérialisation d'avoir lieu au voisinage d'une particule matérielle qui participe au phénomène. En effet, dans le vide, les deux conditions sont contradictoires ! La quantité de mouvement de chaque électron vaut :

equation   (44.259)

equation est l'énergie totale de chacun des électrons, c'est-à-dire :

equation   (44.260)

Le photon d'origine à :

equation et equation   (44.261)

que nous introduisons dans l'équation de conservation de l'énergie et avec l'aide la relation donnant equation de nous avons :

equation   (44.262)

ce qui montre bien que par le terme equation que le noyau doit emporter une partie de la quantité de mouvement puisque :

equation   (44.263)