CAS D'UN RÉSEAU DE FENTES RECTANGULAIRES



OPTIQUE ONDULATOIRE

1. Principe d'Huygens

1.1. Loi de Malus

2. Diffraction de Fraunhofer

2.1. Cas d'une fente rectangulaire

2.1.1. Pouvoir de résolution

2.2. Cas d'un réseau de fentes rectangulaires

2.3. Fentes de Young

3. Polarisation de la lumière

4. Cohérence et interférence

Considérons maintenant un réseau de N fentes étroites de largeur equation, de hauteur equation et distantes de d. Un unique faisceau incident éclaire toutes les fentes.

Remarque: L'étude de ce modèle va nous permettre de comprendre en partie comment fonctionne le prisme et le fonctionnement des goniomètres utilisé en astronomie pour l'analyse du spectre ainsi que la diffraction par rayons X par un réseau d'atomes (donc l'importance est non négligeable).

Soit le schéma suivant :

equation
  (40.43)

Nous voyons sur le schéma ci-dessus que pour certaines directions equation, la distance equation est telle que des interférences constructives ou destructives se réalisent.

Posons que le réseau est placé dans le plan YZ et que la direction du faisceau ce fait selon l'axe X. Plaçons nous en un point d'observation P situé dans le plan XY. Selon les propriétés des ondes électromagnétiques (cf. chapitre d'Électrodynamique), le vecteur champ électrique equation de l'onde émise par la equation fente est perpendiculaire à la direction d'observation et peut s'exprimer par :

equation   (40.44)

et nous avons vu que :

equation   (40.45)

d'où :

equation   (40.46)

Dans une direction equation quelconque, les ondes issues de deux fentes adjacentes sont déphasées de equation et au point P d'observation, le champ électrique résultant est donné par la somme des contributions de chaque fente avec son equation décalage propre. D'où :

equation   (40.47)

Nous voyons donc que chaque onde est déphasée de :

equation   (40.48)

Nous pouvons maintenant représenter equation en utilisant les phaseurs (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) dans l'espace des phases tel que :

equation   (40.49)

Ce qui donne graphique pour le deuxième terme contenant la variable de sommation j pour une distance R fixe :

equation
  (40.50)

Nous voyons que les equation mis bout à bout forment un polygone régulier, inscrit dans un cercle de rayon :

equation   (40.51)

La norme du champ électrique résultant étant égale à la corde définie par l'angle :

equation   (40.52)

nous aurons :

equation   (40.53)

L'énergie lumineuse (in extenso l'intensité) émise dans la direction equation étant proportionnelle au carré du champ électrique (cf. chapitre d'Électrodynamique), nous avons alors pour les interférences destructives ou constructives :

equation   (40.54)

Nous substituons maintenant equation par l'expression trouvée lors de notre étude plus haut de la diffraction par une seule fente :

equation   (40.55)

Ainsi, nous obtenons pour l'addition des effets d'interférences et de diffraction :

equation   (40.56)

Bien que cette relation semble compliquée, tous ses paramètres n'ont pas la même importance pratique.

En effet considérons la fonction :

equation   (40.57)

Le terme A présente des maxima lorsque :

equation   (40.58)

et des valeurs nulles si :

equation avec equation   (40.59)

Bien que le terme B fasse diverger la relation pour equation, la règle de l'Hospital (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) nous donne que :

equation   (40.60)

Il en résulte que pour equation et donc des valeurs nulles de A et de B, la fonction equation présente des énormes pics de hauteur equation.

Vu leur grande amplitude, les pics principaux sont ceux que l'on observe expérimentalement le plus facilement. Ainsi, la position angulaire des maxima de la fonction equation est donnée par :

equation   (40.61)

La valeur de n, qualifie le "numéro d'ordre du maximum d'interférence".

Appliquons ses résultats à la relation d'interférence :

equation   (40.62)

Le pic d'ordre n est centré sur la valeur équivalente equation qui annule le numérateur et le dénominateur de cette fraction tel que :

equation   (40.63)

d'où :

equation   (40.64)

Ainsi, un réseau dont nous connaissons la valeur d du pas peut utilisée pour mesurer la longueur d'onde equation d'une lumière incidente inconnue.

Cependant, si la lumière incidente est polychromatique (typiquement pour les observations astronomiques), la relation précédente nous donne pour une longueur d'onde donnée la position des franges d'interférences. Ainsi, un astronome faisant passer de la lumière polychromatique de son télescope par un réseau diffraction faire une analyse spectroscopique de la lumière.

La relation nous donne également que pour des valeurs fixes de m et d, plus equation est grand, plus l'angle equation l'est aussi dans un intervalle compris entre equation. Ainsi, les raies spectrales résultant de l'incidence d'un faisceau polychromatique montrent un spectre allant du violet (faible longueur d'onde donc petit angle) au rouge (grande longueur d'onde donc grand angle).

Au moyen d'un goniomètre, nous mesurons les angles equation des pics principaux d'ordre m, pour le plus grand nombre possible de valeurs de m. Nous en déduisons equation de la pente du graphique :

equation   (40.65)

Le pied du pic est situé à equation en un endroit où le numérateur equation s'annule pour la première fois après le passage du pic.

Puisque l'argument de cette fonction augmente de equation entre deux pics successifs (parmi tous les pics principaux et secondaires), il vaut equation à l'endroit du pic d'ordre m (pic principal donc) et doit parcourir equation radians supplémentaires pour atteindre le pied du pic.

Le numérateur vaut donc :

equation   (40.66)

La distance angulaire equation entre le sommet et le pied du pic principal est donc donné par :

equation   (40.67)

Mais dès le premier ordre, nous avons equation. La différence des deux sinus donne (cf. chapitre de Trigonométrie) :

equation   (40.68)

Un développement de MacLaurin (cf. chapitre des Suites Et Séries) de equationdonne lorsqu'on prend le premier terme du développementequation :

equation   (40.69)

mais nous avons aussi la relation remarquable equation. D'où la largeur angulaire d'un pic d'ordre m :

equation   (40.70)

Or :

equation   (40.71)

Donc :

equation   (40.72)

Il est clair que deux raies superposées seront vues comme distinctes si elles sont séparées d'une distance angulaire égale à leur largeur angulaire. L'expression :

equation   (40.73)

établit qu'à deux positions angulaire correspondent deux longueurs d'onde. Nous pouvons donc donner la séparation de deux raies par equation au lieu de equation.

Ainsi de :

equation   (40.74)

nous tirons :

equation   (40.75)

Mais :

equation   (40.76)

Lorsque equation et equation sont petits, nous avons :

equation   (40.77)

Ce qui nous amène à écrire par substitution :

equation   (40.78)

Le pouvoir de résolution R d'un réseau représente sa capacité de séparer deux raies spectrales de longueurs d'onde equation et equation voisines tel que :

equation   (40.79)

Nous voyons que le pouvoir de résolution augmente proportionnellement à l'ordre de diffraction.

FENTES DE YOUNG

Selon le principe de la dualité onde-corpuscule, la lumière se comporte à la fois comme une onde et comme un corpuscule (particule matérielle). C'est la résolution de problèmes comme ceux du corps noir (cf . chapitre de Thermodynamique), de l'effet photoélectrique (cf. chapitre de Physique Nucléaire) ou encore celui de l'effet Compton (cf. chapitre de Physique Nucléaire) qui a révélé l'existence de cette dualité.

Mais nous allons nous maintenant étudier la manière la plus flagrante mettant en évidence l'aspect ondulatoire de la matière à l'échelle atomique à l'aide de l'expérience des fentes de Young. Nous allons aborder celle-ci de manière simplifiée comme un cas particulier du réseau de fentes rectangulaires mais ayant l'avantage de mettre expérimentalement en évidence de manière aisée le comportement duaire et probabiliste de la matière à l'échelle atomique.

Soit une source de lumière S, qui rayonne une onde monochromatique equation de longueur d'onde equation à travers deux fentes equation et equation percées dans un obstacle opaque à la lumière, comme le montre la figure ci-dessous :

equation
  (40.80)

Remarque: L'intérêt du dispositif est qu'il permet de produire deux sources de lumières cohérentes. C'est-à-dire deux sources dont la différence de phase est constante tout au long de l'expérience.

Nous disposons un écran d'observation E en un point H tel que la distance :

equation   (40.81)

a serait typiquement de l'ordre du millimètre et D du mètre.

L'onde equation donnera après son passage à travers les fentes equation et equation , comme nous l'avons déjà vu, naissance à deux ondes "filles" equationet equation de même pulsation equation qui emprunteront respectivement les chemins equation et equation et qui iront interférer au point M de l'écran E.

Si l'interférence en M est constructive, ce point sera alors situé sur une frange brillante et si l'interférence en M est destructive, il sera sur une frange obscure. Pour observer cela, écrivons d'abord l'onde résultante au point M :

equation   (40.82)

dans laquelle nous avons en termes de phaseurs (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) : 

equation et equation   (40.83)

A est l'amplitude k est le vecteur d'onde et t, représente la variable temps comme nous l'avons déjà étudié en détail dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire.

Maintenant, faisons un changement de variable (histoire de ne pas avoir à se trimbaler de longues exponentielles) :

equation et equation   (40.84)

Remarque: Nous verrons plus loin qu'au fait equation et equation

Pour le calcul de l'intensité au point M, nous allons prendre la norme complexe (module) de de equation ce qui s'écrit donc comme le produit du complexe et son conjugué :

equation   (40.85)

Remarque: Ce calcul est très important car l'analogie avec la physique quantique ondulatoire est très forte à ce niveau et similaire au calcul de l'amplitude de probabilité (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire).

Donc :

equation   (40.86)

L'intensité est donc maximale si et seulement si :

equation   (40.87)

Donc que :

equation   (40.88)

avec equation. Ce qui donne :

equation   (40.89)

Remarque: C'est ici que trivialement nous voyons que equation et equation

L'intensité est donc nulle si et seulement si :

equation   (40.90)

Donc que :

equation   (40.91)

avec equation. Ce qui donne :

equation   (40.92)

Maintenant, il nous faut calculer equation en fonction de z pour savoir ce que nous observons sur l'écran E.

Considérons pour cela le schéma suivant :

equation
  (40.93)

equation et equation.

Nous avons sur notre schéma :

equation   (40.94)

Or , equation donc nous avons :

equation   (40.95)

Comme z et a sont petits devant D et en utilisant l'approximation :

equation   (40.96)

si equation est petit devant 1. Nous avons alors :

equation   (40.97)

De même :

equation   (40.98)

Donc en soustrayant ces deux relations :

equation   (40.99)

Donc finalement en utilisant la relation :

equation   (40.100)

il vient :

equation   (40.101)

Ainsi, la distance entre deux maximum consécutifs est :

equation   (40.102)

et est appelé "interfrange".

Pour les franges d'intensité nulle il vient immédiatement :

equation   (40.103)

Cette relations révèle que l'intensité I présente des minima (franges obscures) et maxima (franges brillantes) distribués selon la direction z de manière périodique. Cela ne nous étonne pas plus que cela pour l'instant car il découle du cas plus général étudié plus haut.

equation
  (40.104)

Il convient cependant de préciser que les calculs précédents montrent que l'intensité des franges est partout égale. Or nous observons expérimentales (voir la figure ci-dessus) que leur intensité diminue lorsqu'on s'éloigne du centre de l'écran. Comme nous l'avons déjà vu, deux phénomènes sont à l'origine de cette observation :

Premièrement, les fentes ont une certaine largeur, ce qui implique un phénomène de diffraction. En effet, une lumière envoyée sur un petit trou n'en ressort pas de façon isotrope. Cela se traduit par le fait que la lumière est majoritairement dirigée vers l'avant. Cet effet se répercute sur la figure observée après les fentes d'Young : l'intensité des franges décroît au fur et à mesure que l'on s'éloigne du centre.

Le second phénomène à prendre en compte est le fait que les ondes émises en equation et equation sont des ondes sphériques, c'est-à-dire que leur amplitude décroît au fur-et-à-mesure qu'elles avancent. Ainsi l'amplitude de equation et equation ne sera pas la même au point M.

Donc nos calculs restent approximatifs par rapport à l'étude que nous avions fait du réseau de fentes rectangulaires mais c'est ainsi que l'expérience des fentes de Young est présentée dans les écoles et cela suffit à mettre en évidence le résultat principal.

L'expérience originelle de Thomas Young peut donc être interprétée en utilisant les simples lois de Fresnel comme nous l'avons fait avec le réseau de fentes. Ce qui met en évidence le caractère ondulatoire de la lumière. Mais cette expérience a par la suite été raffinée, notamment faisant en sorte que la source S émette un quantum à la fois. Par exemple, on peut à l'heure actuelle émettre des photons ou des électrons ou encore des atomes un par un. Ceux-ci sont détectés un par un sur l'écran placé après les fentes d'Young. Nous observons alors que ces impacts forment petit à petit la figure d'interférences. Selon des lois classiques concernant les trajectoires de ces corpuscules, il est impossible d'interpréter ce phénomène!!! D'où l'intérêt de l'étude théorique et expérimentale des fentes de Young.

De gauche à droite et de haut en bas, voici les motifs obtenus en accumulant 10, 300, 2'000 et 6'000 électrons avec un flux de 10 électrons/seconde. L'accumulation des électrons finit par constituer des franges d'interférence ce qui est assez déroutant à priori!

equation
  (40.105)

Nous reviendrons sur ce phénomène crucial dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire pour en dire un peu plus.


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