Loi de réfraction



OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE

1. Sources et ombres

2. Couleur

3. Photométrie

3.1. Flux énergétique

3.1.1. Loi de Beer-Lambert

3.2. Intensité lumineuse

3.3. Emittance énergétique

3.4. Luminance énergétique

3.4.1. Loi de Lambert

3.5. Loi de Kirchhoff

3.6. Décomposition spectrale

4. Loi de réfraction

4.1. Principe de Fermat

4.2. Loi de Snel-Descartes

4.3. Effet Tcherenkov (Cerenkov)

5. Formules de Descartes

5.1. Équation de conjugaison

6. Prisme

Pierre de Fermat proposa que les rayons lumineux répondaient à un principe très général selon lequel le chemin emprunté par la lumière pour se rendre d'un point donné à un autre était celui pour lequel le temps de parcours était minimum (en fait un extremum qui peut être un minimum ou un maximum). Cette proposition, appelée "principe de Fermat", à la base de l'optique géométrique s'appuie sur le principe de moindre action (principe que nous avons déjà introduit dans le chapitre de Mécanique Analytique) ce que nous démontrerons plus loin.

Définition: "L'indice de réfraction" d'un milieu à une longueur d'onde donnée mesure le facteur de réduction de la vitesse de phase de la lumière dans le milieu par rapport au vide (la plus grande qui soit).

Tous les matérieux possèdent ainsi un indice de réfraction, d'une valeur positive et supérieur à 1. Plus un milieu est dense, plus la vitesse de phase de la lumière est ralentie, plus l'indice de réfraction est élevé.

Considérons (voir figure ci-dessous) deux milieux equation et equation d'indices de réfraction respectifs n et m et dont la surface de contact est plane. Prenons deux points A et B situés respectivement dans le milieu d'indice n (le point A) et dans le milieu d'indice m (le point B).

Considérons le chemin de la lumière allant de A à B. Le principe de Fermat nous enseigne que le chemin emprunté par la lumière est tel que le temps mis pour le parcourir est minimum. Nous nous proposons dans un premier temps d'appliquer une méthode classique pour calculer le chemin du rayon lumineux et dans un second temps, nous montrerons que le principe de Fermat peut être énoncé comme un principe variationnel.

Choisissons un repère qui simplifie le problème: faisons passer l'axe des abscisses par le plan de contact des deux milieux et l'axe des ordonnées par le point B. Dans un tel repère, les points A et B ont les coordonnées suivantes: equation.

Appelons equation, le point où le rayon lumineux traverse la surface de contact entre les deux milieux. Le temps T mis pas la lumière pour aller de A à B est alors:

equation

equation
  (39.35)

où :

equation et equation    (39.36)

sont les vitesses de phase de la lumière dans les milieux equation et equation

Nous pouvons observer sur la figure ci-dessus que les rayons incidents sont réfractés de l'autre côté de l'axe perpendiculaire à l'interface. Ceci est une caractéristique type des matériaux ayant un indice de réfraction positif. Mais il est possible physiquement de construire depuis les années 1990 des "métamatérieux" composites artificiels à indice de réfraction négatif.

L'écriture des deux relations précédentes :

equation et equation   (39.37)

se justifie par le fait que nous pouvons nous se permettre de faire l'hypothèse que la vitesse de phase de la lumière ne croît pas en traversant un corps dense mais se voit diviser par un facteur donné dépendant du milieu qu'elle traverse. Pour s'en convaincre, il suffit d'imaginer un cas absurde où la lumière traverserait sans perte de vitesse un corps de densité infinie!

En développant les valeurs de AM et MB nous obtenons la dépendance suivante de T en fonction de la position x de M :

equation   (39.38)

Selon le principe de Fermat, le chemin emprunté par la lumière est celui pour lequel T est minimum. L'extremum de T(x) est atteint lorsque sa dérivée par rapport à x est nulle.

equation   (39.39)

Notons que:

equation et equation   (39.40)

r est "l'angle de réfraction" (à ne pas confondre avec "l'angle de réflexion"!) et i "l'angle d'incidence" de la lumière allant de A à B

La condition d'un temps extremum mis par la lumière s'exprime alors:

equation   (39.41)

D'où nous tirons la relation, connue sous le nom de "loi de Snell-Descartes" (qui n'est plus une loi puisque démontrée):

equation   (39.42)

Il suffit que les angles d'incidence et de réfraction remplissent cette condition pour que le chemin parcouru par la lumière soit effectivement celui qui prend le moins de temps.

Nous notons plus fréquemment cette loi en physique de la manière suivante :

equation   (39.43)

equation est "l'indice de réfraction relatif" du milieu 2 par rapport au milieu 1 qui ont respectivement leur propre "indice de réfraction absolu" equation.

Remarques:

R1. Nous verrons lors de notre étude de l'optique ondulatoire que nous pouvons retrouver (démontrer) cette même relation mais sans les hypothèses de bases de l'optique géométrique. Dès lors, cette dernière relation est appelée "relation de Descartes-Snellius" ou plus simplement "loi de Snell".

R2. Quand nous parlons de l'indice de réfraction d'un milieu m sans faire référence à un autre milieu, le milieu implicite est le vide.

R3. Certains matériaux n'ont pas un indice de réfraction isotrope : il dépend alors de la direction de propagation et l'état de polarisation de la lumière. Cette propriété porte le nom de "biréfringence".

Etudions maintenant la relation entre l'indice de réfraction relatif et la vitesse de phase la lumière dans les différents milieux qu'elle traverse:

Un rayon lumineux relie deux point equation et equation situés de part et d'autre de S. Ce rayon n'est pas représenté dans la figure. Ne sont tracés que trajets situés de part et d'autre du rayon qui réalise l'extremum (nous nous basons sur l'étude du trajet maximum maintenant). Par hypothèse, ils sont extrêmement proches, si bien que la distance equation est très faible:

equation   (39.44)

Nous admettons qu'ils correspondent au même temps de parcours.

equation
  (39.45)

Puisque les deux trajets sont très proches, nous pouvons admettre l'égalité des distances equation et equation d'une part, equation et equation de l'autre. Ainsi, par hypothèse:

equation   (39.46)

Mais, sous la même hypothèse:

equation
equation
  (39.47)

si bien que:

equation   (39.48)

La "loi de la réfraction" s'énonce finalement en général:

equation   (39.49)

Quant à "l'angle de réflexion", ce dernier est égal à l'angle d'incidence si la surface de réflexion est parfaitement régulière et plate.

Le principe de Fermat présente donc d'évidentes similitudes avec le principe de moindre action en cela qu'il consiste en un principe du minimum. Bien qu'une description rigoureuse de la lumière nécessite l'introduction de la physique quantique il est toutefois possible de l'appréhender par le biais de la mécanique analytique et de lui appliquer, sous certaines conditions, le principe de moindre action. Nous allons montrer que nous retrouvons ainsi le principe de Fermat. 

Les calculs que nous allons présenter introduisent de nombreuses hypothèses hasardeuses mais en tout état de cause, ce procédé doit être considéré comme une approximation. A noter que le principe de Fermat procède lui aussi d'une même approximation que nous pouvons qualifier de "limite classique".

Imaginons que la lumière est composée de "grains" matériels. Il faut alors admettre que ces grains obéissent à des propriétés physiques plutôt singulières: leur masse est nulle puisque selon la description classique, les rayons lumineux ne sont pas déviés par le champ gravitationnel. Cette absence de masse les rend donc insensibles au champ gravitationnel terrestre (attention ! nous sommes dans une description "classique").

Ecrivons l'action pour l'un de ces grains de lumière :

equation   (39.50)

Or, en supposant que le seul champ de potentiel V présent est celui qui dérive du champ gravitationnel et que nous admettons que la lumière comme y étant insensible (nous savons en relativité général que cela est faux mais nous avons précisé tout à l'heure que nous ferions des approximations), il s'ensuit que l'action de la lumière peut s'écrire:

equation   (39.51)

Or, aucune force ne s'applique sur la lumière, par conséquent l'énergie cinétique T est une constante du mouvement. Appliquons le principe variationnel de moindre action:

equation   (39.52)

D'où nous tirons:

equation   (39.53)

Cette équation signifie que le temps mis par la lumière le long de sa trajectoire est minimum (ou plus généralement, est un extremum). Nous retrouvons le principe de Fermat. Nous avons donc montré, qu'à la limite classique et sous certaines hypothèses, le principe de Fermat découle directement du principe de moindre action.

EFFET TCHERENKOV (CERENKOV)

Nous avons vu dans les paragraphes précédents l'hypothèse (relativement intuitive) que la vitesse de phase de propagation de la lumière dans un milieu d'indice de réfraction n n'était pas égal à c mais toujours inférieur en écrivant cela :

equation   (39.54)

L'effet Tcherenkov est (basiquement) un phénomène similaire à une onde de choc (en acoustique), produisant un flash de lumière, et qui a lieu sur le trajet d'une particule chargée se déplaçant dans un milieu avec une vitesse de phase supérieure à la vitesse de la lumière du milieu (l'explication rigoureuse sort du cadre d'étude de ce site de par sa complexité de traitement!).

Effectivement, rappelons d'abord que nous avons vu dans le chapitre d'Électrodynamique que toute particule chargée en mouvement émettait une radiation électromagnétique. Ensuite, nous avons vu dans les paragraphes précédents que la vitesse de la lumière dans un milieu donnée dépendait de l'indice de réfraction de ce milieu (hypothèse qui se vérifie par la justesse expérimentale des développements théoriques qui en découlent).

Remarques:

R1. C'est cet effet qui provoque la luminosité bleue de l'eau entourant le coeur d'un réacteur nucléaire.

R2. Parfois certains se demandent pourquoi les particules chargées peuvent aller plus vite que la lumière dans un milieu autre que le vide. C'est simple au fait : même si les deux particules rencontrent à peu près les mêmes obstacles et difficultés à se propager le photon ne peut être accéléré par une impulsion alors qu'une particule chargée peut se voir être accélérée par un phénomène donné dans un milieu donné.

Nous avons donc deux données de bases. La vitesse de la particule chargée qui peut s'écrire sous la forme suivante avec les notations relativistes :

equation   (39.55)

et la vitesse de de phase de la lumière dans un milieu avec un indice de réfraction donné :

equation   (39.56)

Il est facile de voir que pour obtenir equation il faut avoir :

equation   (39.57)

Soit :

equation   (39.58)

Certains auteurs préfèrent comparer la distance parcourue par la lumière par rapport à celle parcourue par la particule. Il vient ainsi :

equation   (39.59)

Et donc pour que la particule parcoure des distances égales à celles de  la lumière dans le même temps il faut que equation. Au-delà, apparaît l'effet Tcherenkov.


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