LOI DE FICK



MÉCANIQUE STATISTIQUE

1. Théorie statistique de l'information

1.1. Entropie infométrique

2. Loi de Boltzmann

2.1. Entropie thermodynamique

3. Distributions statistiques physiques

3.1. Distribution de Maxwell

3.2. Distribution de Maxwell-Boltzmann

3.3. Distribution de Fermi-Dirac

3.4. Distribution de Bose-Einstein

4. Loi de Fick

5. Mouvement brownien

Nous avons vu dans le chapitre de Thermodynamique la démonstration de l'équation de propagation de la chaleur proposée par Fourier en 1822 obtenue à partir de l'équation de continuité. Nous avions obtenu (il est très recommandé au lecteur de s'y référer à nouveau ne serait-ce que pour lire les remarques relatives à la démonstration):

equation   (32.143)

En sa basant sur les mêmes hypothèses que Fourier, Fick proposa en 1855 qu'un flux de particules pourrait se diffuser à travers un matériau selon une loi similaire, la "deuxième loi de Fick", de la forme:

equation   (32.144)

où la constante de proportionnalité est le "coefficient de diffusion de la matière" et equation la densité de particules par unité de volume (et non la densité de masse!).

Remarque:En pratique, la diffusion joue un rôle essentiel dans la fabrication de céramique, de semi-conducteurs (dopage), de cellules-solaires et dans la solidification des métaux (traitement au carbone et à la chaleur). Car lorsque deux matériaux chauffés sont mis en contact, leurs atomes diffusent l'un dans l'autre.

Il faut comprendre que tout diffuse dans tout! Donc pensez aux pesticides sur les fruits et légumes, à la pollution dans les nappes phréatiques, au PET dans les boissons...

Dès lors, la relation du flux surfacique de chaleur que nous avions utilisée en thermodynamique (voir chapitre du même nom) pour obtenir la loi de Fourier et qui était:

equation   (32.145)

peut alors s'écrire certainement aussi (nous allons le démontrer) dans la cas de la masse sous la forme d'un flux surfacique de particules appelé "première loi de Fick":

equation   (32.146)

D est le coefficient de transport de la matière (à déterminer...).

remarque Remarque: Au fait, Fick démontra d'abord la première loi et en procédant en tous points de manière identique à l'équation de la chaleur il obtint la deuxième loi qui porte son nom.

Les coefficients equation sont appelés globalement "coefficients de transports" et respectivement "coefficient de diffusion thermique" dans le domaine de la chaleur et "coefficient de diffusion" dans le domaine de la matière.

Nous pouvons estimer les valeurs de ces coefficients à l'aide d'un modèle microscopique simple.

Considérons pour cela une tranche de fluide (flux de chaleur et flux de masse sont considérés comme un fluide) perpendiculaire à l'axe des x et d'épaisseur equation où equation correspond au libre parcours moyen (projeté selon x), dans laquelle existe un gradient de concentration dirigé selon l'axe x. Déterminons le courant de ce gradient à travers la section S d'abscisse x.

Pour faire simple, nous pouvons considérer que, parmi toutes les particules se trouvant entre l'abscisse equation et x, un tiers, ont leur vitesse dirigée selon x (les deux autres tiers étant sur y et z), et parmi ces dernières, la moitié a une vitesse positive (finalement nous devons considérer le 1/6 par direction).

Comme equation est le libre parcours moyen, ces dernières particules franchiront la section S sans avoir subi de collision: elles participeront donc au courant de diffusion.

Notant equation la concentration volumique à l'abscisse equation(et considérant que cette concentration est constante entre equation et x, ce qui, vu l'ordre de grandeur de equation, est à peu près vérifié). Le nombre de particules se trouvant entre les abscisses equation et x et traversant effectivement la section s vaut alors:

equation   (32.147)

Cette traversée prend un temps égal à equation, où equation est la vitesse moyenne d'agitation thermique. Par conséquent, la densité de courant circulant de la gauche vers la droite vaut:

equation   (32.148)

En procédant de la même manière pour les particules se trouvant à droite de x, nous obtenons pour la densité de courant circulant de droite à gauche:

equation   (32.149)

La densité de courant totale circulant à travers S vaut donc:

equation   (32.150)

Or, nous pouvons aussi écrire cela sous la forme:

equation   (32.151)

Si equation est très petit, nous pouvons écrire:

equation   (32.152)

Vu les simplifications apportées au modèle, le facteur 3 a toutes les chances d'être peu réaliste. En revanche, la relation de proportionnalité entre gradient de concentration et courant de diffusion est tout à fait crédible, Nous écrirons finalement en généralisant à l'espace:

equation   (32.153)

D est alors donné par:

equation   (32.154)

est la constante de diffusion massique. Comme D est positive, nous constatons que le mouvement de diffusion des particules a lieu dans le sens opposé au gradient, ce qui tend bien à homogénéiser les concentrations.

remarque Remarque: Si nous souhaitons obtenir le flux de charge, il suffit de multiplier la relation obtenue à gauche et à droite par la charge élémentaire.

Nous pouvons également estimer le flux d'énergie thermique transporté par ces mêmes particules selon x. En effet, dans chaque tranche de fluide, n particules transportent chacune une énergie E correspond à une quantité de chaleur Q donnée (selon la loi de Joule). Nous avons donc un flux surfacique d'énergie equation dont la première composante est donnée par le même type de bilan que les développements précédents:

equation   (32.155)

Nous y trouvons immédiatement la définition de la capacité calorifique (si nous divisons par la masse nous aurions la capacité calorifique massique selon ce que nous avons vu dans le chapitre de Thermodynamique). Ainsi, dans le cas unidimensionnel:

equation   (32.156)

Il y a donc un simple rapport de proportionnalité entre equation et C.

remarque Remarque: Selon les auteurs le flux est noté avec le symbole de la densité de courant, soit equation.

Faisons un petit tableau récapitulatif pour les quelques lois de diffusion démontrées jusqu'à maintenant sur ce site (dans leurs chapitres respectifs) en utilisant la notation la plus courante en physique (et non celle des thermodynamiciens...):

Loi de Fourier

Loi de Fick

Loi d'Ohm

Thermodynamique

Mécanique Statistique

Électrocinétique

equationequation

equation

equation

Densité de courant thermique
T : température

Densité de courant particulaireequation: concentration

Densité de courant électrique
U: potentiel électrique

equation: conductivité thermique

D: coefficient de diffusion

equation: conductivité électrique

flux thermique:

equation

flux de particules:

equation

flux de courant électrique:

equation

Tableau: 322  - Similitudes des différentes lois de diffusion en physique

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