MODES DE VIBRATION DANS UNE MEMBRANE TENDUE



MÉCANIQUE ONDULATOIRE

1. Fonction d'onde

2. Equation d'onde

3. Types d'ondes

3.1. Ondes périodiques

3.2. Ondes harmoniques

3.3. Ondes stationnaires

3.4. Modes de vibrations transversales dans un fil tendu

3.4.1. Conditions de Dirichlet

3.4.2. Conditions de Neumann

3.4.3. Lagrangien d'une corde

3.5. Modes de vibrations dans une membrane tendue

4. Phaseurs

Nous dérivons le phénomène de la même manière que la vibration transversale de la corde. Toutefois, la masse linéique equation du fil doit être remplacée par la masse surfacique equation de la membrane.

De plus, nous remplaçons la force F de tension unidirectionnelle du fil par une force de tension appliquée sur le pourtour de la membrane. Cette force s'exerce dans toutes les directions du plan et se décrit par unité de longueur :

equation   (31.119)

Nous avons (analyse dimensionnelle) :

equation   (31.120)

Il est d'abord évident que :

equation   (31.121)

et comme :

equation   (31.122)

L'analyse dimensionnelle (eh oui ... à nouveau...) donne :

equation   (31.123)

Nous avons donc :

equation   (31.124)

L'analyse dimensionnelle donne :

equation   (31.125)

Donc finalement nous obtenons pour équation d'onde en coordonnées cartésiennes (exprimé avec le laplacien) :

equation   (31.126)

Nous cherchons la solution particulière de cette équation qui vérifie les conditions suivantes :

C.I.1. La membrane est fixée sur son pourtour R (conditions aux limites)

C.I.2. La position et la vitesse initiales sont données (conditions initiales)

La symétrie du problème suggère d'utiliser le laplacien en coordonnées polaires (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

equation   (31.127)

Remarque: Nous avons changé de notation en posant equation

Et les conditions fixées :

C1. equation (conditions aux limites)

C2. equation (conditions initiales)

où les fonctions equation sont données.

Á nouveau, pour chercher la solution, nous allons utiliser la méthode de séparation des variables tel que :

equation   (31.128)

et de même que pour la corde :

equation   (31.129)

et identiquement que pour la corde, nous obtenons pour T une solution du type :

equation   (31.130)

Pour equation la méthode change car nous avons maintenant une équation différentielle à deux variables tel que :

equation   (31.131)

Pour intégrer cette équation, nous cherchons les solutions de la forme equation, nous obtenons en reportant :

equation   (31.132)

En se rappelant qu'en coordonnes polaires :

equation   (31.133)

D'où, en séparant les variables :

equation   (31.134)

Le membre de gauche de la dernière relation ne contient pas la variable r et celui de droite ne contient pas la variable equation. La seule et unique façon d'égaler ces deux expressions est de les considérer chacune comme constante, que nous noterons equation . Les équations différentielles vérifiées par R et equation sont alors :

equation   (31.135)

La fonction equationest périodique de période equation, il existe donc un entier naturel n tel que equation et donc manière identique à la corde, nous obtenons :

equation   (31.136)

Dans la première équation différentielle :

equation   (31.137)

Pour simplifier, nous effectuons le changement de variable equation. L'équation différentielle devient :

equation   (31.138)

Nous reconnaissons ici l'équation différentielle de Bessel d'ordre n telle que nous l'avons avec sa solution présentée dans le chapitre des Suites Et Séries. Dès lors, la solution générale est du type :

equation   (31.139)

Ce qui nous donne finalement :

equation   (31.140)

Parmi les solutions à cette équation, cherchons celles qui vérifient les conditions aux limites en posant equation :

equation   (31.141)

À moins que equation ou T soit la fonction nulle, ce qui donne pour solution la position d'équilibre... (qui ne vérifie sans doute pas les conditions initiales), nous devons avoir equation, c'est-à-dire :

equation   (31.142)

La fonction Bessel d'ordre equation a une infinité de zéros positifs equation (il suffit de tracer cette fonction avec un ordinateur pour le voir tel qu'avec Maple en mettant la commande : plot(BesselJ(2,x),x=0...100) où vous pouvez changer la valeur 2 par une autre valeure) qui fournissent une infinité de valeurs convenables de b telle que :

equation   (31.143)

Ce qui correspond finalement à une infinité de solutions de l'équation différentielle initiale que nous pouvons écrire :

equation   (31.144)

En ayant modifié le nom des constantes d'intégration en ayant posé equation (ce qui vérifie l'analyse dimensionnelle). Maintenant que cette solution satisfait les conditions aux limites, nous devons nous attaquer aux conditions initiales.

D'abord pour les mêmes raisons que la corde, la solution finale est la superposition linéaire des solutions telle que :

equation   (31.145)

Nous allons déterminer les coefficients equation de façon à ce que la solution y donné précédemment vérifie également les conditions initiales, à savoir :

equation   (31.146)

Ces deux relations sont similaires, étudions la première. Elle peut s'écrire :

equation   (31.147)

qui est le développement en série de Fourier de la fonction equation. Nous avons donc (cf. chapitre sur les Suites Et Séries) :

equation   (31.148)

En utilisant l'orthogonalité des fonctions de Bessel nous pouvons déduire de ces relations les coefficients equation (et de même pour les autres).

Pour cela, supposons n fixé et posons equation. Montrons equation où le produit scalaire est défini par :

equation   (31.149)

Puisque equation vérifient l'équation différentielle en R(r), nous avons :

equation   (31.150)

En combinant ces deux relations nous obtenons :

equation   (31.151)

En intégrant membre à membre entre 0 et L et en tenant compte de :

equation et equation   (31.152)

Nous obtenons :

equation   (31.153)

D'où le résultat énoncé puisque equation .

La relation :

equation   (31.154)

Peut donc s'écrire :

equation   (31.155)

Utilisant l'orthogonalité de equation pour equation nous en déduisons :

equation   (31.156)

Les coefficients equation sont donc donnés par :

equation   (31.157)

Ce qui n'est pas aisé à calculer à la main....

Nous procédons de la même façon pour les autres coefficients.


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