COHÉRENCE ET INTERFÉRENCE
1. Principe d'Huygens
1.1. Loi de Malus
2. Diffraction de Fraunhofer
2.1. Cas d'une fente rectangulaire
2.1.1. Pouvoir de résolution
2.2. Cas d'un réseau de fentes rectangulaires
2.3. Fentes de Young
Nous allons maintenant voir quelles sont les conditions nécessaires à ce que des ondes planes interférent entre elles. Ces développements permettent de comprendre bien des choses sur la vision du monde qui nous entoure via notre oeil (surtout pourquoi l'ensemble des ondes reçues par nos rétines ne se mélangent pas et donc les couleurs non plus!).
Considérons deux ondes planes 
et 
de
pulsations 
et 
,
de vecteurs d'onde 
et 
se
propageant toutes deux parallèlement à l'axe 
.
Nous notons On note 
et 
les
amplitudes complexes des deux ondes et nous nous s'intéressons à l'intensité moyenne
observée en un point O pris comme origine des coordonnées:
(40.143)
Nous posons:
(40.144)
et nous supposerons:
(40.145)
Au point O les amplitudes complexes s'écrivent
(40.146)
où 
et 
représentent
les phases de et .
Calculons maintenant l'intensité instantanée au point O qui sera notée J(t). Comme l'intensité moyenne I est proportionnelle au carré de l'amplitude, nous supposerons qu'il en sera de même pour l'intensité instantanée. Ce qui nous amène à calculer la somme des parties réelles des amplitudes des deux ondes:
(40.147)
Ce qui s'écrit en se rappelant que (cf. chapitre sur les Nombres):
(40.148)
Soit:
(40.149)
Et nous avons alors:
(40.150)
Il vient la somme de quatre termes:
(40.151)
Pour calculer l'intensité moyenne, nous allons choisir une approche
expérimentale. L'intensité moyenne sur le temps de pose 
du
détecteur (électronique ou biologique) sera donc donnée par:
(40.152)
I est donc la somme des moyennes des quatre termes intervenant
dans J(t). En lumière visible (cas de notre oeil),
les fréquences sont de l'ordre de 
et
les temps de pose des détecteurs varient entre la milliseconde
et la seconde. contient
alors typiquement 
périodes
de et !!
Examinons l'effet de la valeur moyenne sur chacun des termes de J(t):
1. Nous avons (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):
(40.153)
Nous pouvons estimer que sur un grand nombre de périodes (temps d'ouverture du détecteur), c'est cette moyenne qui sera mesurée (en l'occurrence c'est celle-ci!).
2. Nous avons de même:
(40.154)
avec la même remarque que précédemment en ce qui concerne le détecteur!
3. Pour le troisième terme c'est un peu différent:
(40.155)
Or, la moyenne d'un cosinus et d'un sinus sur une période est
nulle. Donc si le détecteur fait une mesure sur un temps d'exposition
supérieur à 
,
soit sur un grand nombre de périodes, nous aurons:
(40.156)
4. Pour le quatrième terme c'est encore différent dans l'approximation expérimentale. Effectivement:
(40.157)
Or, 
.
Donc le détecteur n'a pas le temps de mesurer l'intensité moyenne
sur une période entière en première approximation puisque:
(40.158)
et que cette valeur est beaucoup beaucoup plus grande dans le spectre du visible que le temps d'ouverture/échantillonnage de l'oeil qui est lui de 0.1 [s].
Ainsi, nous noterons la moyenne de quatrième terme par:
(40.159)
L'intensité moyenne vaut donc dans un cadre expérimental:
(40.160)
ou:
(40.161)
Si les pulsations 
sont égales
(ou pratiquement égales), c'est alors l'interférence entre deux
ondes planes monochromatiques. L'intensité moyenne s'écrit alors:
(40.162)
L'intensité mutuelle est non nulle et nous disons alors qu'il
y a cohérence. Dans le cas contraire, si les deux pulsations sont
très différentes, la moyenne 
est
nulle et nous avons alors:
(40.163)
Le terme d'interférences a disparu, l'intensité moyenne est la somme des intensités moyennes des deux ondes. Nous disons dans ce cas que les deux ondes sont incohérentes entre elles.
Quand nous savons que l'oeil interprète l'intensité pour former les perceptions des objets nous comprenons pourquoi deux objets de deux couleurs différentes ne forment pas une perception correspondant à un mélange des deux couleurs car même si dans le spectre du visible, les pulsations sont presque égales, leur déphasage en un point donné de l'espace est rarement nul tel que:
(40.164)
Il n'y donc pas interférence et nous avons en réalité:
(40.165)
et ce d'autant plus que le déphasage n'est pas constant dans le temps et que la moyenne de déphasages fait que le troisième terme s'annule. On ne peut donc pas interférer de manière simple des ondes planes de sources différentes. Par contre lorsque la source est identique nous retrouvons ce que font nos écrans avec les trois couleurs primaires RVB.
Lorsque 
est
un multiple de 
, I est
maximale (interférence constructive). Lorsque est
de la forme 
, I est
minimale. Nous avons alors une interférence destructive.
Nous avons vu pour l'oeil que la fréquence temps d'échantillonnage
est de 
.
Sachant que la lumière visible à une fréquence de 
,
la fréquence doit donc être stabilisée par la source pendant:
(40.166)
ce qui matériellement est impossible sauf à ce que la source
soit la même. Nous en déduisons que pour des interférences soient
visibles à l'oeil, les sources doivent être synchrones à mieux que 
ce
qui en pratique amène à ne considérer que des sources absolument
synchronisées sur une source unique.
Dans le modèle précédent, nous avons par ailleurs négligée qu'une
onde réelle est limitée dans le temps. Un photon est représenté par
un paquet d'onde limité. Soit T sa
durée, il aura une longueur 
dans
le vide ou dans l'air que nous appelons "longueur
de cohérence
temporelle".
Un rayonnement donné est donc une superposition d'une succession
de trains d'ondes dont la longueur moyenne est 
,
les trains d'ondes successifs n'ont pas de relation de phases entre
eux: ils ne peuvent pas interférer.
