COHÉRENCE ET INTERFÉRENCE



OPTIQUE ONDULATOIRE

1. Principe d'Huygens

1.1. Loi de Malus

2. Diffraction de Fraunhofer

2.1. Cas d'une fente rectangulaire

2.1.1. Pouvoir de résolution

2.2. Cas d'un réseau de fentes rectangulaires

2.3. Fentes de Young

3. Polarisation de la lumière

4. Cohérence et interférence

Nous allons maintenant voir quelles sont les conditions nécessaires à ce que des ondes planes interférent entre elles. Ces développements permettent de comprendre bien des choses sur la vision du monde qui nous entoure via notre oeil (surtout pourquoi l'ensemble des ondes reçues par nos rétines ne se mélangent pas et donc les couleurs non plus!).

Considérons deux ondes planes equation et  equation de pulsations equation et equation, de vecteurs d'onde equation et equation se propageant toutes deux parallèlement à l'axe equation.

Nous notons On note equation et equation les amplitudes complexes des deux ondes et nous nous s'intéressons à l'intensité moyenne observée en un point O pris comme origine des coordonnées:

equation
  (40.143)

Nous posons:

equation   (40.144)

et nous supposerons:

equation   (40.145)

Au point O les amplitudes complexes s'écrivent

equation   (40.146)

où equation et equation représentent les phases de equation et equation.

Calculons maintenant l'intensité instantanée au point O qui sera notée J(t). Comme l'intensité moyenne I est proportionnelle au carré de l'amplitude, nous supposerons qu'il en sera de même pour l'intensité instantanée. Ce qui nous amène à calculer la somme des parties réelles des amplitudes des deux ondes:

equation   (40.147)

Ce qui s'écrit en se rappelant que (cf. chapitre sur les Nombres):

equation   (40.148)

Soit:

equation   (40.149)

Et nous avons alors:

equation   (40.150)

Il vient la somme de quatre termes:

equation   (40.151)

Pour calculer l'intensité moyenne, nous allons choisir une approche expérimentale. L'intensité moyenne sur le temps de pose equation du détecteur (électronique ou biologique) sera donc donnée par:

equation   (40.152)

I est donc la somme des moyennes des quatre termes intervenant dans J(t). En lumière visible (cas de notre oeil), les fréquences sont de l'ordre de equation et les temps de pose des détecteurs varient entre la milliseconde et la seconde. equation contient alors typiquement equation périodes de equation et equation!!

Examinons l'effet de la valeur moyenne sur chacun des termes de J(t):

1. Nous avons (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

equation   (40.153)

Nous pouvons estimer que sur un grand nombre de périodes (temps d'ouverture du détecteur), c'est cette moyenne qui sera mesurée (en l'occurrence c'est celle-ci!).

2. Nous avons de même:

equation   (40.154)

avec la même remarque que précédemment en ce qui concerne le détecteur!

3. Pour le troisième terme c'est un peu différent:

equation   (40.155)

Or, la moyenne d'un cosinus et d'un sinus sur une période est nulle. Donc si le détecteur fait une mesure sur un temps d'exposition supérieur à equation, soit sur un grand nombre de périodes, nous aurons:

equation   (40.156)

4. Pour le quatrième terme c'est encore différent dans l'approximation expérimentale. Effectivement:

equation   (40.157)

Or, equation. Donc le détecteur n'a pas le temps de mesurer l'intensité moyenne sur une période entière en première approximation puisque:

equation   (40.158)

et que cette valeur est beaucoup beaucoup plus grande dans le spectre du visible que le temps d'ouverture/échantillonnage de l'oeil qui est lui de 0.1 [s].

Ainsi, nous noterons la moyenne de quatrième terme par:

equation   (40.159)

L'intensité moyenne vaut donc dans un cadre expérimental:

equation   (40.160)

ou:

equation   (40.161)

Si les pulsations equation sont égales (ou pratiquement égales), c'est alors l'interférence entre deux ondes planes monochromatiques. L'intensité moyenne s'écrit alors:

equation   (40.162)

L'intensité mutuelle est non nulle et nous disons alors qu'il y a cohérence. Dans le cas contraire, si les deux pulsations sont très différentes, la moyenne equation est nulle et nous avons alors:

equation   (40.163)

Le terme d'interférences a disparu, l'intensité moyenne est la somme des intensités moyennes des deux ondes. Nous disons dans ce cas que les deux ondes sont incohérentes entre elles.

Quand nous savons que l'oeil interprète l'intensité pour former les perceptions des objets nous comprenons pourquoi deux objets de deux couleurs différentes ne forment pas une perception correspondant à un mélange des deux couleurs car même si dans le spectre du visible, les pulsations sont presque égales, leur déphasage en un point donné de l'espace est rarement nul tel que:

equation   (40.164)

Il n'y donc pas interférence et nous avons en réalité:

equation   (40.165)

et ce d'autant plus que le déphasage n'est pas constant dans le temps et que la moyenne de déphasages fait que le troisième terme s'annule. On ne peut donc pas interférer de manière simple des ondes planes de sources différentes. Par contre lorsque la source est identique nous retrouvons ce que font nos écrans avec les trois couleurs primaires RVB.

Lorsque equation est un multiple de equation, I est maximale (interférence constructive). Lorsque equation est de la forme equation, I est minimale. Nous avons alors une interférence destructive.

Remarque: Lors de la composition de plusieurs ondes, nous pouvons toujours considérer qu'il y a interférence. Toutefois, nous appelons "conditions d'interférences" des conditions d'observation des ces interférences, in extenso des conditions pour que le résultat de leur composition soit suffisamment stable pour être observé. Il est d'usage de parler de visibilité ce qui restreint à la seule observation par l'oeil (humain).

Nous avons vu pour l'oeil que la fréquence temps d'échantillonnage est de equation. Sachant que la lumière visible à une fréquence de equation, la fréquence doit donc être stabilisée par la source pendant:

equation   (40.166)

ce qui matériellement est impossible sauf à ce que la source soit la même. Nous en déduisons que pour des interférences soient visibles à l'oeil, les sources doivent être synchrones à mieux que equation ce qui en pratique amène à ne considérer que des sources absolument synchronisées sur une source unique.

Dans le modèle précédent, nous avons par ailleurs négligée qu'une onde réelle est limitée dans le temps. Un photon est représenté par un paquet d'onde limité. Soit T sa durée, il aura une longueur equation dans le vide ou dans l'air que nous appelons "longueur de cohérence temporelle".

Un rayonnement donné est donc une superposition d'une succession de trains d'ondes dont la longueur moyenne est equation, les trains d'ondes successifs n'ont pas de relation de phases entre eux: ils ne peuvent pas interférer.