POLARISATION DE LA LUMIÈRE



OPTIQUE ONDULATOIRE

1. Principe d'Huygens

1.1. Loi de Malus

2. Diffraction de Fraunhofer

2.1. Cas d'une fente rectangulaire

2.1.1. Pouvoir de résolution

2.2. Cas d'un réseau de fentes rectangulaires

2.3. Fentes de Young

3. Polarisation de la lumière

4. Cohérence et interférence

Ce n'est qu'au 19ème siècle qu'on découvrit la polarisation de la lumière (nous allons de suite expliquer de quoi il s'agit). Cependant, à l'époque de Newton, on connaissait déjà un phénomène dû à la polarisation : l'existence de cristaux dits "cristaux biréfringents" (tel le spath d'Islande) qui ont la propriété de réfracter un seul rayon en deux rayons distincts (aujourd'hui nous savons que les deux rayons réfractés par un tel cristal sont polarisés).

Pour comprendre ce qu'est la "polarisation de la lumière", revenons au cas d'une onde se propageant sur une corde (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire). Une telle onde peut le faire dans un plan vertical (droite) aussi bien que dans un plan horizontal (gauche) ou dans tous les plans intermédiaires:

equation
  (40.106)

Dans les deux cas, nous disons que l'onde est "polarisée linéairement", ce qui signifie que les oscillations se font uniquement et toujours dans le même plan, appelé "plan de polarisation". Une telle onde peut passer à travers une fente verticale si elle est polarisée verticalement, une onde polarisée horizontalement ne pourra pas.

Rappel : nous avons vu dans le chapitre d'Électrodynamique que pour les ondes électromagnétiques, le champ électrique equation oscille (du moins pour la solution standard des équations de Maxwell) et est orthogonale à la direction de propagation.

Le vecteur champ électrique equation d'une onde peut être décomposé en deux composantes perpendiculaires l'une à l'autre, equation si l'onde se propage dans la direction z et transportant chacune la moitié de l'intensité de l'onde. Ces deux composantes changent à tout moment lorsque equation varie. Le résultat à tout instant est un champ horizontal total et un champ vertical total.

equation
  (40.107)

Si equation tourne autour de la direction de propagation avec son extrémité décrivant un cercle, nous disons alors que l'onde est "polarisée circulairement" :

equation
  (40.108)

equation reste alors constant en module mais tourne tout en progressant, effectuant un tour complet pour chaque parcours égal à une longueur d'onde.

Remarque: La lumière n'est pas forcément polarisée ! Chaque atome émet un train d'ondes qui dure moins d'un cent millionième de seconde (ces trains d'ondes sont parfaitement expliqués par la propagation de la particule libre en physique quantique avec les transformées de Fourier), et toutes ces ondes n'ont aucune corrélation de phase ou d'orientation. Le champ résultant en une position donnée de l'espace, est la somme géométrique de tous ces trains d'ondes : il change constamment.

Ainsi, la lumière naturelle est un mélange aléatoire et très rapidement variable d'ondes linéairement polarisées dans toutes les directions. En regardant vers la source, nous observons un champ equation, résultant qui oscille dans une certaine direction durant une fraction de période puis saute brusquement à une nouvelle direction aléatoire tout en restant perpendiculaire à la direction de propagation :

equation
  (40.109)

Cette introduction ayant été faite, passons à quelque chose d'un peu plus formel :

Nous avions donc vu en électrodynamique qu'une onde plane progressive monochromatique (même si physiquement elle n'existe pas...) se propageant dans le vide était composée d'un champ equation et d'un champ magnétique equation et était caractérise par sa pulsationequation, son amplitude en champ électrique equation et en champ magnétique equation et sa direction de propagation donnée par un vecteur unitaire equation à choix selon l'orientation du repère choisi.

Nous avons vu également que ces ondes possèdent des propriétés structurelles remarquables, en particulier :

- equation et equation sont transverses, c'est-à-dire que leur direction est en tout point et à tout instant orthogonale à la direction de propagation (théorème de Malus). Ceci, permettant de définir un plan d'onde, plan généré par les deux directions de equation et equation.

- Les normes de ces deux vecteurs sont reliées par equation, où equation est la vitesse de la lumière dans le vide (c'est ce rapport immense entre le champ magnétique et le champ électrique d'une onde électromagnétique qui fait que les développements présentés plus loin se font de préférence par rapport à la composante equation de l'onde)

- Enfin, ces deux vecteurs sont orthogonaux entre eux, et le trièdre equation est un trièdre orthogonal direct.

Ces trois propriétés se résument par la relation :

equation   (40.110)

où nous avons choisi le repère tel que l'onde se propage selon la direction equation. De plus, nous avions montré que le champ électrique est une fonction d'onde trigonométrique donnée à l'arbitraire de phase près par :

equation ou equation   (40.111)

Plaçons nous maintenant dans une base (x, y, z). L'expression la plus générale du champ électrique d'une onde plane progressive monochromatique se propageant selon equation peut être décomposée selon deux composantes :

equation

equation
  (40.112)

La norme du champ étant dès lors donnée dès lors par :

equation   (40.113)

Si equation (ce qui est le cas le plus souvent) nous avons alors :

equation   (40.114)

En choisissant une autre origine des temps, nous pouvons toujours nous ramener à écrire :

equation   (40.115)

avec equation.

Remarque: Le choix d'écrire equation plutôt que equation nous sera utile plus tard pour l'utilisation des relations trigonométriques remarquables et nous permettre de trouver l'équation d'une ellipse (patience... c'est pas très loin).

En utilisant les phaseurs (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) ces dernières relations peuvent se ramener à :

equation   (40.116)

Mais la polarisation la plus générale est décrite par un vecteur complexe normalisé à l'unité dans un espace à deux dimensions de composantes :

equation   (40.117)

avec equation.

Cependant, pour décrire ce champ, et donc l'ensemble de l'onde, il est commode de se placer dans le plan equation et de décrire l'évolution du vecteur equation dans ce plan. C'est ce que nous allons faire par la suite. Ceci revient en fait à choisir une origine des coordonnées selon z. Dans ce cas, nous pouvons écrire :

equation   (40.118)

POLARISATION LINÉAIRE

Définition: Nous disons qu'une onde est "polarisée linéairement" lorsque equation ou equation.

Dans le premier cas (equation, nous avons :

equation   (40.119)

Dès lors, nous avons equation qui ont des valeurs comprises respectivement entre equation .

Remarque: Relativement à un diagramme que nous verrons plus loin il convient de prendre en compte que lorsqu'une composante est positive l'autre l'est aussi et inversement.

Nous avons dès lors à chaque instant :

equation   (40.120)

ce qui signifie que le champ garde une direction fixe. D'où le fait que nous parlions d'onde polarisée linéairement.

Si equation nous avons alors :

equation   (40.121)

Dès lors, nous avons equation qui ont des valeurs comprises aussi entre equation .

Remarque: Relativement à un diagramme que nous verrons plus loin il convient de prendre en compte que lorsqu'une composante est positive l'autre est négative et inversement.

Nous avons dès lors à chaque instant :

equation   (40.122)

ce qui signifie aussi que le champ garde une direction fixe. D'où le fait que nous parlions également d'onde polarisée linéairement.

POLARISATION ELLIPTIQUE

Si equation est quelconque, et en nous plaçant en equation, nous avons :

equation et equation   (40.123)

d'où :

equation   (40.124)

De plus, nous pouvons écrire :

equation   (40.125)

En portant chacun des membres au carré :

equation   (40.126)

et en sommant, nous éliminons le temps et obtenons :

equation   (40.127)

Nous remarquons que si equation nous retrouvons :

equation   (40.128)

Ceci dit, ceci est l'équation d'une ellipse :

equation   (40.129)

En tout point similaire à la forme générale des coniques que nous avons vue en géométrique analytique (cf. chapitre de Géométrie Analytique) :

equation   (40.130)

Dans ce cas, l'extrémité de equation décrit donc une ellipse et nous parlons dès lors naturellement de "polarisation elliptique".

Suivant la valeur de equation, cette ellipse peut être parcourue dans un sens ou dans l'autre. Pour déterminer ce sens, dérivons l'expression du champ et plaçons nous à equation toujours dans le même plan d'onde en equation:

equation   (40.131)

Ainsi :

- Si equation l'ellipse est parcourue dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre) comme le montre la figure plus loin. Nous disons alors que la polarisation est "elliptique gauche directe".

- Si equation l'ellipse est parcourue dans le sens direct aussi (inverse des aiguilles d'une montre) comme le montre la figure plus loin. Nous disons alors que la polarisation est "elliptique droite directe".

- Si equation l'ellipse est parcourue dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre). Nous disons alors que la polarisation est "elliptique droite indirecte".

- Si equation l'ellipse est parcourue dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre) comme le montre la figure plus loin. Nous disons alors que la polarisation est "elliptique gauche indirecte".

POLARISATION CIRCULAIRE

Si equation et equation nous avons alors l'équation de l'ellipse qui se réduit à :

equation

qui est l'équation d'un cercle de rayon equation, le sens étant toujours donné par le signe du sinus :

- Si equation il s'agit d'une polarisation circulaire gauche

- Si equation il s'agit d'une polarisation circulaire droit.

.... voir la figure plus bas pour un schéma.

POLARISATION NATURELLE

Nous pouvons considérer l'émission d'une source comme une succession d'ondes planes progressives monochromatiques dont l'expression sera donc :

equation   (40.132)

Ces trains d'ondes sont donc dans un état de polarisation particulier. Cependant, cet état varie aléatoirement d'un train d'onde à l'autre, et ceci en un temps très court par rapport au temps d'intégration des détecteurs. Ceux-ci ne verront donc pas de polarisation particulière, et le champ equation n'aura pas de direction particulière.

Nous parlons dès lors de "lumière non polarisée". Si nous superposons cette lumière à une onde polarisée, nous obtenons ce que nous appelons une "polarisation partielle".

Finalement, nous pouvons résumer tout ce que nous avons vu jusqu'à maintenant par la figure suivante où nous avons :

- La polarisation linéaire equation

- La polarisation linéaire partielle (n'est pas représentée)

- La polarisation elliptique gauche equation ou droite equation

- La polarisation elliptique partielle (n'est pas représentée)

- La polarisation circulaire gauche equation ou droite equation

- La polarisation circulaire partielle (n'est pas représentée)

equation
  (40.133)

Nous pouvons représenter cela de manière animée avec Maple (nous n'avons pas mis le *.gif ci-dessous afin de na pas trop charger le document...) et les commandes suivantes:

> restart;
> with (plots):
> Ex:=1;Ey:=1;phi:=Pi/4;k:=1;omega:=1;
> animate3d([x,a*Ex*cos(omega*t-k*x),a*Ey*cos(omega*t-k*x-phi)],a=0..1,x=-10..10,t=0..2*Pi,frames=15,grid=[35,35],style=patchnogrid,axes=boxed);

equation
  (40.134)

Il est bien entendu possible de modifier les paramètres. Par exemple, equation donne une polarisation circulaire, equation donne une polarisation rectiligne comme nous l'avons montré plus haut.

LOI DE MALUS

Pour polariser de la lumière, le physicien fera usage de polariseurs. Nous n'entrerons pas ici (car ce n'est pas dans le cadre de l'optique ondulatoire) dans les détails des propriétés atomiques ou moléculaires de la matière qui sont la cause de la polarisation de la lumière transmise.

Pour nos besoins, nous allons nous restreindre à un polariseur qui polarise une lumière incidente de manière linéaire selon l'axe x (la composant equation étant dès lors nulle). Il vient dès lors :

equation   (40.135)

Or, nous avons vu dans le chapitre traitant des équations de Maxwell (chapitre d'Électrodynamique) que :

equation   (40.136)

Dès lors, il vient pour l'intensité maximale (tel que equation ) :

equation   (40.137)

relation qui constitue la non moins fameuse "loi de Malus".

Pour étudier de façon quantitative la polarisation, nous allons nous servir d'un ensemble polariseur/analyseur. Nous faisons d'abord passer la lumière dans un polariseur dont l'axe fait un angle equation avec l'axe x, puis dans un second polariseur, appelé "analyseur", dont l'axe fait un angle equation avec le même axe (voir figure ci-dessous) avec :

equation   (40.138)

dont la norme est égale à l'unité !

equation
  (40.139)

A la sortie de l'analyseur, le champ électrique equation s'obtient en projetant la lumière polarisée linéairementequation obtenue à la sortie du polaroïd :

equation avec equation   (40.140)

sur equation (ce qui signifie : projection=produit scalaire, pour obtenir un vecteur on multiplie par le vecteur sur lequel on projette ) :

equation   (40.141)

Nous en déduisons la loi de Malus pour l'intensité :

equation   (40.142)

dans le cas particulier de la polarisation linéaire bien sûr. Nous réutiliserons ce résultat en cryptographie quantique (cf. chapitre de Cryptographie).


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