PHOTOMÉTRIE



OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE

1. Sources et ombres

2. Couleur

3. Photométrie

3.1. Flux énergétique

3.1.1. Loi de Beer-Lambert

3.2. Intensité lumineuse

3.3. Emittance énergétique

3.4. Luminance énergétique

3.4.1. Loi de Lambert

3.5. Loi de Kirchhoff

3.6. Décomposition spectrale

4. Loi de réfraction

4.1. Principe de Fermat

4.2. Loi de Snel-Descartes

4.3. Effet Tcherenkov (Cerenkov)

5. Formules de Descartes

5.1. Équation de conjugaison

6. Prisme

La matière est capable d'émettre de transmettre et/ou absorber de l'énergie électromagnétique. Plusieurs facteurs caractérisent ce rayonnement telles que sa gamme spectrale, son intensité, sa direction ainsi que certaines propriétés intrinsèques à la matière. La photométrie se propose de rechercher les grandeurs qui lui sont spécifiques ainsi que les lois qui les régissent.

Nous reconnaissons deux types de photométrie : la "photométrie énergétique" et la "photométrie visuelle". De ce qui va suivre, nous nous en tiendrons principalement à la photométrie énergétique.

Au préalable, nous devons  spécifier les conditions dans lesquelles nous allons définir les nouvelles grandeurs. Nous admettrons donc les hypothèses suivantes :

H1. Le rayonnement se propage dans un milieu transparent pour toutes les intensités, les longueurs d'onde et leur polarisation

H2. La propagation s'effectue suivant des angles solides (cf. chapitre de Trigonométrie). Nous écartons ainsi la propagation avec des rayons parallèles

H3. La surface élémentaire dS d'étude est suffisamment petite pour que les rayonnements de ses points soient identiques mais pas trop petites pour éviter des phénomènes comme la diffraction.

FLUX ÉNERGÉTIQUE

Définition: Le "flux énergétique" d'une source de rayonnement est la puissance qu'elle rayonne. Le flux equation se mesure en Watts [W] (soit des joules par seconde [J/s]) et il découle dès lors que pour une source qui rayonne une énergie (non nécessairement constante), nous avons :

equation   (39.7)

Exprimé dans certains domaines professionnels, l'unité photométrique est le "Lumen" noté [lm] ou en unité photonique en nombre de photons par seconde : equation

LOI DE BEER-LAMBERT

Si l'absorption et la diffusion d'un milieu peuvent être considérées comme proportionnelles à l'épaisseur dz de matière traversée, la variation de flux pourra s'écrire:

equation   (39.8)

dans cette expression equation est le flux incident et  equation est le coefficient d'atténuation linéique qui est fonction de la fréquence du rayonnement.

Nous aurons donc une simple équation différentielle (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

equation   (39.9)

qui est la "loi de Beer-Lambert" (qui peut aussi s'exprimer à partir de l'intensité lumineuse que nous définirons de suite après).

Ordres de grandeur : Atmosphère equation; equation, Verre (BK7) equation, ...

Remarque: La variation du coefficient d'absorption atmosphérique avec la longueur d'onde permet notamment d'expliquer la couleur bleue du ciel.

Il existe de nombreuses autres formulations de la loi de Beer-Lambert dont une assez utilisée en physique nucléaire (voir chapitre du même nom) dans le cadre de la radioprotection. Voyons de quoi il s'agit :

Considérons un flux equation de particules frappant perpendiculairement la surface d'un matériau d'épaisseur dx et de densité atomique N (equation). Si nous considérons les particules frappant une surface S, ces dernières peuvent théoriquement rencontrer equation atomes cibles dans cette couche. Le nombre de particules interagissant sera proportionnel à l'intensité fois ce nombre, et nous avons :

equation   (39.10)

Remarques:

R1. equation est la constantes de proportionnalité et est nommée "section efficace microscopique". Ces unités sont souvent exprimées en "barn" (equation).

R2. La densité atomique N est égale à equationequation est la densité en equation, equation le nombre d'Avogadro equation et equation la masse molaire de la cible exprimée en equation.

Si nous admettons maintenant que les centres de diffusion sont les électrons et non pas les atomes cibles, alors il faut remplacer equation par equationequation avec Z étant le nombre d'électrons interagissant par atome cible. D'où :

equation   (39.11)

En identifiant avec la première formulation de la loi de Beer-Lambert, nous voyons que equation joue le même rôle que :

equation et equation   (39.12)

et dans l'hypothèse où l'électron constitue une "sphère d'action" présentant une surface frontale equation, equation étant le rayon de cette sphère. Alors :

equation   (39.13)

et nous avons pour le rayon de la sphère d'action de l'électron :

equation   (39.14)

INTENSITÉ LUMINEUSE

Pour décrire le flux énergétique equation d'une source, il faut commencer par le mesurer. Le capteur utilisé (thermocouple, bolomètre, cellule photoélectrique, oeil ou autre) ne peut recevoir qu'une partie : celle qui arrive dans l'angle solide equation défini par sa section.

Définition: "L'intensité lumineuse" ou "intensité énergétique" I d'une source ponctuelle est le flux rayonné equation dans l'unité d'angle solide equation centré autour d'une direction equation d'émission :

equation   (39.15)

Exprimée dans certains domaines professionnels, en unité photométrique en "Candela" [Cd] ou en unité photonique en equation (rappelons que les stéradians n'ont pas d'unité au même titre que les radians)

Remarques: Une source est dite "source anisotrope" ou "source directionnelle" si son intensité varie avec la direction d'observation.

Par comparaison (car cela aide), une unité de Candela est équivalent à l'intensité d'une source dans une direction donnée, qui émet un rayonnement monochromatique de fréquence 540.1012 [Hz] (ce qui correspond approximativement à la fréquence à laquelle l'oeil est le plus sensible), et dont le flux lumineux (ou intensité) dans cette direction est 1/683 [W] par stéradian.

ÉMITTANCE ÉNERGÉTIQUE

Définition: "L'émittance énergétique", "excitance" ou encore "éclairement" M d'une source est le flux énergétique rayonné (puissance) par unité de surface dS en [W/m2] dans toutes les directions de l'espace extérieur à la source et dépend des propriétés physico-chimiques de la surface émettrice :

equation   (39.16)

Elle est souvent assimilée dans le vocabulaire courant à la "luminosité" d'une source de lumière ce qui porte parfois à confusion avec le concept d'intensité lumineuse.

l'émittance énergétique est exprimée dans de nombreux domaines professionnels en unité photométrique appelée "Lux" [lx] ou en encore unité photonique equation ou pire encore... en [lm/m2]. Par exemple quand vous achetez une voiture, les feux de croisement sont indiqués comme valant environ ~20 [lx].

Attention à ne pas confondre l'émittance énergétique avec le flux énergétique!!!

Si la source est ponctuelle et son rayonnement isotrope, sa direction n'est pas à prendre en considération. Dans le cas de ladite sphère de rayon r, l'émittance a alors pour expression :

equation   (39.17)

Dans le cas précédent de la sphère, un élément dS de la surface sphérique reçoit perpendiculairement le rayonnement. En toute généralité, une surface élémentaire peut être inclinée par rapport à la direction du rayonnement avec un angle equation. Ainsi, nous devons projeter la surface sur la perpendiculaire du rayonnement en utilisant les raisonnements élémentaires de la trigonométrie:

equation   (39.18)

C'est cette projection qui explique les saisons sur la Terre : la surface balayée par l'émittance à peu près constante et isotrope du soleil (considéré comme une source ponctuelle) est maximale à l'équateur (surface perpendiculaire) et donc implique un flux supérieur par rapport à ce que reçoit une latitude supérieure ou inférieure pour laquelle la projection perpendiculaire de la surface concernée est plus petite que celle à l'équateur pour une émittance identique.

Remarques:

R1. L'émittance énergétique n'est calculée que dans le demi-espace extérieur avant (celui d'où nous regardons la source), car seule la moitié de l'énergie échangée par les points de la surface dS est émise sous forme de rayonnement. L'autre moitié est échangée avec les atomes situés dans le corps.

R2. L'émittance est habituellement aussi parfois notée F ou encore E. Il faudra prendre garde cependant à ne pas confondre l'émittance M avec la magnitude (noté de la même manière) que nous définissons en astrophysique.

LUMINANCE ÉNERGÉTIQUE

Soit une source non ponctuelle dont l'émittance énergétique M est connue en tout point. Un élément dS de la surface de ce genre de source sera par définition de l'intensité pas nécessairement isotrope et donc plus lumineux (puissant) lorsque l'on l'observe colinéairement au vecteur equation.

L'intensité énergétique I qu'il rayonne dans une direction, formant un angle equation, avec la normale à la surface d'émission est toujours inférieure à celle rayonnée dans la direction du vecteur equation. Ainsi par simple application des règles trigonométriques nous obtenons la définition de la "luminance" (ou "radiance") :

equation   (39.19)

exprimée dans certains domaines, en unité photométrique en "Nits" equation ou en unité photonique en equation

Remarque: Lorsque nous nous préoccupons que de la lumière visible, la luminance d'une source est quelque fois appelée "brillance" ou "éclat" (attention ceci n'est pas le cas lorsque l'on traite de l'éclat comme il est vu en astrophysique).

Nous pouvons aussi écrire :

equation   (39.20)

qui nous donne l'intensité énergétique que rayonne une source de luminance L dans une direction donnée.

Jean-Henri Lambert (1728-1777) a observé que l'intensité énergétique de certaines sources (parmi toutes les types de sources imaginables...) anisotropes diminue comme le cosinus de l'angle equation, autour de la direction perpendiculaire à la surface de la source :

equation   (39.21)

Cette variation de l'intensité est observée lorsque nous mesurons l'énergie thermique rayonnée par un orifice percé dans un four (ce qui nous ramène au corps noir), isolé thermiquement et dont la température interne est supérieure à la température externe. Dans ce contexte, l'orifice est appelé un "émetteur Lambert" et ne balaye un espace que de equation stéradian.

Remarque: Une source qui obéit à cette loi est dite "source orthotrope".

LOI DE LAMBERT

Une source obéit à la loi de Lambert si sa luminance énergétique est la même dans toutes les directions, c'est-à-dire que son intensité est isotrope et donc indépendante de l'angle equation.

Nous avons alors :

equation   (39.22)

Calculons l'émittance d'un émetteur Lambert :

Nous avons donc par définition même de la propriété d'un émetteur Lambert :

equation   (39.23)

et nous avons :

equation   (39.24)

Or nous avons démontré dans le chapitre de Trigonométrie, qu'un angle solide élémentaire était donné par :

equation   (39.25)

Ce qui nous amène à écrire :

equation   (39.26)

En appliquant une intégration par parties (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

equation   (39.27)

L'émittance valant :

equation   (39.28)

Ce résultat est important pour l'étude du rayonnement du corps noir, puisque la valeur de la luminance mesurée par un capteur permet de déduire l'émittance M, donc le flux énergétique de la source :

equation   (39.29)

Remarque: Nous parlons de la "luminance" d'une source et de "l'éclairement" d'un objet (par une source).

LOI DE KIRCHHOFF

Tout corps irradié par une source énergétique voit le flux énergétique incident se répartir selon trois termes intuitifs :

equation   (39.30)

où :

- equation est le flux énergétique géométrique réfléchi ou diffusé

- equation est le flux énergétique qui traverse le corps sans interactions (transparence intégrale)

- equation est absorbé et transformé sous d'autres formes d'énergie

Les trois coefficients appelés respectivement "facteur de réflexion" equation, "facteur de transmission" equation et "facteur d'absorption" equation, dépendent de la longueur d'onde equation de la lumière incidente et de la température du corps récepteur.

Pour chaque objet, nous avons bien évidemment :

equation   (39.31)

qui est l'expression de la "loi de Kirchhoff simple" (contrairement à la version différentielle) en photométrie.

Remarque: En physique, nous retrouvons souvent des énoncés de conservation sous la dénomination "loi de Kirchhoff" comme en électrocinétique par exemple.

DÉCOMPOSITION SPECTRALE

De ce qui vient d'être dit, il découle que toutes les grandeurs définies précédemment peuvent êtres rapportées à leur décomposition spectrale en longueur d'onde. Ceci résulte du principe de superposition : tout rayonnement peut être traité comme la superposition de rayonnements monochromatiques.

Ainsi, nous définissons :

equation   (39.32)

et de même :

equation   (39.33)

Remarque: Les unités du flux spectral (ou "décomposé"), intensité spectrale (ou "décomposée"), luminance spectrale (ou "décomposée") ou émittance spectrale (ou "décomposée") ainsi que les facteurs d'absorption spectrale (ou "décomposée"), de réflexion spectrale (ou "décomposée") et de transmission spectrale ne sont bien sûr pas équivalents à leur expression intégrée au niveau dimensionnel.

Nous aurons un grand besoin de la densité de l'émittance lors de l'étude du corps noir dans le chapitre de Thermodynamique de la section de Mécanique. Rappelez-vous uniquement que nous avons en unités S.I. sur le principe de décomposition (et inversement superposition) spectrale : 

equation   (39.34)

Remarque: Nous avons vu en thermodynamique que les paramètres définis ci-dessus, étant dépendants de la longueur d'onde sont également dépendants de la température qui émet ces mêmes ondes.

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